Fungsi yang berbentuk f(-x)=f(x)disebut fungsi genap yanggrafiknya simetri terhadapsumbu y
Fungsi yang berbentuk f(-x)=-f(x)disebut fungsi ganjil yanggrafiknya simetri terhadap titikasal
fungsi genap & fungsi ganjil
y = x2 – 2
Fungsi genap
y = x3 – 2x
Fungsi ganjil
1
• Simetris terhadap sumbu y bila (x,y)maupun (-x,y) terletak pada grafiktersebut fungsi genap.
2
• Simetris terhadap sumbu x bila (x,y)maupun (x,-y) terletak pada grafiktersebut.
3
• Simetris terhadap titik asal [(0,0)] bila(x,y) maupun (-x,-y) terletak pada grafiktersebut fungsi ganjil.
kesimetrian grafik
x
y
xx
2 2
(x, y)(-x,
y)
(2, 1)(-2, 1)
(i) y = x2 - 3
x
y
(x, y)
(x, -y)
(ii) x = y2 +
1
(x, y)
(-x, -y)
x
y
(iii) x = y3
Garis x=c adalah asimtot tegak/vertikal
dari grafik y=f(x) jika salah satu
pernyataan berikut berlaku
)(lim 4.
)(lim 3.
)(lim 2.
)(lim .1
xf
xf
xf
xf
cx
cx
cx
cx
asimtot grafik-asimtot tegak
(1)
x = c
(1)
x = c
(2)
x = c
Garis y=b adalah asimtot
datar/horisontal dari grafik y=f(x) jika
salah satu pernyataan berikut berlaku
Nxbxfbxf
Nxbxfbxf
x
x
jika )( N, bil.utk &)(lim .2
jika )( N, bil.utk &)(lim .1
asimtot grafik-asimtot datar
y = b
(1)
y = b
(1)
(2) (2)
y = by = b
Tentukan asimtot-asimtot untuk
grafik dengan persamaan
xy2-2y2-4x=0
22
2
4
42
042
2
2
22
x
xy
x
xy
xxy
xyxy
Contoh 1
Ada dua fungsi
22)( .2
22)( .1
22
11
x
xxfy
x
xxfy
DA f1 dan f2 adalah (-,0)(2,+)
1
21
11
21
11
1
22
12
1
datar asimtot 2 Jadi
22lim)(lim
22lim)(lim
gak asimtot te 2 Jadi
2lim)(lim
fungsi
f y
xf
xf
f x
xf
f
xxx
xxx
xx
xx
2
21
2
21
2
2
22
22
2
datar asimtot 2 Jadi
22lim)(lim
22lim)(lim
gak asimtot te 2 Jadi
2lim)(lim
fungsi
fy
xf
xf
f x
xf
f
xxx
xxx
xx
xx
x y2
2 y2
4 x 0
1y
2y
1. PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
Agustina Pradjaningsih, M.Si.
Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Pada materi turunan dijelaskan bahwa
kemiringan garis singgung merupakan
tafsiran geometris dari TURUNAN
fungsi, sehingga turunan dapat digunakan
sebagai alat bantu menggambar grafik
fungsi.
Bantuan tersebut dalam hal penentuan
titik-titik garis singgung atau penentuan
interval dimana grafik terletak di atas
garis singgung atau dibawahnya dst.
Tentukan daerah asal f
Tentukan perpotongan dng sb x & sb y
Uji kesimetrian thd sb x, y & titik asal(fungsi genap atau fungsi ganjil)
Hitung f ’(x) dan f”(x)
Tentukan bilangan kritis untuk f
Terapkan uji turunan I dan uji turunanII untuk mencari ekstrim relatif
METODE
METODE
Tentukan interval f naik /turun
Cari titik belok, yaitu f”(x)berganti tanda & grafik punyagaris singgung
Tentukan interval f cekung keatasatau cekung kebawah
Cari asimtot tegak ataupun asimtotdatar
Diberikan fungsi f(x)=x3-3x2+3. Sketsa
grafik f.
Contoh 2
Daerah asal f adalah (-,)
Perpotongan dengan sumbu y (0,3)
f(-x)=(-x)3–3(-x)2+3=-x3–3x2+3
f(x)≠-f(x)
bukan fungsi genap/bukan fungsi ganjil.
f(x)=x3-3x2+3
f’(x)=3x2-6x, titik kritis f ’(x) = 0
3x2-6x=0 3x(x-2)=0
x=0 & x=2
f”(x)=6x-6, dicari f”(x)=0
6x-6=0 6(x-1)=0
x=1
Naik,cekung keatas++x > 2
Min,cekung keatas60-1x = 2
Turun,cekung keatas+-1 < x < 2
Turun,titik belok0-31x = 1
Turun,cekung kebawah--0 < x < 1
Max,cekung kebawah-603x = 0
Naik,cekung kebawah-+x < 0
Keteranganx )(" xf)(xf )(' xf
Contoh 3Sketsa grafik berikut
4)(
2
2
x
xxf
Daerah asal f adalah (-,) dng x-2 & x2
Perpotongan dgn sb y (x=0)(0,-¼)
Perpotongan dgn sb x (y=0)(0,0)
Merupakan fungsi genap
)(44)(
)()(
2
2
2
2
xfx
x
x
xxf
2dan 20)4(
1286424
0)(")4(
1286424)("
00)(' kritistitik ,)4(
8)('
4)(
42
24
42
24
22
2
2
xxx
xx
xfx
xxxf
xxfx
xxf
x
xxf
turun,cekung keatas+-x > 2
-x = 2
Turun,cekung kebawah--0 < x < 2
Turun,titik belok00-¼x = 0
naik,cekung kebawah-+-2< x <0
-x = -2
Naik,cekung keatas++x < -2
Keteranganx )(" xf)(xf )(' xf
2. PENCARIAN NILAI OPTIMUM
Agustina Pradjaningsih, M.Si.
Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Disamping untuk menggambar grafikfungsi, turunan juga dapat digunakanuntuk membantu mencari nilai optimumdari suatu permasalahan nyata yangdimodelkan kedalam modelmatematika.
Bantuan tersebut dalam halmenentukan titik-titik optimalsehingga keputusan yang diambil dalammenyelesaikan suatu permasalahantersebut dapat optimal pula, diluarasumsi-asumsi tertentu.
METODE
Buat sketsa gambar (jikamemungkinkan)
Berikan variabel yang sesuai padasketsa tsb.
Tulis rumus besaran yang akandioptimumkan (maksimum atauminimum) dalam bentuk variabel.
Nyatakan besaran yang dicari sebagaifungsi dari satu variabel.
METODE
Tentukan himpunan nilai yang mungkin(daerah asal biasanya berupa interval).
Tentukan titik kritis (titik-titikoptimum)
Gunakan teorema turunan yang adauntuk menentukan nilai optimumnya(maksimum dan minimum).
Sebuah surat selebaran memuat
50 cm persegi bahan cetak. Jalur
bebas cetak diatas dan dibawah
selebar 4 cm dan disamping kiri
dan kanan selebar 2 cm. Berapa
ukuran surat selebaran tersebut
yang memerlukan kertas
sesedikit mungkin
Contoh 4
Misalkan
x lebar surat edaran
y tinggi surat edaran
x
y2cm 2cm
4cm
4cm
Luas surat selebaran yang akan
diminimumkan A = xy
Sedang ukuran bahan cetakan adalah
84
5050)8)(4(
xyyx
)(4, 1dan 9diperoleh
0)4(
)9)(1(8
)4(
72648
0)4(
)188()4)(1816(A
0)( kritisik syarat tit
)(4, atau 404
dengan
4
1888
4
50AA
22
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
x
xxxx
dx
d
xA'
xxx
x
xxx
x
xxy
Menurut teorema uji turunan I,
diperoleh
Sehingga A mencapai nilai
minimum pada x = 9 dan y = 18.
Jadi ukuran surat edaran dengan
pemakaian kertas paling sedikit
(minimum) adalah 9 18 cm
),9(untuk 0A
dan )9,4(untuk 0A
dx
d
dx
d
Cari ukuran tabung lingkaran tegak yang
volumenya sebesar mungkin yang dapat
ditempatkan di dalam sebuah kerucut
lingkaran tegak.
Andaikan
a tinggi kerucut (konstanta)
b jari-jari kerucut (konstanta)
h tinggi tabung
r jari-jari tabung
V volume tabung
a-h
b
h
r
a
Contoh 5
br
rb
aarr
b
aarV
rb
aah
b
a
r
a-h
hrπV
0dengan
diperoleh serupa segitiga setiga dari
adalah tabungVolume
322
2
3dan
3
2
adalahukuran jadi
0)(
maksimum3
2
33
2
0)0(
,,0 kritistitik diperoleh
3
203 2
0)(' kritisik syarat tit
2
32
2
ah
br
bV
babV
V
b
brr
b
aar
dr
dV
rV
b
Lapangan berbentuk empat persegi
panjang, yang terbentang ditepi sungai,
hendak dipagari tetapi sepanjang tepi
sungai tidak ikut dipagari. Jika harga
material untuk pagar pada sisi yang sejajar
dengan sungai adalah Rp. 120.000
permeter dan harga material untuk pagar
kedua sisi lainnya Rp. 80.000 permeter.
Tentukan ukuran lapangan yang luasnya
terbesar yang dapat dipagari dengan pagar
keseluruhan seharga Rp. 36.000.000
Contoh 6
Andaikan
x sisi lapangan yang tidak
sejajar dengan sungai
y sisi lapangan yang sejajar
dengan sungai.
x
y
36001288
atau
360000001200008000080000
biayadengan
adalah lapangan luas
yxx
yxx
xyL
Jadi luas lapangan terbesar yang ditutupi pagar
jika panjang sisi lapangan yang tidak sejajar
dengan sungai adalah 112,5 m dan sisi lapangan
yang sejajar sungai adalah 150 m dengan
luas16875 m2.
5,1120003
0)(' kritisik syarat tit
300)300()( sehingga
34300360012 16
3600 12 8 8
38
2
34
34
xx
xL
xxxxxL
xyyx
yxx