15 BAB 2. TURUNAN PARSIAL 1.1 PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat: - Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih - Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih - Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang singgung kurva - Menemukan turunan berarah - Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi. 2.2 TURUNAN Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai: () x f x f f ∂ ∂ = = ' ' Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing disebut sebagai turunan parsial. Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka: (i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x y x f ∂ ∂ ) , ( atau f x (x,y), didefinisikan sebagai
36
Embed
BAB 2. TURUNAN PARSIAL - goresanpenaku.weebly.comgoresanpenaku.weebly.com/uploads/1/6/1/2/16120262/bab-2.-turunan... · Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
��������������� ���
�
�
15
�
BAB 2. TURUNAN PARSIAL
1.1 PENDAHULUAN
Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu
peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih.
Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat:
- Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih
- Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih
- Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang
singgung kurva
- Menemukan turunan berarah
- Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi.
2.2 TURUNAN
Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka
turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai:
( )x
fxff
∂
∂== ''
Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama
fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing
disebut sebagai turunan parsial.
Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka:
(i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x
yxf
∂
∂ ),( atau fx(x,y),
didefinisikan sebagai
��������������� ���
�
�
16
�
x
yxf
∂
∂ ),( =
x
yxfyxxf
x ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan y
yxf
∂
∂ ),( atau fy(x,y),
didefinisikan sebagai
y
yxf
∂
∂ ),( =
y
yxfyyxf
y ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
Contoh 2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial
terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y + x + y + 1.
Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f
terhadap y di titik (1,2)
Penyelesaian:
x
yxf
∂
∂ ),( =
x
yxfyxxf
x ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
= x
yxyxyxxyxx
x ∆
+++−++∆++∆+
→∆
)1(1)()(lim
22
0
= x
yxyxyxxyxyxxyx
x ∆
+++−++∆++∆+∆+
→∆
)1(1)(..2lim
222
0
= x
xyxyxx
x ∆
∆+∆+∆
→∆
2
0
)(..2lim
= 2xy + 1
y
yxf
∂
∂ ),( =
y
yxfyyxf
y ∆
−∆+
→∆
),(),(lim
0
= y
yxyxyyxyyx
y ∆
+++−+∆+++∆+
→∆
)1(1)(lim
22
0
��������������� ���
�
�
17
�
= y
yyx
y ∆
∆+∆
→∆
2
0lim
= x2 + 1
Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (1,2) adalah
x
f
∂
∂ )2,1( = 2(1)(2) + 1 = 5 .
dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) adalah
y
f
∂
∂ )2,1( = 2
2 +1= 5.
Untuk selanjutnya, dalam menentukan turunan parsial dari fungsi dua
peubah f(x,y)maka dapat dilakukan hal berikut.
- Jika f diturunkan terhadap peubah x maka y dianggap
tetap/konstanta
- Jika f diturunkan terhadap peubah y maka x dianggap
tetap/konstanta.
Contoh 2.2:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi
yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y
2 + xy
2 + 4y.
Penyelesaian:
x
yxf
∂
∂ ),( = 12x
3y
2 + y
2
y
yxf
∂
∂ ),( = 6x
4y + 2xy + 4.
��������������� ���
�
�
18
�
Turunan Parsial tingkat tinggi
Turunan fungsi biasanya masih berupa fungsi yang dapat diturunkan lagi.
Jadi dari suatu fungsi kita dapat mencari turunan tingkat satu, turunan
tingkat dua dan seterusnya.
Turunan tingkat dua dinotasikan sebagai berikut:
.)(y
)(x
)(y
)(x
2
2
2
2
2
2
y
f
y
f
yff
yx
f
y
f
xff
xy
f
x
f
yff
x
f
x
f
xff
f
yyy
yxy
xyx
xxx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
∂∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
∂∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂==
∂
∂
Contoh 2.3:
Tentukan semua turunan parsial order dua dari .yxyxw523 −=
Penyelesaian:
,523 43522yxyx
y
w,yyx
x
w−=
∂
∂−=
∂
∂
,yxx
w
xx
w 2
2
2
6=���
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
,202 33
2
2
yxxy
w
yy
w−=��
�
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
��������������� ���
�
�
19
�
,56 422
yyxy
w
xyx
w−=��
�
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂∂
∂
.56 422
yyxx
w
yxy
w−=��
�
����
�
∂
∂
∂
∂=
∂∂
∂
Contoh 2.4:
Diketahui fungsi 322 2),( yxyxyxf −+= . Carilah
xy
f
yx
f
y
f
x
f
y
f
x
f
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ 22
2
2
2
2
,,,,,
Penyelesaian:
222 yxx
f+=
∂
∂ , 2
2
2
=∂
∂
x
f, y
xy
f4
2
=∂∂
∂
234 yxyy
f−=
∂
∂ , yy
y
f64
2
2
−=∂
∂, yf
yx
fyx 4
2
==∂∂
∂
LATIHAN 2.2 :
Tentukan turunan parsial pertama dari
1. f(x,y) = 2x2y
3 – x
3y - y
2. f(x,y) = 3x2 – xy + cos (x
2 + y
2)
3. f(x,y) = 2xy2 – e
2xy + ln (x
2 + 2y)
4. ( , ) sin ,1
xf x y
y
� �= � �
+� �
5. ( )( , ) arctan ,f x t x t=
��������������� ���
�
�
20
�
6. ln( 2 3 ),w x y z= + +
Tentukan semua turunan kedua dari
7. ( ) 3 2 3 2, 2 .f x y x x y y= + −
8. z = x cos y – y cos x.
9. u = log (ax + by)
2.3 ATURAN RANTAI
Aturan rantai pada fungsi dua peubah merupakan peluasan dari aturan
rantai pada fungsi satu peubah.
Misalkan ),( u,vfz = dimana )( x,ygu = dan )(x,yhv =
maka
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
,
Contoh 2.5:
Jika z = f(u,v) =3u2 – v
2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy
Carilah x
z
∂
∂ dan
y
z
∂
∂
Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua
peubah u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan
parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:
��������������� ���
�
�
21
�
x
w
w
F
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ dan
y
w
w
F
y
v
v
F
y
u
u
F
y
F
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
Contoh 2.6 :
Jika u = f (x, y) dan x = r cos θ, y = r sin θ, tunjukkan bahwa
2
2
2221
��
���
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂=��
�
����
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂
�
u
rr
u
y
u
x
u.
Penyelesaian
x = r cos θ, y = r sin θ
�.r�
y�,
r
y�,r
�
x�,
r
xcossinsincos =
∂
∂=
∂
∂−=
∂
∂=
∂
∂�
diperoleh
�y
u�
x
u
r
y
y
u
r
x
x
u
r
usincos
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
t
u�
x
u�
∂
∂+
∂
∂= sincos
Secara sama,
�)(ry
u�)r(
x
u
�
y
y
u
�
x
x
u
�
ucossin
∂
∂+−
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
y
u�r
x
u�r
∂
∂+
∂
∂−= cossin
Dengan demikian terbukti bahwa
222
2
21
���
����
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂=�
�
���
�
∂
∂+�
�
���
�
∂
∂
y
u
x
u
�
u
rr
u
��������������� ���
�
�
22
�
Latihan 2.3
1. Jika G(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw
2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y,
Carilah x
G
∂
∂ dan
y
G
∂
∂.
2. Jika 2 43 ,z x y xy= + dengan sin 2x t= dan cosy t= , Tentukan dz
dt
ketika 0.t =
3. Jika cos( 4 )z x y= + 45 ,x t= dan1
yt
= , Tentukandz
dt.
4. Jika 2 ,w xy yz= + t
x e= , sinty e t= , dan cos ,t
z e t= Tentukan .dw
dt
5. Jika 4 2 3,u x y y z= + dengan ,tx rse= 2 t
y rs e−= , dan 2 sin ,z r s t=
Tentukan u
s
∂
∂ ketika 2,r = 1,s = dan 0.t =
6. Jika ( ) ( )2 2 2 2, , ,g s t f s t t s= − − dan f terdiferensial, tunjukkan bahwa
0.g g
t ss t
∂ ∂+ =
∂ ∂
7. Jika 2 2u r s= + dengan cosr y x t= + dan sins x y t= + , Tentukan
,u
x
∂
∂
u
y
∂
∂,
danu
t
∂
∂ .
8. Jika u = f (x, y) dan ,x
zt,
z
ys,
y
xr === tunjukkan bahwa
.0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
uz
y
uy
x
ux
��������������� ���
�
�
23
�
9. Jika ,z
y,
z
xfv �
�
���
�= tunjukkan
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
vz
y
vy
x
vx
2.4. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi
implisit dua variabel, dilambangkan dengan ( )zyxF ,, . Dalam mencari
turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit ini,
dikenal dua metode, yaitu:
a. Cara langsung
Turunan parsial terhadap x , x
z
∂
∂ .
Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z ,
dengan mengganggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika
diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan denganx
z
∂
∂.
Turunan parsial terhadap y , y
z
∂
∂
Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z ,
dengan mengganggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika
diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengany
z
∂
∂.
��������������� ���
�
�
24
�
b. Cara tidak langsung
Dalam cara tidak langsung, pertama-tama persamaan diturunkan
terhadap x diperoleh x
F
∂
∂, kemudian diturunkan terhadap y diperoleh
y
F
∂
∂,
dan terakhir diturunkan terhadap z diperoleh z
F
∂
∂.
Selanjutnya dihitung:
z
Fx
F
x
z
∂
∂∂
∂
−=∂
∂ dan
z
F
y
F
y
z
∂
∂
∂
∂
−=∂
∂
Contoh 2.7:
Misal dipunyai fungsi implisit )sin(xzxyz = . Carilah turunan parsial
pertama terhadap x dan y
Penyelesaian:
a. Cara langsung
Untuk fungsi diatas, diperoleh:
( )x
zxzxxzz
x
zxyyz
∂
∂+=
∂
∂+ )cos(cos
( ) yzxzzx
zxzx
x
zxy −=
∂
∂−
∂
∂cos)cos(
( ))cos(
cos
xzxxy
yzxzz
x
z
−
−=
∂
∂
Dengan cara yang sama diperoleh: )sin(xzxyz =
y
zxzx
y
zxyxz
∂
∂=
∂
∂+ )cos( .
��������������� ���
�
�
25
�
xzy
zxzx
y
zxy −=
∂
∂−
∂
∂)cos( .
)cos(xzxxy
xz
y
z
−−=
∂
∂
a. Cara Tidak Langsung
)cos(xzzyzx
F−=
∂
∂, xz
y
F=
∂
∂, dan xzxxy
z
Fcos−=
∂
∂. Diperoleh:
)cos(
)cos(
xzxxy
xzzyz
z
Fx
F
x
z
−
−−=
∂
∂∂
∂
−=∂
∂ dan
)cos(xzxxy
xz
z
F
y
F
y
z
−−=
∂
∂
∂
∂
−=∂
∂
LATIHAN 2.4 :
Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini:
1. 0104423 222 =−−+−+− yzzxzyxyx
2. 0432 =−+− xyyzxzxyz
3. )cos(yzxyz =
4. yxyz =
5. )cos()sin(2yzxzxyz +=
6. xyxz =
7. sin( ) 2 3 .xyz x y z= + +
2.5 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN LINIER
��������������� ���
�
�
26
�
Bidang Singgung
Misalkan suatu permukaan mempunyai persamaan ( , )z f x y= dan f
mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu, maka persamaan bidang
singung pada permukaan ( , )z f x y= di titik 0 0 0( , , )P x y z dinyatakan oleh:
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + − .
Persamaan bidang singgung ini adalah linierisasi dari sautu permukaan.
Contoh 2.8 :
Tentukan persamaan bidang singgung terhadap paraboloid eliptik 2 22z x y= + di titik (1,1,3).
Penyelesaian :
Dalam hal ini f (x,y) = 2 22z x y= + , sehingga
4)11( ; 4)( == ,fxx,yf xx
2)1(1 ; 2)( == ,fyx,yf yy
Maka persamaan bidang singgung di titik ( 1,1,3) adalah
.324
atau
)1(2)1(43
−+=
−+−=−
yxz
yxz
Hampiran Linier
Perhatikan bahwa pesamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik
����� ��� ��� dinyatakan oleh
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + −
Dengan memperhatikan bahwa �� ���� ��� diperoleh
� ���� ��� � ����� ����� ��� � ����� ����� ���
��������������� ���
�
�
27
�
yang merupakan linierisasai permukaan � ��� �� di titik ���� ��� ��� .
Fungsi di ruas kanan persamaan ini merupakan linierisasi dari ��� �� di
titik ���� ���, dan biasa ditulis dengan
���� �� ���� ��� � ����� ����� ��� � ����� ����� ���� Dalam hal ini fungsi f merupakan fungsi yang terdiferensial di ���� ���, yaitu fungsi yang turunan parsialnya, �� dan ��� ada di sekitar ���� ��� dan
kontinu di ���� ���.
Contoh 2.9 :
Tunjukkan bahwa fungsi ��� �� ��� terdiferensial di titik (1,4) dan
carilah hampiran liniernya di titik tersebut, kemudian gunakan hasilnya
untuk mendekati nilai������ �����. Penyelesaian:
Turunan parsialnya adalah
���� �� �������� ������� �
���� �� ��������� � �������
��
Jelas bahwa �� dan ��� ada di sekitar ����� dan kontinu di �����, jadi