Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi Dosen Pengampu: Indah Yanti
Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi
Dosen Pengampu: Indah Yanti
4.1. Iterasi Turunan Parsial
Contoh 4.1.1
Pandang fungsi π:β2 β β yang didefinisikan sebagai berikut
π π₯, π¦ =
π₯π¦ π₯2 β π¦2
π₯2 + π¦2 π₯, π¦ β 0,0
0 π₯, π¦ = 0,0
2012 2
TEOREMA 4A
Misalkan fungsi f : A βΆβ, dimana Aββ2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Maka
π2π
ππ₯ππ¦=
π2π
ππ¦ππ₯
dipenuhi dimanapun A.
3 2012
4.2. Teorema Taylor
Teorema Taylor fungsi satu variabel bernilai riil untuk fungsi mulus adalah
π π₯ = π π₯0 + πβ² π₯0 π₯ β π₯0 +πβ²β² π₯02!
π₯ β π₯02 +β―+
π π π₯0π!
π₯ β π₯0π
+ π π π₯ Dimana
π π π₯ = π₯ β π‘ π
π!π π+1 π‘ dπ‘
π₯
π₯0
memenuhi
limπ₯βπ₯0
π π π₯
π₯ β π₯0π = 0
2012 4
TEOREMA 4B
Misalkan fungsi f : A βΆβ, dimana Aββ2 himpunan buka, diferensiabel di x0βA. Maka untuk setiap xβA, diperoleh
π π± = π π±π + ππ
ππ₯ππ±π π₯π β ππ
π
π=1
+ π 1 π±
dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan
limπ±βπ±π
π 1 π±
π± β π±π= 0
5 2012
TEOREMA 4C
Misalkan fungsi f : A βΆβ, dimana Aββ2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Misalkan x0βA. Maka untuk setiap xβA, diperoleh
π π± = π π±0 + ππ
ππ₯ππ±0
π
π=1
π₯π β ππ
+1
2
π2π
ππ₯πππ₯ππ±0
π
π=1
π
π=1
π₯π β ππ π₯π β ππ + π 2 π±
dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan
limπ±βπ±0
π 2 π±
π± β π±02 = 0
6 2012
DEFINISI
Fungsi kuadrat
ππ π±0 π± β π±0 =1
2
π2π
ππ₯πππ₯ππ±0
π
π=1
π
π=1
π₯π β ππ π₯π β ππ
disebut Hessian dari f di x0. Sehingga deret Taylor dapat ditulis dalam bentuk
π π± = π π±0 + ππ π±0 π± β π±0 +ππ π±0 π± β π±0 + π 2 π±
7 2012
4.3. Titik Stasioner
DEFINISI Titik π±π β π΄ disebut titik stasioner dari π jika turunan total ππ π± = π dimana π menyatakan matrik nol berukuran 1 Γ π.
Titik π±π β π΄ dikatakan maksimum (lokal) dari π jika terdapat neighbourhood U dari π±π sedemikian sehingga π π± β€ π π±π untuk setiap π± β π. Titik π±π β π΄ dikatakan minimum (lokal) dari π jika terdapat neighbourhood U dari π±π sedemikian sehingga π π± β₯ π π±π untuk setiap π± β π. Titik stasioner π±π β π΄ yang bukan merupakan titik maksimum ataupun minimum disebut titik pelana dari π.
2012 8
TEOREMA 4D
Misalkan fungsi π: π΄ β β, dimana π΄ β βπ adalah himpunan buka, diferensiabel. Misalkan π±π β π΄ adalah titik maksimum atau minimum dari π. Maka π±π adalah titik stasioner dari π.
2012 9
4.5. Ekstrim Bersyarat
TEOREMA 4G. Misalkan fungsi f :A β dan g:A β dimana A βn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu. Misal cβ ditentukan, dan S = {x A: g(x) = c}. Misalkan juga fungsi fS , batasan dari f ke S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan (g)(x0) 0. Maka terdapat bilangan riil sedemikian sehingga (f)(x0) = (g)(x0).
Catatan.
(1) Batasan f untuk S A adalah fungsi fS , :S β,: x β¦ f(x).
(2) Bilangan disebut pengali Lagrange.
(3) (g)(x0) adalah vektor yang ortogonal terhadap S di x0.
10 2012
Ekstrim Bersyarat
Soal. Tentukan jarak dari titik asal (0, 0, 0) ke permukaan π₯ β 2π¦ β 2π§ = 3. Solusi.
Fungsi jarak π:β3 β β: π₯, π¦, π§ β¦ π₯2 + π¦2 + π§2 Kuadrat fungsi jarak π:β3 β β: π₯, π¦, π§ β¦ π₯2 + π¦2 + π§2
Fungsi batas π:β3 β β: π₯, π¦, π§ β¦ π₯ β 2π¦ β 2π§
Cari: jarak minimal di titik (x, y, z) yang dibatasi oleh fungsi g(x, y, z) = 3.
11 2012
Ekstrim Bersyarat
Solusi. Mencari nilai minimal fungsi f yang dibatasi fungsi g. Dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh (f)(x) = (g)(x) (2x, 2y, 2z) = (1, β2, β2) Selesaikan sistem persamaan (2x, 2y, 2z) = (1, β2, β2) x β 2y β 2z = 3 dan diperoleh =2/3 sehingga (x, y, z) = (1/3, β2/3, β2/3). Nilai π π₯, π¦, π§ = π 1 3 ,β 2 3 , β2 3 = 1. Sehingga jarak dari titik asal ke permukaan x β 2y β 2z = 3 adalah akar dari π π₯, π¦, π§ , yaitu sama dengan 1.
12 2012
Ekstrim Bersyarat
Latihan soal. Tentukan volume terbesar kubus yang sisi β sisinya dibatasi oleh elipsoid
π₯2
π2+π¦2
π2+π§2
π2= 1
Petunjuk: Persamaan kubus [βx, x] [βy, y] [βz, z] Fungsi volume kubus f : β3β : (x, y, z) β¦ 8xyz
13 2012
Perumuman Teorema 4G
TEOREMA 4G.
Misalkan fungsi f :A β dan ππ:A β dimana A βn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.
Misal π1, β― , ππ β β ditentukan, dan π = π± β π΄: ππ π± = ππ .
Misalkan juga fungsi fS , batasan f untuk S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan π»π1 π±0 , β― , π»ππ π±0 bebas linier atas β.
Maka terdapat bilangan riil π1, β― , ππ β β sedemikian sehingga
π»π π±0 = π1 π»π1 π±0 + β―+ ππ π»ππ π±0
2012 14
Ekstrim Bersyarat
Latihan soal.
Tentukan jarak dari titik asal ke perpotongan π₯π¦ = 12 dan π₯ + 2π¦ = 0.
Petunjuk:
Kuadrat fungsi jarak
f : β3β : (x, y, z) β¦ x2 + y2 + z2
Fungsi batas
g1 : β3β : (x, y, z) β¦ xy = 12
g2 : β3β : (x, y, z) β¦ x + 2y = 0
15 2012
Soal
SOAL 1.
Tentukan nilai maksimal dari fungsi π π₯, π¦ = π₯π¦ + π¦ yang dibatasi oleh fungsi π₯2 + π¦2 β€ 1.
SOAL 2.
Tentukan titik-titik maksimum dan minimum dari fungsi π π₯, π¦ = π₯π¦ β π₯2 yang dibatasi fungsi π = π₯, π¦ : π₯2 + 2π₯π¦ + π¦2 β€ 4
2012 16