Limit Dan Kekontinuan

LIMIT DAN KEKONTINUAN

Pengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1.

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut.

PENDAHULUAN LIMIT

Secara grafi k

Defi nisi (limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

PENDAHULUAN LIMIT

Dari tabel dan grafi k disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1.

Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati 1 adalah 2.

Contoh:

1. Carilah Penyelesaian:Bilamana x dekat 1; maka 3x+5 dekat terhadap 3.1+5=8Kita tuliskan

2. Carilah 3. Carilah

PENDAHULUAN LIMIT

Limit Kiri dan Limit Kanan

x c

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak (kiri/kanan)

Jika maka tidak ada

PENDAHULUAN LIMIT

J ika x menuju c dari arah kir i (dari arah bi langan yang lebih keci l dari c), l imit disebut l imit k ir i ,

Notasi

J ika x menuju c dari arah kanan (dari arah bi langan yang lebih besar dari c), l imit disebut l imit kanan,

Notasi

Pengertian persis tentang Limit

ContohBuktikan bahwa

Analisis pendahuluanAndaikan ε bilangan positif sebarang. Kita harus menghasilkan suatu δ>0 sedemikian sehingga;

PENDAHULUAN LIMIT

Mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap ε > 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian asalkan bahwa ; yakni,

A

Pandang ketaksamaan di sebelah kanan

Ini menunjukkan bahwa akan memenuhi.Bukti FormalAndaikan diberikan ε>0. Pilih . Maka membawakan

PENDAHULUAN LIMIT

Misal:Dengan ε=0,01 dalam contoh ini maka δ=0,01/3 = 0,0033.Jika ε=0,000003 maka δ=0,000001. Jika diberikan δ yang lebih kecil lagi, akan lebih baik.

Untuk memaksa agar dekat ke 5, akan lebih baik membuat sedekat mungkin ke 4.

PENDAHULUAN LIMIT

Teorema Limit UtamaAndaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai imit di c, maka:

TEOREMA LIMIT

Contoh:Soal 1: Carilah Penyelesaian:

Soal 2: Carilah Penyelesaian:...?

Soal 3: Carilah Penyelesaian:...?

TEOREMA LIMIT

Teorema SubstitusiJika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka;

Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol.

Contoh:Cari

TEOREMA LIMIT

Teorema ApitMisal untuk x disekitar c, dan

serta Maka:

Contoh: Hitung Karena Dan Maka

TEOREMA LIMIT

Limit Fungsi Trigonometri

Contoh

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Soal LatihanHitung:

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Definisi diatas mensyaratkan tiga hal:1) ada2) ada (yakni, c berada dalam daerah asal f)

Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tidak terpenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu).

KEKONTINUAN FUNGSI

Definisi (Kekontinuan di satu titik)Dikatakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

KEKONTINUAN FUNGSI

KEKONTINUAN FUNGSI

Contoh :Periksa apakah fungsi berikutnkontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya.

KEKONTINUAN FUNGSI

Jawab.

KEKONTINUAN FUNGSI

Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a, jika;

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a, jika;

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh :Tentukan konstanta a agar fungsi:

Kontinu di x=2

KEKONTINUAN FUNGSI

Jawab.Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah;f kontinu kiri di x=2

f kontinu kanan di x=2

KEKONTINUAN FUNGSI

Soal Latihan:

KEKONTINUAN FUNGSI

KEKONTINUAN PADA INTERVAL Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval terbuka (a,b)

bila f(x) kontinu pada setiap titik didalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [a,b]

bila:1. f(x) kontinu pada (a,b)2. f(x) kontinu kanan di x=a3. f(x) kontinu kiri di x=b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ R maka dikatakan f(x) kontinu (dimana-mana).

KEKONTINUAN FUNGSI

Teorema Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan f(x)=, maka

f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil. f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh: tentukan selang kekontinuan Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.

Sehingga f(x) kontinu pada [4,∞)

KEKONTINUAN FUNGSI

Soal Latihan

KEKONTINUAN FUNGSI

Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Teorema Kekontinuan Fungsi Komposisi:

KEKONTINUAN FUNGSI

Contoh:Tentukan dimana fungsi

Kontinu

Jawab.

KEKONTINUAN FUNGSI

SELESAI