FUNGSI PEUBAH BANYAK - WordPress.comPada fungsi satu peubah, Turunan Kekontinuan, Kekontinuan Turunan. Pada fungsi peubah banyak, Turunan Parsial Kekontinuan, Kekontinuan Turunan Parsial.

By yBambang Hendriya Guswanto

Research Group of Pure MathematicsDepartment of Mathematics and Natural SciencesDepartment of Mathematics and Natural Sciences

Universitas Jenderal Soedirman, Indonesia

"The high technology celebrated today is essentially a mathematical technology "essentially a mathematical technology.(E.E. Davis, President of Exxon R&D)

Suppose that is a set in Real valuedSuppose that  is a set in   Real valued Two‐variable Function   is a relation which relates each element towhich relates each element  to a unique number  . 

Functions :Functions :

Not Function : 

Kpb.mw

Suppose that  is a real valued function on ppset   and  . The notation 

has the meaning as follows : 

for each   there is   such that if  

for each   then 

If  and 

then 

1. 2.  

3 if3. if   

Suppose thatSuppose that 

and  . Then 

Suppose that dan are subsets ofSuppose that  dan  are subsets of Domain   of  . If 

then 

does not exist.

Consider 

If   then  

So,  

hwhere 

Consider 

If   then  

So,  

where    

But,  

where   

Misalkan  fungsi dengan daerah definisi  Fungsi   kontinu di   jika  

Jadi ada tiga syarat yang harus dipenuhi :

1. ada 

2.  terdefinisi 33.

Diberikan  

Mi lk P h tikMisalkan  Perhatikan

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi   kontinu di mana‐mana atau di  . Karena   maka fungsi   juga kontinu di  .

                                                      Z                                         lengkung    

                                                                                                                                 permukaan   

                                                                                                                                       titik singgung      

                                                                                                                                       y 

                                                                                                        titik   

X                                            

                                       garis singgung di titik   

   Turunan parsial  terhadap  di titik   adalah

Diberikan fungsi  .  

Turunan parsial   terhadap   di titik   adalah 

Turunan parsial   terhadap   di titik   adalah 

Turunan parsial  terhadap  dan  di titik  masing‐masing adalah 

dan 

Pada fungsi satu peubah,

Turunan   Kekontinuan, Kekontinuan   Turunan. 

Pada fungsi peubah banyak, 

Turunan Parsial   Kekontinuan,  

Kekontinuan   Turunan Parsial. 

Fungsi   yang didefinisikan sebagai 

adalah  contoh  fungsi  yang  memiliki  turunan  parsial  di tetapi tidak kontinu di   

dan 

Telah dibuktikan bahwa  fungsi    tidak memiliki  limit di  sekitar  titik Artinya fungsi   tidak kontinu di titik   

MisalkanMisalkan 

i. Titik   merupakan titik dalam himpunan jika  kita  dapat  membuat  cakram  dengan  pusat sehingga cakram tersebut semuanya berada di 

ii. Titik   merupakan titik batas himpunan jika setiap cakram yang berpusat di  memuat titik di  dan  juga memuat titik yang tidak di  . 

iii. Titik   merupakan  titik  luar  himpunan jika kita dapat membuat cakram dengan pusatjika  kita  dapat  membuat  cakram  dengan  pusat sehingga  cakram  tersebut  tidak  memuat  titik  di atau cakram tersebut semuanya berada di luar    

Perhatikan himpunanPerhatikan himpunan 

Himpunan titik dalam dari   adalah  

.

Himpunan titik batas dari   adalah  

Himpunan titik luar dari   adalah  

Himpunan disebut himpunan buka jikaHimpunan  disebut himpunan buka jika semua titik di   adalah titik dalam. 

Himpunan merupakanHimpunan   merupakan himpunan buka 

Himpunan   disebut himpunan  tutup  jikakomplemennya adalah himpunan buka. 

Himpunan   merupakan himpunan tutup. 

Misalkan adalah fungsi dengan daerah definisi himpunanMisalkan    adalah  fungsi  dengan  daerah  definisi  himpunanbuka  .  Diferensial  fungsi    di  titik    dengan perubahan    dan    adalah  bagian  linear terhadap dan dari bentukterhadap   dan  dari bentuk

jikajika 

dengan 

Dib ik f iDiberikan fungsi 

PerhatikanPerhatikan 

Bagian linear dari   adalah 

Akibatnya  

Konsekuensinya 

Jadi   adalah diferensial dari fungsi   di titik  . 

Diberikan fungsi 

Perhatikan 

Bagian linear dari  adalah 

Akibatnya  

Konsekuensinya 

Jadi   adalah diferensial dari fungsi   di titik  . 

Misalkan    adalah  fungsi  dua  variable  dan  merupakan  titik dalam  daerah  definisi  .  Turunan  fungsi    di  titik    adalah t f i li d i k hitransformasi linear  dari  ke   yang memenuhi

Diferensial dari fungsi  di titik  adalah

Dapat ditunjukkan bahwa 

Jadi turunan fungsi   di titik   adalah   

Diferensial dari fungsi  di titik  adalah

Dapat ditunjukkan bahwa 

Jadi turunan fungsi  di titik  adalah  .

Jika fungsi dua variabel f  Jika fungsi dua variabel f  mempunyai turunan di titik (a,b) 

k f  k ti di ( b)maka f  kontinu di (a,b)

Jika fungsi dua peubah mempunyai turunan diJika fungsi dua peubah  mempunyai turunan di 

maka   dan   ada dan 

atau 

Sebaliknya jika turunan parsial dan adaSebaliknya,  jika turunan parsial   dan  ada 

dan  kontinu  di  himpunan  buka  yang memuat  titik maka   mempunyai turunan di   atau   ada. 

Diberikan fungsi Turunan parsial dari adalahDiberikan fungsi  Turunan parsial dari  adalah

  dan   

Karena  turunan  parsial  tersebut  kontinu maka  mempunyai  turunan  di seluruh daerah definisi  . Turunan   di titik   adalah 

dan diferensial   di titik   untuk   dan   adalah 

Untuk menaksir nilai  perhatikan fungsi p g

di sekitar titik  . Turunan parsial   adalah 

T i l di titik d l hTurunan parsial   di titik  adalah

Diferensial   di titik   dengan   dan   adalah 

Jadi