Turunan dan Penerapannya Yosep Dwi Kristanto Universitas Sanata Dharma Y o g y a k a r t a
Turunan dan Penerapannya
Yosep Dwi Kristanto
Universitas Sanata DharmaY o g y a k a r t a
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Definisi Turunan
DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan fβ(a), adalah
πππ ππ = limββ0
ππ ππ + β β ππ ππβ
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Turunan Sebagai Suatu Fungsi
DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut.
πππ π₯π₯ = limββ0
ππ π₯π₯ + β β ππ π₯π₯β
untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Fungsi Terdiferensialkan
DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika fβ(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, β) atau (ββ, a) atau (ββ, β)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Terdiferensialkan dan Kontinuitas
TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan?
0 a x
y
0 a x
y
0 a x
y
(a) Runcing (b) Tidak kontinu (c) Garis singgung vertikal
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Aturan-Aturan Turunan
ππππππ
ππ = 0 ππππππ
π₯π₯ππ = πππ₯π₯ππβ1
ππππ β² = πππππ ππ + ππ β² = ππβ² + πππ ππ β ππ β² = ππβ² β πππ
ππππ β² = ππππβ² + πππππ ππππ
β²= ππππβ²βππππβ²
ππ2
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri
TEOREMA Untuk semua x dalam domain fungsi,ππππππ
sin π₯π₯ = cos π₯π₯ ππππππ
cos π₯π₯ = β sin π₯π₯ππππππ
tan π₯π₯ = sec2 π₯π₯ ππππππ
cot π₯π₯ = β csc2 π₯π₯ππππππ
sec π₯π₯ = sec π₯π₯ tan π₯π₯ ππππππ
csc π₯π₯ = β csc π₯π₯ cot π₯π₯
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Aturan Rantai
Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f β g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan
ππ β ππ π π₯π₯ = πππ ππ π₯π₯ β πππ π₯π₯Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka
πππππππ₯π₯
=ππππππππ
β πππππππ₯π₯
dengan dy/du ditentukan di u = g(x).
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Maksimum dan Minimum Absolut
DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakanβ’ Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) β₯ f(x)
untuk semua x di D.β’ Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) β€ f(x)
untuk semua x di D.
Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Teorema Nilai Ekstrem
TEOREMA Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b].
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Maksimum dan Minimum Lokal
DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakanβ’ Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) β₯ f(x)
untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.
β’ Nilai minimum lokal dari f jika f(c) β€ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.
c2c1 c3 x
yMaks lokal
Min lokal Min
lokal
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim LokalTEOREMA Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di c dan fβ(c) ada, maka fβ(c) = 0.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Calon Titik Ekstrim Lokal
a bc d e
fβ(d) = 0
fβ(e) tidak ada
fβ(c) tidak ada
x
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Titik Kritis
DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain f sedemikian sehingga fβ(c) = 0 atau fβ(c) tidak ada.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Menentukan Maksimum dan Minimum AbsolutMETODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b).2. Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b].3. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan nilai
maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika
ππ π₯π₯1 < ππ π₯π₯2 ketika π₯π₯1 < π₯π₯2 dalam ISuatu fungsi f dikatakan turun pada selang Ijika
ππ π₯π₯1 > ππ π₯π₯2 ketika π₯π₯1 < π₯π₯2 dalam I
f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2
x1 x20 x
yy = f(x)
x1 x20 x
yy = f(x)
f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Uji Naik/Turun
TEOREMA(a) Jika fβ(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut.(b) Jika fβ(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang tersebut.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Nilai-Nilai Ekstrem Lokal
TEOREMA UJI TURUNAN PERTAMAMisalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f.(a) Jika fβ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki
maksimum lokal di c.(b) Jika fβ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki
minimum lokal di c.(c) Jika fβ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c,
maka f tidak memiliki maksimum lokal atau minimum lokal di c.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Kecekungan
DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y= f(x)(a) cekung ke atas pada selang I jika fβ
naik pada I;(b) cekung ke bawah pada selang I jika
fβ turun pada I.0 x
y
y = x3
fβ turun
fβ naik
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Uji Kecekungan
TEOREMA(a) Jika fβ(x) > 0 untuk semua x dalam
I, maka grafik f terbuka ke atas pada I.
(b) Jika fβ(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I.
β1
y = x2
x
y
2
0
yβ > 0 yβ > 0
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Titik Belok
DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya).
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Uji Turunan Kedua
TEOREMA Misalkan fβ kontinu di dekat c.(a) Jika fβ(c) = 0 dan fβ(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c.(b) Jika fβ(c) = 0 dan fβ(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Aturan LβHΓ΄pital
Misalkan f dan g terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat adengan gβ(x) β 0 pada I ketika x β a. Jika lim
ππβππππ π₯π₯ = lim
ππβππππ π₯π₯ = 0
maka
limππβππ
ππ π₯π₯ππ π₯π₯
= limππβππ
πππ π₯π₯πππ π₯π₯
dengan syarat limit bentuk yang di ruas kanan ada.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung kurva ππ π₯π₯ = 6 π₯π₯ + 33 π₯π₯ di titik (1, 9).
2. Volume. Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk l diberikan oleh rumus 6l2. Tentukan kecepatan perubahan luas permukaan kubus tersebut ketika l = 3.
3. Gerak Jatuh Bebas. Posisi objek yang jatuh bebas dengan kecepatan awal v0 dan ketinggian awal h0 adalah s(t) = β5t2 + v0t + s0. Sebuah bola dilempar ke bawah pada ketinggian 200 m dan kecepatan awal 8 m/s. Tentukan kecepatan bola tersebut saat menyentuh tanah.
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Latihan
4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
(a) ππ π π = 3π π +14π π β3
(b) ππ = sec7 ππ7
β sec5 ππ5
5. Diberikan fungsi ππ π₯π₯ = π₯π₯ β 1 2 π₯π₯ β 3 . Tentukan selang buka ketika fungsi f tersebut naik atau turun.
6. Tentukan nilai ekstrem lokal fungsi-fungsi berikut.
(a) ππ π₯π₯ = ππ+4ππ2
(b) β π‘π‘ = π‘π‘ β 4 π‘π‘ + 1
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Latihan
7. Luas Maksimum. Sebuah persegi panjang dibatasi oleh sumbu-x, sumbu-y, dan grafik ππ = 3 β 1
2π₯π₯. Tentukan panjang dan lebar
persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum.8. Seutas kawat dengan panjang 10 meter dipotong menjadi dua
bagian. Bagian pertama digunakan untuk membuat persegi sedangkan yang lain digunakan untuk membuat segitiga sama sisi. Bagaimana kawat tersebut dipotong agar menghasilkan luas total yang (a) maksimum? (b) minimum?
Integrat ing academic ex c e l lence and humanist i c value
Daftar Pustaka
Briggs, W., Cochran, L., Gillett, B. (2015). Calculus: Early Transcendentals (2nd ed.). Boston, MA: Pearson.
Larson, R., Edwards, B. (2014). Calculus (10th ed.). Boston, MA: Brooks/Cole.
Stewart, J. (2016). Calculus (8th ed.). Boston, MA: Cengage Learning.Varberg, D., Purcell, E., Rogdon, S. (2007). Calculus (9th ed.). Upper
Saddle River, NJ: Pearson.