BAB IV TURUNAN FUNGSI Setelah kita membahas limit pada bab sebelumnya, kita akan membahas tentang turunan yang konsepnya dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan turunan dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama membahas pengertian, sifat dan penghitungan turunan suatu fungsi, bagian kedua membahas penggunaan turunan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini, sedangkan bagian kedua akan dibahas pada bab selanjutnya. TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan turunan fungsi yang diberikan. 4.1 Pengertian dan Sifat Turunan Perhatikan gambar berikut. 55
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB IV
TURUNAN FUNGSI
Setelah kita membahas limit pada bab sebelumnya, kita akan membahas
tentang turunan yang konsepnya dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan
turunan dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama membahas pengertian, sifat
dan penghitungan turunan suatu fungsi, bagian kedua membahas penggunaan
turunan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini, sedangkan bagian kedua
akan dibahas pada bab selanjutnya.
TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu
menentukan turunan fungsi yang diberikan.
4.1 Pengertian dan Sifat Turunan
Perhatikan gambar berikut.
L
L1
x x+ h
f(x+h)
f(x)
y = f(x)
Gambar 4.1.
55
Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)),
sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati
nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan
mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai
berikut:
.
Bentuk dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang
dinotasikan dengan
, y’ , , atau f’(x).
Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis
singgung kurva fungsi tersebut.
Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit
fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa
titik tertentu.
Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak , yang grafiknya
diberikan dalam gambar di bawah ini.
56
Gambar 4.2.
Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan
bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan
sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa
garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda,
sehingga patut dicurigai bahwa fungsi tidak mempunyai turunan di
perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi
tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.
Karena
dan
,
maka
,
sehingga tidak ada.
Contoh:
a. Tentukan garis singgung kurva di titik (2,4)
b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi mempunyai turunan ?
Penyelesaian:
a. Gradien garis singgung kurva di titik (2,4) adalah
m = .
57
Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah
b. Karena , maka
mempunyai turunan di x = 0.
Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan
definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan
waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan
definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.
Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu
fungsi.
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
3. Aturan selisih.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
58
5. Aturan hasil bagi.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
Bukti:
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
3. Aturan selisih.
Untuk latihan
4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
59
5.
Aturan hasil bagi.
Untuk latihan.
Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.
Nomor Fungsi Turunan fungsi
1 y = k, k konstanta y’ = 0
2 y = xn y’ = nxn-1
3 y = ln x y’ =
Bukti:
1.
2.
s
60
3.
Contoh:
1. Jika h(x) = xg(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3).
2. Carilah turunan fungsi:
a.
b. y =
Penyelesaian:
1.
2.
a.
=
b.
61
4.2.
Aturan Rantai.
Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk
menentukan turunan fungsi.
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi
komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan,
yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang
mempunyai turunan, maka
.
Bukti:
62
Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus
sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.
Nomor Fungsi Turunan fungsi
1 y = ex y’ = ex
2 y = ax, a 1 y’ = ax ln a
3 y = alog x, a >0, a 1 y’ =
Bukti:
1.
2. Untuk latihan
3. Untuk latihan
4.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi
eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi
parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.
Contoh :
a. Jika x2 + y2 = 25, carilah
b. Jika x = 2t +1
y = t2 + t
tentukan .
63
Penyelesaian:
a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2 + y2 = 25 terhadap x, maka akan
kita peroleh:
Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai,
diperoleh
Oleh karena itu 2x + 2y = 0, sehingga
b. Jika variabel x dan y kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita
peroleh
sedangkan .
Karena yang akan kita cari adalah maka
= .
4.4. Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan
cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi
siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat
turunan, dan aturan rantai.
64
Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.
Nomor Fungsi Turunan fungsi
1 y = sin x y’ = cos x
2 y = cos x y’ = - sin x
Bukti:
1.
2.
Contoh:
1. Carilah turunan fungsi:
a.
b.
c.
65
d.
e.
f.
g.
2. Carilah turunan fungsi:
a.
b.
Penyelesaian:
1.
a.
b.
c.
d.
e.
66
yx1
21 x
f.
g.
2.
a.
b.
4.5. Turunan Tingkat Tinggi
Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga berupa
fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’.
Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah
.
67
y
x
1
21 x
y
x
1
12 x
Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan
.
Contoh:
1. Carilah dari :
a. x2 + y2 = 25
b. y = ln t, x = et
c. y = , x = ln (et +1)
2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a.
b.
Penyelesaian :
1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh dari x2 + y2 = 25, yaitu
.
Karena
Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan
rantai, diperoleh
Jadi
68
2.a. y = ln t, x = et
= =
=
Oleh karena dan maka
.
b. y = , x = ln (et +1)
= =
=
=
3. a.
69
b.
Latihan 4.
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang
diberikan.
a. di titik (- 2, - 7)
b. , di titik (1,1)
2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang
diberikan.
a. di x = 1
b. di x = 2
c. di x = 1
d. di x = 2
3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi
di titik . Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a
pada setiap kasus.
a.
70
b.
4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:
b. G(s) = (s2 + s + 1) (s2 + 2)
c. G(y) = (y2 + 1) (2y – 7)
d.
e.
5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan.
a. , di titik (1, 1)
b. , di titik (1, 2)
c. , di titik (4 ; 0,4)
d. , di titik (1, 1)
6. Carilah titik pada kurva y = x3 – x2 – x + 1 yang garis singgungnya
mendatar.
7. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa
jika f, g, dan h fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku
(fgh)’ = f ‘gh + fg’h + fgh ‘
b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi
y =
8. Tentukan nilai
71
9. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah
dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian carilah
a.
b.
c.
10. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut
a.
b.
11. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini :
a. xy + ln y = 1
b. ln x + xy + ey = 3
c. cos (x + y) – eyx = x
d. sin xy + ln (x + y) = ex
e. eyx + x ln y = sin 2x
12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang
diberikan
a. xy – ln y = x; (0,1)
b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0)
c. x3y + y3x = 30; (1,3)
d. x2y2 + 4xy = 12y; (2,1)
13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan
a. y = ln t, x = et
72
b. y = , x = ln (et +1)
c. y = et + 2, x = e-t + 5
d. y = et + ln t, x = et + 1
e. y = te2t + t, x = et + t
f. y = t3 + 2t, x = 3t2 + 5
14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini
a.3x3 + 3x2y – 8xy2 + 2y3 = 0
b. xy + y3 = 2
c. x3 – 4y2 = 3
d.
e.
15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan
a.x3 + y3 = 3xy; (0,0)
b. 2x2y – 4y3 = 4; (2,1)
c.x2 + y2 = 25; (3,4)
16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini: