Franciele Buss Frescki Kestring

Priscila Pigatto

A Magia dos

Problematização

• Que equação matemática representa a estrutura de uma nuvem?

• Que sólidos geométrico melhor representa uma montanha?

• Qual é o comprimento da costa brasileira? • Como podemos explicar matematicamente as

ramificações dos vasos sanguíneos? • Quais as formas de reprodução de uma bactéria

numa lâmina de laboratório em função dos alimentos? • Como prever a evolução de uma empresa?

Euclides330-260 a.C.

Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis.

Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples.

Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão.

No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

Para Euclides, os objectos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunferências, etc...

Geometria Euclidiana

• O quinto postulado de Euclides equivale ao axioma das paralelas;

• Por um ponto exterior a uma reta, apenas passa uma outra reta paralela à dada;

• Este postulado foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os outros postulados

Geometria

• Século XIX que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski demonstraram que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros;

• Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas:

Geometria

• Substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição;

• Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes:

Geometria

• Geometria euclidiana, por vez chamada parabólica;

• A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;

• A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica.

Geometria

• As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas;

• Permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879 - 1955);

Geometria

• A geometria não-euclidiana se divide em vários segmentos:

• A geometria fractal;• A geometria projetiva;• A geometria esférica; • A geometria hiperbólica

Diretrizes Curriculares da Matemática para Educação Básica do Estado do Paraná

“[...] o conteúdo estruturante geometrias se desdobra nos seguintes conteúdos específicos: Geometria Plana; Geometria Espacial; Geometria Analítica, e noções básicas de Geometria Não-euclidiana.”, ou seja, o aluno deve ter conhecimento mais amplo da geometria, não se fixando apenas na Geometria Euclidiana, mas congregando, também, ao seu saber, noções da Geometria Não-euclidiana.

Vídeos

• Fractais na natureza;

• Dimensão oculta;

Como surgiram os fractais?Benoit Mandelbrot

Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polónia;

Formação Académica realizada em França;

Grande gosto pela geometria, procurando resolver muitos problemas matemáticos com base na mesma;

No início dos anos 80, nomeou (ao invés de descobrir ou inventar) os fractais, para classificar certos objetos que não possuíam necessariamente dimensão inteira, podendo ter

dimensão fracinária.

“Nuvens não são esferas, montanhas não

são cones, continentes não são círculos e

nem o raio viaja em linha reta."

Benoit Mandelbrot (The Fractal Geometry of Nature - 1983)

Como surgiu a palavra Fractal

Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo, ainda ninguém lhes tinha atribuído nenhum nome.

Foi então que Benoit Mandelbrot, ao preparar a sua primeira obra sobre os ditos “monstros”, sentiu necessidade de lhes

atribuir um nome.

verbo frangere (que significa quebrar, fraturar, irregular)

adjetivo fractus FRACTAL

Objetos que não possuem

necessariamente dimensão inteira

FRACTAIS

Objetos que não perdem a sua definição formal à

medida que são ampliados, mantendo a sua estrutura idêntica à

original

Formas igualmente complexas no

detalhe e na forma global

Formas geométricas irregulares e

fragmentadas que podem ser subdivididas em

partes, e cada parte será uma cópia reduzida da

forma toda

Importância dos Fractais em sala de aula

Segundo Barbosa (2002) a utilização de fractais em sala de aula no Ensino Fundamental e Médio é importante pelas seguintes razões:

a) estabelece conexões com várias ciências;

b) mostra deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza;

Importância dos Fractais em sala de aula

c) utiliza a difusão e acesso às tecnologias computacionais nos vários níveis de escolaridade;

d) explora a beleza dos fractais para o desenvolvimento do senso estético;

e) desenvolve a curiosidade, face ao caráter inesperado de cada iteração.

Propriedades dos Fractais

Auto-similaridade: pode ser exata ou estatística, ou seja, mantém a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);

Exemplo 1• Têm infinitos

detalhes;• São geralmente

auto-semelhantes

• Não dependem de escala

Exemplo 2Auto - semelhança

Exata Aproximada

Propriedades dos Fractais

• Complexidade infinita, isto é, qualquer que seja o número de amplificações de um objeto fractal, nunca obteremos a “imagem final”, uma vez que ela poderá continuar a ser infinitamente ampliada

Propriedades dos Fractais

Irregularidade, no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação;

• Possuir em geral, dimensão não-inteira. A dimensão fractal quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.

Dimensão Da Geometria Euclidiana sabemos que:

Um ponto é o que não tem parte, isto é, tem dimensão zero; Uma linha é um comprimento sem largura, ou seja, tem dimensão um; Uma superfície é o que só tem comprimento e largura (dimensão dois); Um sólido é o que tem comprimento, largura e profundidade (dimensão 3).

A dimensão de um objeto, ao contrário do que sucede na Geometria Euclidiana, não é necessariamente um número inteiro. Com efeito, ela pode ser um número fracionário.

A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, estando relacionada com o seu grau de irregularidade.

Definimos então dimensão de uma curva fractal como sendo um número que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento entre dois pontos aumenta à medida que a escala diminui.

Dimensão 1:

Considere-se um segmento de reta; após a redução fica-se com 4 (=41) partes iguais.

Dimensão 2:

Efetuando o mesmo processo para o quadrado, dividir cada um dos lados em 4 partes iguais, fica-se com 16 (= 42) partes iguais.

Dimensão 3:

Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtém-se 64 (= 43) partes iguais.

Sejam:

N = número de partes em que se divide o objeto;

r = coeficiente de redução.

Dimensão 1 Dimensão 2

Dimensão 3

1r

1N

2r

1N

3r

1N

Generalizando:

dr

1N

d

d rN

rN

11

(d é a dimensão do objeto em estudo)

Este raciocínio é válido para qualquer redução efetuada em objetos com auto-semelhança exata.

rlog

Nlogd

1

Geometria Euclidiana e Geometria Fractal

GEOMETRIA EUCLIDIANA GEOMETRIA FRACTAL

Tradicional (mais de 2000 anos) Moderna (25 anos)

Baseada em tamanho ou escala definida

Sem tamanho ou escala específica

Apropriada a objetos feitos pelo Homem

Apropriada a formas naturais

Dimensão no conjunto {0,1,2,3}

Dimensão no conjunto [0,3]

Descrita por fórmulas e equações

Uso de algoritmos recursivos

Observe as seguintes figuras

Observe as seguintes figuras

Observe as seguintes figuras

Atividade 1

• Cite uma característica que você observou nas figuras mostradas;

Vídeo

• UFPR;• Atividades propostas para sala de aula

Atividade 2

• Construção de cartões

Passo 1: com a folha em pé dobrar ao meio, ao meio novamente, vincar e desdobrar.Com a folha deitada, fazer o mesmo e

recortar em ¼ dos dois lados, até a marca feita.

x

a

a/2

x/4

Após recortar, encerramos a iteração nº 1.Abrindo a folha e dobrando o recorte para

dentro, teremos o seguinte:

Vamos repetir o passo 1, tomando como princípio a parte que está dobrada para

cima

a

a/4

a/2

A segunda iteração está pronta:(lembre-se de dobrar os novos recortes para

dentro!)

• Continue repetindo as iterações quantas vezes conseguir.

• A final, você terá um cartão fractal, conhecido por Degraus fractais.

• Para que ele fique firme, cole-o numa folha do mesmo tamanho (A4).

Triângulo de Sierpinski

Vídeo

• Construção do triângulo de Sierpinski;

Atividade 3

• Construção do Triângulo de Sierpinski;• Material:

1 triângulo com 32cm de lado (vermelho) 1 triângulo com 16cm de lado (amarelo)

3 triângulos com 8cm de lado (amarelo)

9 triângulos com 4cm de lado (amarelo)

• Encontrar o ponto médio do triângulo de 32 cm de lado (vermelho);

• Colar os triângulos amarelos;• E o processo se repete sucessivamente

Passos para a construção do triângulo de Sierpinski

Conteúdos relacionados com Fractais

• Proporcionalidade;• Área;• Perímetro;• Progressão Aritmética;• Progressão Geométrica;• Potenciação;

Plano de trabalho docente

Série

Conteúdo Estruturante

Conteúdo específico

Justificativa

Encaminhamentos metodológicos

Critérios e instrumentos de avaliação

Referências

Ideias...

Conteúdo Estruturante:

Geometrias

Conteúdo Básico:

Geometrias não-euclidiana

Conteúdo Específico:

Conceitos de Geometria Fractal

Possíveis Relações Interdisciplinares:

Ciências, Geografia, Artes

Possíveis Articulações de Conteúdos:

Números e Álgebra, Geometrias e Grandezas e Medidas (varia conforme a

série abordada)

Justificativa

No estudo da geometria existem situações em que a Geometria

Euclidiana torna-se insuficiente para responder algumas situações, para tal se torna necessário o estudo da geometria fractal, conforme vimos

anteriormente.

Encaminhamentos metodológicos

• Daremos sugestões de atividades que podem ser realizadas nas diferentes séries, nada impedindo que possam ser adaptadas e trabalhadas de outra maneira.

• Os conceitos de geometria fractal podem ser trabalhados em qualquer série, por si mesmos ou articulando com outros conteúdos.

Sugestões

• Passar na TV multimídia imagens da natureza com características fractais (procurar na rede, no dia-a-dia).

• Ver vídeos sobre fractais.

• Isto pode ser trazido pelo professor, ou mesmo pesquisado no laboratório de informática.

Fractais gerados por computador

• No Paraná Digital está disponível o software Xaos, que cria fractais a partir de iterações

• É uma boa articulação com os conteúdos de artes.

• Algumas imagens:

5ª série

Frações, Potenciação, Medidas de comprimento

Trabalhar com o triângulo de Sierpinski

6ª Série

• Apresentar imagens do Triângulo de Sierpinski e propor a construção de maneiras variadas (quebra-cabeça e desenho);

Nível 0

Nível 1

Nível 2

Nível 3

Nível 4

Sugestão de Conteúdos

• Números e Álgebra:• Razão e Proporção;• Grandezas e Medidas:• Ângulos ;• Geometrias:• Geometria Plana

7ª Série

• Atividade: Construção do Floco de Neve de Koch;

• Discussão das etapas envolvidas formalizando os conceitos.

Sugestão de Conteúdos

• Grandezas e Medidas:• Medidas de comprimento;• Medidas de área.• Números e Álgebra:• Números racionais;• Potências.• Geometrias• Geometria Plana.

Atividade

• A geometria fractal é conteúdo básico da 7ª série, portanto pode-se propor uma atividade onde os alunos criem o seu fractal, utilizando formas geométricas que eles conheçam.

8ª Série

• Apresentação e discussão da Árvore Pitagórica

Sugestão de Conteúdos

• Grandezas e Medidas:• Relações métricas no triângulo retângulo;• Trigonometria no triângulo retângulo.• Números e Álgebra:• Teorema de Pitágoras.• Geometrias:• Geometria Plana.

Outras atividades que podem ser abordadas em qualquer série

• Fractal Triminó• Construção:• 1. Considere o triminó não-reto,

construído por 3 quadrados , que serão fractal em nível 1.

• 2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L , teremos assim o Fractal em nível 2.

• 3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo assim o Fractal ao nível 3.

• Construa o Fractal Triminó ao Nível 4.• - Quantas peças foram usadas?• - Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5,

quantas peças serão necessárias?• - E para construir um Fractal Triminó ao Nível n?• - Agora você e capaz de descobrir que conteúdo

da matemática está relacionado com esta atividade?

• - Qual o perímetro em cada nível? Considere cada peça quadrada com 2,5 cm de lado.

• A construção do fractal triminó prioriza alguns objetivos como: reconhecer uma sequência numérica, estimar a quantidade de peças em cada iteração, organizar dados em tabelas, calcular perímetro, etc.

Cartão Fractal

• Pode ser trabalhado em qualquer série, abordando os conceitos de fractal e suas propriedades e proporcionalidade.

Outros Cartões

Ensino Médio

• Os conteúdos a serem abordados:• Função;• Progressão Aritmética ou Geométrica• Triângulo de Pascal

• A computação gráfica é uma área que se encontra em franca expansão. O que muita gente não sabe é que algumas das imagens mais belas e complexas são feitas por processos simples que se repetem várias vezes. Veja as etapas de criação do ramo abaixo:

Sugestão de Conteúdos

• Função Exponencial;• Progressão Geométrica

Qual a relação do Triângulo de Sierpinski com o Triângulo de Pascal?

• O importante desta atividade é observar como estes dois triângulos estão intimamente ligados, apesar de que aparentemente não parecer que se relacionam, visto que um deles é um “amontoado” de números e o outro contém no seu interior um padrão geométrico.

Atividade

• 1. Construir o Triângulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas( pode usar a malha de triângulos equiláteros ou hexágonos).

• 2. Colorir em preto as casas correspondentes aos números ímpares.

• 3. Que observas?

Atividade

• Para essa atividade é necessário explicar o Triângulo Aritmético de Pascal, sua formação, descoberta e propriedades.

• Como por exemplo: as diagonais de fora• são formadas pelo número 1 e que a soma de dois

números consecutivos de uma mesma linha do triângulo corresponde ao número que está na linha logo abaixo,

• bem abaixo dos dois números somados, outra propriedade é que a soma dos elementos de cada linha é uma potência de base 2.

• Não esquecendo que na segunda diagonal encontram-se os números naturais.