MATERI KALKULUS 1 - · PDF fileMenurut teorema uji turunan I, diperoleh Sehingga A mencapai nilai minimum pada x = 9 dan y = 18. Jadi ukuran surat edaran dengan pemakaian kertas paling

PENGGUNAAN TURUNAN

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

[email protected]

Fungsi yang berbentuk f(-x)=f(x)disebut fungsi genap yanggrafiknya simetri terhadapsumbu y

Fungsi yang berbentuk f(-x)=-f(x)disebut fungsi ganjil yanggrafiknya simetri terhadap titikasal

fungsi genap & fungsi ganjil

y = x2 – 2

Fungsi genap

y = x3 – 2x

Fungsi ganjil

1

• Simetris terhadap sumbu y bila (x,y)maupun (-x,y) terletak pada grafiktersebut fungsi genap.

2

• Simetris terhadap sumbu x bila (x,y)maupun (x,-y) terletak pada grafiktersebut.

3

• Simetris terhadap titik asal [(0,0)] bila(x,y) maupun (-x,-y) terletak pada grafiktersebut fungsi ganjil.

kesimetrian grafik

x

y

xx

2 2

(x, y)(-x,

y)

(2, 1)(-2, 1)

(i) y = x2 - 3

x

y

(x, y)

(x, -y)

(ii) x = y2 +

1

(x, y)

(-x, -y)

x

y

(iii) x = y3

Garis x=c adalah asimtot tegak/vertikal

dari grafik y=f(x) jika salah satu

pernyataan berikut berlaku

)(lim 4.

)(lim 3.

)(lim 2.

)(lim .1

xf

xf

xf

xf

cx

cx

cx

cx

asimtot grafik-asimtot tegak

(1)

x = c

(1)

x = c

(2)

x = c

Garis y=b adalah asimtot

datar/horisontal dari grafik y=f(x) jika

salah satu pernyataan berikut berlaku

Nxbxfbxf

Nxbxfbxf

x

x

jika )( N, bil.utk &)(lim .2

jika )( N, bil.utk &)(lim .1

asimtot grafik-asimtot datar

y = b

(1)

y = b

(1)

(2) (2)

y = by = b

Tentukan asimtot-asimtot untuk

grafik dengan persamaan

xy2-2y2-4x=0

22

2

4

42

042

2

2

22

x

xy

x

xy

xxy

xyxy

Contoh 1

Ada dua fungsi

22)( .2

22)( .1

22

11

x

xxfy

x

xxfy

DA f1 dan f2 adalah (-,0)(2,+)

1

21

11

21

11

1

22

12

1

datar asimtot 2 Jadi

22lim)(lim

22lim)(lim

gak asimtot te 2 Jadi

2lim)(lim

fungsi

f y

xf

xf

f x

xf

f

xxx

xxx

xx

xx

2

21

2

21

2

2

22

22

2

datar asimtot 2 Jadi

22lim)(lim

22lim)(lim

gak asimtot te 2 Jadi

2lim)(lim

fungsi

fy

xf

xf

f x

xf

f

xxx

xxx

xx

xx

x y2

2 y2

4 x 0

1y

2y

1. PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

[email protected]

Pada materi turunan dijelaskan bahwa

kemiringan garis singgung merupakan

tafsiran geometris dari TURUNAN

fungsi, sehingga turunan dapat digunakan

sebagai alat bantu menggambar grafik

fungsi.

Bantuan tersebut dalam hal penentuan

titik-titik garis singgung atau penentuan

interval dimana grafik terletak di atas

garis singgung atau dibawahnya dst.

Tentukan daerah asal f

Tentukan perpotongan dng sb x & sb y

Uji kesimetrian thd sb x, y & titik asal(fungsi genap atau fungsi ganjil)

Hitung f ’(x) dan f”(x)

Tentukan bilangan kritis untuk f

Terapkan uji turunan I dan uji turunanII untuk mencari ekstrim relatif

METODE

METODE

Tentukan interval f naik /turun

Cari titik belok, yaitu f”(x)berganti tanda & grafik punyagaris singgung

Tentukan interval f cekung keatasatau cekung kebawah

Cari asimtot tegak ataupun asimtotdatar

Diberikan fungsi f(x)=x3-3x2+3. Sketsa

grafik f.

Contoh 2

Daerah asal f adalah (-,)

Perpotongan dengan sumbu y (0,3)

f(-x)=(-x)3–3(-x)2+3=-x3–3x2+3

f(x)≠-f(x)

bukan fungsi genap/bukan fungsi ganjil.

f(x)=x3-3x2+3

f’(x)=3x2-6x, titik kritis f ’(x) = 0

3x2-6x=0 3x(x-2)=0

x=0 & x=2

f”(x)=6x-6, dicari f”(x)=0

6x-6=0 6(x-1)=0

x=1

Naik,cekung keatas++x > 2

Min,cekung keatas60-1x = 2

Turun,cekung keatas+-1 < x < 2

Turun,titik belok0-31x = 1

Turun,cekung kebawah--0 < x < 1

Max,cekung kebawah-603x = 0

Naik,cekung kebawah-+x < 0

Keteranganx )(" xf)(xf )(' xf

Contoh 3Sketsa grafik berikut

4)(

2

2

x

xxf

Daerah asal f adalah (-,) dng x-2 & x2

Perpotongan dgn sb y (x=0)(0,-¼)

Perpotongan dgn sb x (y=0)(0,0)

Merupakan fungsi genap

)(44)(

)()(

2

2

2

2

xfx

x

x

xxf

2dan 20)4(

1286424

0)(")4(

1286424)("

00)(' kritistitik ,)4(

8)('

4)(

42

24

42

24

22

2

2

xxx

xx

xfx

xxxf

xxfx

xxf

x

xxf

turun,cekung keatas+-x > 2

-x = 2

Turun,cekung kebawah--0 < x < 2

Turun,titik belok00-¼x = 0

naik,cekung kebawah-+-2< x <0

-x = -2

Naik,cekung keatas++x < -2

Keteranganx )(" xf)(xf )(' xf

2. PENCARIAN NILAI OPTIMUM

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

[email protected]

Disamping untuk menggambar grafikfungsi, turunan juga dapat digunakanuntuk membantu mencari nilai optimumdari suatu permasalahan nyata yangdimodelkan kedalam modelmatematika.

Bantuan tersebut dalam halmenentukan titik-titik optimalsehingga keputusan yang diambil dalammenyelesaikan suatu permasalahantersebut dapat optimal pula, diluarasumsi-asumsi tertentu.

METODE

Buat sketsa gambar (jikamemungkinkan)

Berikan variabel yang sesuai padasketsa tsb.

Tulis rumus besaran yang akandioptimumkan (maksimum atauminimum) dalam bentuk variabel.

Nyatakan besaran yang dicari sebagaifungsi dari satu variabel.

METODE

Tentukan himpunan nilai yang mungkin(daerah asal biasanya berupa interval).

Tentukan titik kritis (titik-titikoptimum)

Gunakan teorema turunan yang adauntuk menentukan nilai optimumnya(maksimum dan minimum).

Sebuah surat selebaran memuat

50 cm persegi bahan cetak. Jalur

bebas cetak diatas dan dibawah

selebar 4 cm dan disamping kiri

dan kanan selebar 2 cm. Berapa

ukuran surat selebaran tersebut

yang memerlukan kertas

sesedikit mungkin

Contoh 4

Misalkan

x lebar surat edaran

y tinggi surat edaran

x

y2cm 2cm

4cm

4cm

Luas surat selebaran yang akan

diminimumkan A = xy

Sedang ukuran bahan cetakan adalah

84

5050)8)(4(

xyyx

)(4, 1dan 9diperoleh

0)4(

)9)(1(8

)4(

72648

0)4(

)188()4)(1816(A

0)( kritisik syarat tit

)(4, atau 404

dengan

4

1888

4

50AA

22

2

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

x

xxxx

dx

d

xA'

xxx

x

xxx

x

xxy

Menurut teorema uji turunan I,

diperoleh

Sehingga A mencapai nilai

minimum pada x = 9 dan y = 18.

Jadi ukuran surat edaran dengan

pemakaian kertas paling sedikit

(minimum) adalah 9 18 cm

),9(untuk 0A

dan )9,4(untuk 0A

dx

d

dx

d

Cari ukuran tabung lingkaran tegak yang

volumenya sebesar mungkin yang dapat

ditempatkan di dalam sebuah kerucut

lingkaran tegak.

Andaikan

a tinggi kerucut (konstanta)

b jari-jari kerucut (konstanta)

h tinggi tabung

r jari-jari tabung

V volume tabung

a-h

b

h

r

a

Contoh 5

br

rb

aarr

b

aarV

rb

aah

b

a

r

a-h

hrπV

0dengan

diperoleh serupa segitiga setiga dari

adalah tabungVolume

322

2

3dan

3

2

adalahukuran jadi

0)(

maksimum3

2

33

2

0)0(

,,0 kritistitik diperoleh

3

203 2

0)(' kritisik syarat tit

2

32

2

ah

br

bV

babV

V

b

brr

b

aar

dr

dV

rV

b

Lapangan berbentuk empat persegi

panjang, yang terbentang ditepi sungai,

hendak dipagari tetapi sepanjang tepi

sungai tidak ikut dipagari. Jika harga

material untuk pagar pada sisi yang sejajar

dengan sungai adalah Rp. 120.000

permeter dan harga material untuk pagar

kedua sisi lainnya Rp. 80.000 permeter.

Tentukan ukuran lapangan yang luasnya

terbesar yang dapat dipagari dengan pagar

keseluruhan seharga Rp. 36.000.000

Contoh 6

Andaikan

x sisi lapangan yang tidak

sejajar dengan sungai

y sisi lapangan yang sejajar

dengan sungai.

x

y

36001288

atau

360000001200008000080000

biayadengan

adalah lapangan luas

yxx

yxx

xyL

Jadi luas lapangan terbesar yang ditutupi pagar

jika panjang sisi lapangan yang tidak sejajar

dengan sungai adalah 112,5 m dan sisi lapangan

yang sejajar sungai adalah 150 m dengan

luas16875 m2.

5,1120003

0)(' kritisik syarat tit

300)300()( sehingga

34300360012 16

3600 12 8 8

38

2

34

34

xx

xL

xxxxxL

xyyx

yxx