c x Q(x,f (x)) y = f(x) P(c,f (c)) x y Limit dan Kontinuitas Limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga merupakan konsep dasar materi kalkulus. Turunan dan integral yang merupakan materi inti kalkulus, dibangun dengan konsep limit. Untuk memahami konsep limit, dibutuhkan pengertian tentang harga mutlak sebagai jarak antara dua titik, dan pertidaksamaan sebagai ukuran kedekatan. A. Konsep Limit Fungsi Bila kita mempunyai suatu fungsi peubah bebasnya menuju suatu titik tertentu di sumbu x, (artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin mengecil tapi tidak harus sama dengan nol), apakah peubah tak bebasnya juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu y. Atau, bagaimana perilaku peubah tak bebas jika peubah bebasnya membesar sampai tak hingga ? Untuk memahami konsep limit ini, perhatikan contoh berikut: Masalah garis singgung Misalnya diketahui grafik y = f(x), dan akan ditentukan gradien garis singgung di titik P(c,f(c)). Permasalahannya adalah untuk menentukan kemiringan suatu garis diperlukan paling sedikit dua titik. Karena yang diketahui hanya titik P(c,f(c)), maka untuk pertolongan ditetapkan satu titik, misalnya Q(x,f(x)), xc. Kemiringan 1
21
Embed
Web viewLimit fungsi di suatu titik dan di tak hingga merupakan konsep dasar materi kalkulus. Turunan dan integral yang merupakan materi inti kalkulus,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Limit dan Kontinuitas Limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga merupakan konsep dasar materi kalkulus.
Turunan dan integral yang merupakan materi inti kalkulus, dibangun dengan konsep limit.
Untuk memahami konsep limit, dibutuhkan pengertian tentang harga mutlak sebagai jarak
antara dua titik, dan pertidaksamaan sebagai ukuran kedekatan.
A. Konsep Limit Fungsi
Bila kita mempunyai suatu fungsi peubah bebasnya menuju suatu titik tertentu di sumbu x,
(artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin mengecil
tapi tidak harus sama dengan nol), apakah peubah tak bebasnya juga menuju suatu nilai
tertentu di sumbu y. Atau, bagaimana perilaku peubah tak bebas jika peubah bebasnya
membesar sampai tak hingga ?
Untuk memahami konsep limit ini, perhatikan contoh berikut:
Masalah garis singgung
Misalnya diketahui grafik y = f(x), dan akan
ditentukan gradien garis singgung di titik P(c,f(c)).
Permasalahannya adalah untuk menentukan
kemiringan suatu garis diperlukan paling sedikit dua
titik. Karena yang diketahui hanya titik P(c,f(c)),
maka untuk pertolongan ditetapkan satu titik,
misalnya Q(x,f(x)), xc. Kemiringan garis PQ (mPQ)
ditentukan dengan rumus:
mPQ=f ( x )− f (c )
x−c
Perhatikanlah dari grafik y = f(x), bahwa jika x semakin dekat ke c, maka tali busur PQ
berubah menjadi garis yang menyinggung kurva y = f(x) di titik P, yang disebut garis
singgung di titik P. Artinya ketika x semakin dekat ke c, gradien tali busur PQ menjadi
gradien garis singgung di titik P. Bila mPQ adalah gradien garis PQ, maka gradien garis
singgung di titik P dinotasikan dengan mP, dan dirumuskan dengan
Ide Limit
Apa artinya bahwa suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekat satu titik c?. Suatu
fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi
limx→ c
f ( x )=L, mempunyai pengertian sebagai berikut:
1
y
x
P(c,f(c))
y = f(x)Q(x,f(x))
x
c
“untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tapi xc, nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin
dengan L”
Perhatikan grafik berikut
Dari gambar di atas, f terdefinisi di c. Untuk nilai x yang semakin dekat dengan c, nilai f(x)
juga semakin dekat dengan L. Bagaimana jika f tidak terdefinisi di c?. Dari gambar di atas
terlihat, bahwa meskipun f tidak terdefinisi di c, nilai f(x) tetap saja semakin dekat dengan L.
a. Pendekatan Limit secara Numerik
Contoh
Misalkan f(x)=x2, dan c = 3. Perhitungan secara numerik untuk limx→3
x2
menghasilkan
tabel sebagai berikut
x F(x) = x2 F(x) = x2 x
2 4 16 4
2,5 6,25 12,25 3,5
2,6 6,76 10,89 3,3
2,7 7,29 10,24 3,2
2,8 7,84 9,61 3,1
2,9 8,41 9,0601 3,01
2,99 8,9401 9,006001 3,001
2,999 8,994001 9,0006 3,0001
Dari tabel tampak bahwa, bila x dibuat sedekat mungkin dengan 3, baik sebelum
maupun sesudah 3, nilai f(x) semakin dekat dengan 9. Berarti limx→3