caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
Bab 4
Differensial dan Integral
4.1 Review Singkat
Pengertian Turunan (differensial)
Turunan suatu fungsi f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan no-
tasidf(x)
dx. Secara geometrik, turunan suatu fungsi di suatu titik tertentu
menyatakan besar kemiringan fungsi di titik yang dimaksud, sebagaimana di-tunjukkan dalam Gambar 4.1. Berangkat dari pengertian limit, maka definisiturunan f(x) terhadap x dapat diperoleh dari:
df(x)
dx= lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x(4.1)
Pengertian Integral
Integral merupakan operasi kebalikan dari turunan (differensial) sehingga se-ring disebut juga bahwa integral adalah antiturunan. Integral suatu fungsif(x) terhadap x dinyatakan dengan
∫
f(x)dx . Jika g(x) =∫
f(x)dx makaberarti g(x) adalah fungsi yang turunannya terhadap x sama dengan f(x),yang dipenuhi untuk sangat banyak (bahkan tak hingga banyaknya). Misal-kan f(x) = 2x berarti g(x) adalah fungsi yang turunannya terhadap x samadengan 2x, yang dipenuhi oleh x2; x2 + 1; x2 − 0, 3; x2 − 1000 dan lain seba-gainya yang secara umum mempunyai bentuk x2 + C dengan C merupakankonstanta sembarang. Konstanta C ini disebut sebagai konstanta integrasi.
Operasi integral dengan batas a dan b yang dinyatakan dengan∫ b
af(x)dx
dinamakan integral tertentu yang secara geometrik mempunyai arti sebagailuas daerah yang dibentuk antara kurva f(x), sumbu x, garis x = a dan garisx = b. Perhatikan Gambar 4.2 .
53
54 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
∆x
∆y f(x)
x
y
x0
x
y
dx
df
xx ∆
∆=
= 0
Gambar 4.1: Turunan menyatakan gradien garis singgung di suatu titik.
f(x)
a b
∫b
a
dxxf )(
Gambar 4.2: Integral tertentu menyatakan luas daerah di bawah suatu kur-va.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.2. DIFFERENSIAL PARSIAL 55
4.2 Differensial Parsial
Untuk fungsi yang mempunyai dua atau lebih variabel, misalnya z = f(x, y)yang menggambarkan suatu permukaan dalam sistem koordinat kartesian,turunan terhadap salah satu variabel dapat dilakukan dengan menganggapvariabel lainnya konstan. Misalkan pada suatu permukaan yang dinyatak-an dengan fungsi f(x, y) bila diambil x konstan, maka akan didapat kurvayang merupakan hasil perpotongan permukaan f(x, y) dengan bidang x kon-stan tersebut. Turunan atau differensial seperti ini dinamakan differensialparsial (turunan sebagian). Jika x dianggap konstan, maka turunan yangdiperoleh adalah terhadap variabel y dan interpretasinya tetap sama yaitumenunjukkan slope (kemiringan) dari kurva yang dibentuk dari perpotongankedua permukaan tersebut.
Notasi yang digunakan untuk menuliskan turunan parsial dari fungsi
f(x, y) terhadap variabel y (dengan menganggap x konstan) adalah∂f
∂yatau
lebih lengkapnya sering juga dituliskan sebagai
(
∂f
∂y
)
x
.
Karena fungsi f juga merupakan fungsi dengan variabel y, maka dapatjuga diperoleh turunan parsial f(x, y) terhadap variabel x (dengan meng-
anggap variabel y konstan) dan hal ini dinyatakan sebagai∂f
∂xatau lebih
lengkapnya sering juga dituliskan sebagai
(
∂f
∂x
)
y
.
Jika differensial biasa didefinisikan dengan limit sebagaimana ditunjukkandalam persamaan 4.1, maka untuk turunan parsial definisinya adalah
∂f(x, y)
∂x= lim
∆x→0
f(x+∆x, y)− f(x, y)
∆x∂f(x, y)
∂y= lim
∆y→0
f(x, y +∆y)− f(x, y)
∆y
(4.2)
Turunan kedua juga dapat diperoleh untuk fungsi multivariabel tersebut,misalnya untuk fungsi f(x, y) dapat diperoleh turunan-turunan berikut:
∂
∂x
∂f
∂x=
∂2f
∂x2,
∂
∂x
∂f
∂y=
∂2f
∂x∂y,
∂
∂x
∂2f
∂x∂y=
∂3f
∂x2∂y, dlsb
Notasi lain yang sering digunakan untuk menuliskan turunan parsial adalah
fx untuk menyatakan∂f
∂x.
Umumnya (walaupun tidak selalu) terdapat hubungan∂
∂x
∂f
∂y=
∂
∂y
∂f
∂x,
yang disebut sebagai hubungan resiprok (reciprocity relation).
56 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
4.3 Differensial Total
Jika z = f(x, y), maka differensial total dari z dinyatakan dengan
dz =∂z
∂xdx+
∂z
∂ydy (4.3)
dz menyatakan perubahan variabel z dalam arah bidang singgung ketika xberubah sebesar dx dan y berubah sebesar dy.
Untuk fungsi yang memiliki variabel lebih banyak, cara yang sama jugadapat dilakukan. Jika u = f(x, y, z, . . .), maka differensial total dari u adalah
du =∂f
∂xdx+
∂f
∂ydy +
∂f
∂zdz + . . . (4.4)
Dalam persoalan numerik, du adalah pendekatan yang baik untuk ∆ujika turunan parsial dari fungsi f kontinu dan dx, dy, dz, dst cukup kecil.
4.4 Aturan Rantai
Dalam persoalan differensial biasa, jika f merupakan fungsi dari x sedangkanx merupakan fungsi dari variabel t, maka laju perubahan fungsi s terhadapvariabel t dapat diperoleh dengan aturan rantai, yaitu
df
dt=
df
dx
dx
dt(4.5)
Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk fungsi multivariabel. Misalkanz = f(x(t), y(t)), maka dapat dinyatakan
dz
dt=
∂z
∂x
dx
dt+
∂z
∂y
dy
dt(4.6)
Misalnya z = 2t2 sin t, maka diperoleh
dz
dt= 4t sin t+ 2t2 cos t
Misalkan suatu fungsi multivariabel z = f(x, y) dengan x dan y masing-masing adalah fungsi dengan dua variabel yaitu s dan t. Hal ini berarti zadalah fungsi dari s dan t sehingga dapat diperoleh turunan parsial z ter-hadap s dan juga terhadap t. Turunan parsialnya dapat dinyatakan sebagaiberikut
∂z
∂s=
∂z
∂x
∂x
∂s+
∂z
∂y
∂y
∂s∂z
∂t=
∂z
∂x
∂x
∂t+
∂z
∂y
∂y
∂t
(4.7)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.5. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL 57
Misalnya suatu fungsi z = xy dengan x = sin(s+ t) dan y = s− t, maka
∂z
∂x= y
∂z
∂y= x
∂x
∂s= cos(s+ t)
∂x
∂t= cos(s+ t)
∂y
∂s= 1
∂y
∂t= −1
sehingga diperoleh
∂z
∂s= y cos(s+ t) + x(1)
= (s− t) cos(s+ t) + sin(s+ t)
∂z
∂t= y cos(s+ t)− x(1)
= (s− t) cos(s+ t)− sin(s+ t)
Persamaan 4.7 dapat juga dituliskan dalam notasi matriks. Jika u =f(x, y, z), x(s, t), y(s, t), z(s, t), maka dapat dituliskan
(
∂u
∂s
∂u
∂t
)
=
(
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
)
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂y
∂t
∂z
∂s
∂z
∂t
(4.8)
4.5 Aplikasi Differensial Parsial
Persoalan maksimum dan minimum
Dalam kasus satu variabel, konsep differensial dapat digunakan untuk menca-ri nilai ekstrimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi. Titik ekstrimumsuatu fungsi ditandai dengan nilai turunan sama dengan nol di titik tersebut.Untuk mengetahui apakah suatu titik ekstrimum merupakan titik maksimumatau minimum diperlukan informasi tentang turunan kedua di titik tersebut.
Telah diketahui bahwa fungsi multivariabel misalnya z = f(x, y) menya-takan suatu permukaan dalam sistem koordinat xy. Jika pada permukaan
58 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Gambar 4.3: Titik pelana.
tersebut terdapat titik puncak ataupun titik lembah, maka kurva x = constdan y = const yang memotong permukaan tersebut dan melalui titik puncaktersebut juga akan mengalami nilai ekstrimum di titik puncak yang sama.Hal ini berarti di titik puncak tersebut berlaku
∂z
∂x= 0 dan
∂z
∂y= 0 (4.9)
Sama halnya dengan persoalan maksimum-minimum dalam kasus satu va-
riabel, titik yang memenuhi kondisi∂z
∂x= 0 dan
∂z
∂y= 0 dapat berupa ti-
tik maksimum, atau titik minimum, atau titik pelana dan lain sebagainya.Dengan demikian untuk memastikan apakah suatu titik merupakan titik mi-nimum atau titik maksimum atau titik pelana (Gambar 4.3) diperlukan in-formasi tambahan tentang turunan kedua di titik tersebut (meskipun tidaksesederhana persoalan satu variabel).
Contoh 1
Ingin dibuat suatu kotak (tanpa tutup) yang volumenya 5 m3 dengan luaspermukaan kotak minimal.
Misalkan ukuran kotak tersebut adalah p, l dan t sebagaimana ditunjukkan
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.5. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL 59
p
l
t
Gambar 4.4: Kotak berukuran p× l × t.
dalam Gambar 4.4. Volume kotak adalah V = plt. Luas permukaan totalkotak adalah A = 2pt + 2lt + pl. Dengan menggunakan V , maka dapatdinyatakan
p =V
lt−→ A = 2t
V
lt+ 2lt+
V
ltl
= 2V
l+ 2lt+
V
tA(l, t) = 10l−1 + 2lt+ 5t−1
Untuk meminimalkan A berarti turunan parsial A terhadap l dan juga ter-hadap t sama dengan nol, hal ini memberikan
∂A
∂l=
−10
l2+ 2t = 0,
∂A
∂t= 2l − 5
t2= 0
Bila kedua persamaan tersebut diselesaikan diperoleh hasil l = 2t.
Kemudian karena p =V
lt=
5
ltmaka didapat p =
5
2t2.
60 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Contoh 2
Tentukan jarak terdekat dari titik pusat koordinat ke permukaan z = xy+5.
Jarak suatu titik (x, y, z) dari pusat koordinat diberikan dengan√
x2 + y2 + z2.Karena permukaan tersebut diberikan dengan persamaan z = xy + 5, makadiperoleh
d =√
x2 + y2 + (xy + 5)2 =√
x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25
=(
x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)1/2
Untuk meminimalkan d berarti
∂d
∂x=
1
2
(
x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)−1/2
(2x+ 2xy2 + 10y) = 0
∂d
∂y=
1
2
(
x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)−1/2
(2y + 2x2y + 10x) = 0
Bila persamaan tersebut masing-masing dikalikan dengan x dan y, makadidapat
2x2 + 2x2y2 + 10xy = 0
2y2 + 2x2y2 + 10xy = 0
Kemudian keduanya dikurangkan
2x2 − 2y2 = 0 =⇒ x = y
Jadi jarak terpendek dari titik pusat koordinat ke permukaan adalah
d =(
x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)1/2
=(
y4 + 12y2 + 25)1/2
Contoh 3
Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan persamaany = 1 − x2. Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebut dari titik pusatkoordinat.
Misalkan titik (x, y) adalah titik yang terletak pada lengkungan. Maka jaraktitik tersebut dari pusat koordinat adalah d =
√
x2 + y2. Berarti yang harus
diminimumkan adalah fungsi d tersebut. Meminimalkan fungsi d =√
x2 + y2
sama artinya dengan meminimalkan fungsi f = d2 = x2 + y2.
f = x2 + (1− x2)2 = x2 + 1− 2x2 + x4 = x4 − x2 + 1
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.5. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL 61
turunan fungsi tersebut terhadap x memberikan
df
dx= 4x3 − 2x
Untuk memperoleh kondisi minimal turunan tersebut sama dengan nol se-hingga
df
dx= 4x3 − 2x = 0 −→ x = 0 atau x = ±
√
1
2
Dengan mensubstitusikan ketiga nilai x tersebut dapat diperoleh bahwa jarak
minimum dipenuhi untuk x = ±√
12dengan y = 1
2yaitu dmin = 1
2
√3.
Contoh 4
Cara penyelesaian di atas merupakan cara eliminasi langsung. Cara lain yangdapat digunakan adalah dengan menggunakan turunan implisit.
Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah f = x2 + y2, diperoleh turunanfungsi tersebut yaitu
df = 2xdx+ 2ydy ataudf
dx= 2x+ 2y
dy
dx
Karena y = 1− x2 maka berarti dy = −2xdx. Dengan demikian diperoleh
df = (2x− 4xy)dx ataudf
dx= 2x− 4xy
Untuk meminimumkan f berarti df/dx = 0 yang memberikan x = 0 atau
x = ±√
12. Sebagaimana yang telah diperoleh sebelumnya.
Metode Pengali Lagrange
Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan maksimum-minimum adalah dengan menggunakan metode pengali Lagrange (LagrangeMultipliers).
Telah ditunjukkan bahwa dalam penyelesaian persoalan maksimum-mi-nimum, pada intinya adalah ingin dicari minimum atau maksimum suatufungsi f(x, y) di mana x dan y terhubung dengan persamaan yang dinya-takan dengan φ(x, y) = const. Kemudian dengan mengatur agar df/dx = 0(sebagaimana contoh 3 di atas) atau df = 0 (sebagaimana contoh 4 di atas).
62 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Selanjutnya karena φ = const, maka dφ = 0 sehingga
df =∂f
∂xdx+
∂f
∂ydy = 0
dφ =∂φ
∂xdx+
∂φ
∂ydy = 0
Pada metode pengali Lagrange persamaan dφ dikalikan dengan suatu kon-stanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan df , sehingga didapat ben-tuk persamaan
df + λdφ = 0 −→(
∂f
∂x+ λ
∂φ
∂x
)
dx+
(
∂f
∂y+ λ
∂φ
∂y
)
dy = 0 (4.10)
Kemudian jika nilai λ dipilih sedemikian sehingga
∂f
∂y+ λ
∂φ
∂y= 0 (4.11)
maka berarti dari persamaan 4.10 diperoleh
∂f
∂x+ λ
∂φ
∂x= 0 (4.12)
Kemudian persamaan-persamaan 4.11, 4.12 dan φ(x, y) = const diselesaikanuntuk memperoleh tiga variabel x, y dan λ.
Secara ringkas metode pengali lagrange untuk menentukan nilai maksi-mum atau minimum dari suatu fungsi f(x, y) dengan x dan y mempunyaihubungan φ(x, y) = const langkahnya adalah sebagai berikut:
• tuliskan fungsi F (x, y) = f(x, y) + λφ(x, y)
• selesaikan persamaan∂F
∂x= 0,
∂F
∂y= 0 dan φ(x, y) = const untuk
memperoleh x, y dan λ.
Contoh 1
Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan persamaany = 1 − x2. Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebut dari titik pusatkoordinat dengan metode pengali lagrange.
Dalam hal ini f(x, y) = x2 + y2 dan φ(x, y) = y + x2 = 1.Persamaan F (x, y) berbentuk
F (x, y) = f(x, y) + λφ(x, y) = (x2 + y2) + λ(y + x2) (4.13)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.5. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL 63
Kemudian
∂F
∂x= 2x+ λ 2x = 0
∂F
∂y= 2y + λ y = 0
(4.14)
Dari persamaan pertama diperoleh bahwa x = 0 atau λ = −1. Bila nilaix = 0, maka akan memberikan nilai y = 1, dan bila nilai λ = −1 maka akanmemberikan y = 1
2yang kemudian memberikan x2 = 1
2. Hal tersebut sama
dengan yang diperoleh sebelumnya.
Contoh 2
Gunakan metode pengali Lagrange untuk menentukan jarak minimum darititik pusat koordinat ke perpotongan xy = 6 dengan 7x+ 24z = 0
Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah fungsi jarak dari titik pusatkoordinat yang dapat dinyatakan dalam bentuk x2 + y2 + z2. Syarat yangharus dipenuhi berkaitan dengan dua kondisi yaitu xy = 6 dan 7x+24z = 0.Dengan menggunakan metode pengali Lagrange berarti persamaan F (x, y)berbentuk
F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + λ1(7x+ 24z) + λ2xy
Selanjutnya diperoleh
∂F
∂x= 2x+ 7λ1 + λ2y = 0
∂F
∂y= 2y + λ2x = 0
∂F
∂z= 2z + 24λ1 = 0
Selain ketiga persamaan tersebut terdapat juga dua persamaan lainnya yaitu
xy = 6
7x+ 24z = 0
Dari persamaan kedua dan keempat diperoleh hubungan λ2 = −2y
x, semen-
tara persamaan ketiga memberikan λ1 = − z
12. Bila nilai-nilai λ1 dan λ2 ini
64 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
disubstitusikan ke persamaan pertama dan kemudian dengan menggunakanpersamaan keempat akan diperoleh
2x− 7
12x− 2y2
x= 0 =⇒ 2x4 − 7
12x3z − 72 = 0
Kemudian dengan menggunakan persamaan kelima dapat dieliminasi varia-bel z sehingga didapat
x4
(
625
288
)
= 72 =⇒ x = ±12
5
Selanjutnya dapat diperoleh variabel lainnya yaitu y = ±5
2dan z = ∓ 7
10.
Akhirnya diperoleh jarak minimum yaitu d =√
x2 + y2 + z2 =5√2.
4.6 Aturan Leibniz
Berdasarkan definisi integral sebagai anti turuan, yaitu jika
f(x) =dF (x)
dx
berarti∫ x
a
f(t)dt = [F (t)]xa = F (x)− F (a)
dengan a adalah konstanta. Kemudian bila persamaan tersebut didifferensi-alkan akan diperoleh
d
dx
∫ x
a
f(t)dt =d
dx[F (x)− F (a)] =
dF (x)
dx= f(x)
Hal yang sama juga dapat diperoleh
d
dx
∫ a
x
f(t)dt = −dF (x)
dx= −f(x)
Jika batas-batas integralnya merupakan fungsi dari variabel x, maka dapatdiperoleh
d
dx
∫ v(x)
u(x)
f(t)dt =d
dx[F (v)− F (u)] =
d
dxF (v)− d
dxF (u)
=dF
dv
dv
dx− dF
du
du
dx
= f(v)dv
dx− f(u)
du
dx
(4.15)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.6. ATURAN LEIBNIZ 65
Misalnya ingin dihitungdI
dxdengan I =
∫ x1/3
0t2dt. Dalam hal ini f(t) = t2,
u(x) = 0 dan v(x) = x1/3, sehingga
f(u) = f(0) = 0
du
dx= 0
f(v) = f(x1/3) = x2/3
dv
dx=
1
3x−2/3
Dengan demikian diperoleh
d
dx
∫ x1/3
0
t2dt = (x2/3)
(
1
3x−2/3
)
− (0)(0) =1
3
Berikutnya tinjau suatu fungsi yang terdiri dari dua variabel sedemiki-an sehingga F (x) =
∫ b
af(x, y)dy. Sedangkan dari definisi turunan, telah
diuraikan bahwadF
dx= lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
Dengan demikian dapat dinyatakan
dF
dx= lim
h→0
∫ b
af(x+ h, y)dy −
∫ b
af(x, y)dy
h
= limh→0
∫ b
a
(
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
)
dy
=
∫ b
a
limh→0
(
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
)
dy
d
dx
∫ b
a
f(x, y)dy =
∫ b
a
∂f(x, y)
∂xdy
(4.16)
Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi multivariabel, maka menurutaturan Leibniz 1
d
dx
∫ v(x)
u(x)
f(x, t)dt = f(x, v)dv
dx− f(x, u)
du
dx+
∫ v
u
∂f
∂xdt (4.17)
1Untuk penurunan detail aturan Leibniz, kunjungi:
http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz integral rule
66 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
y = f(x)
∆∆∆∆xa b x
y
Gambar 4.5: Integral tertentu merupakan penjumlahan luas strip-strip kecildi bawah suatu fungsi.
4.7 Integral Ganda (Multiple Integrals)
Telah disinggung sebelumnya bahwa∫ b
af(x)dx menyatakan luas daerah di
bawah kurva f(x). Integral tertentu tersebut merupakan penjumlahan luasstrip-strip kecil di bawah kurva f(x) sebagaimana ditunjukkan dalam Gam-bar 4.5.
4.7.1 Integral Lipat Dua dan Integral Lipat Tiga
Tinjau suatu fungsi multivariabel f(x, y) yang bila digambarkan dalam sis-tem koordinat kartesian fungsi tersebut membentuk suatu permukaan (bi-dang). Dengan pemahaman yang sama untuk fungsi dengan variabel tunggal,maka dapat dipahami bahwa integral lipat dua dari fungsi f(x, y) tersebutmenyatakan volume ruang di bawah permukaan yang dibentuk oleh fungsif(x, y) tersebut. Ilustrasinya ditunjukkan dalam Gambar 4.6.
Dengan demikian, integral lipat dua (double integrals) dari suatu fungsif(x, y) pada suatu daerah A dalam bidang xy menyatakan volume di bawahfungsi f(x, y) dan dibatasi luasan A. Integral ini biasanya ditulis sebagai∫∫
Af(x, y)dxdy.Selain pengertian tersebut di atas, integral lipat dua juga dapat diinter-
pretasikan sebagai luas suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva tertentu.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.7. INTEGRAL GANDA (MULTIPLE INTEGRALS) 67
Gambar 4.6: Integral lipat dua sebagai volume ruang di bawah suatu per-mukaan.
Perhatikan dari pengertian di atas bahwa∫∫
Af(x, y)dxdy menyatakan volu-
me di bawah suatu permukaan dengan batas luasan A, maka bila diambilf(x, y) = 1 integral
∫∫
Af(x, y)dxdy =
∫∫
Adxdy sama dengan luas daerah A
itu sendiri. Dengan demikian integral lipat dua juga dapat diinterpretasikansebagai luas suatu daerah.
Dengan analogi di atas, dapat dengan mudah dipahami bahwa integrallipat tiga yang berbentuk
∫∫∫
Vf(x, y, x)dxdydz dapat diinterpretasikan se-
bagai ”hyper-volume” atau volume dalam ruang berdimensi 4. Interpreta-si lainnya adalah integral lipat tiga
∫∫∫
Vdxdydz menyatakan volume suatu
objek. Selain itu∫∫∫
Vf(x, y, x)dxdydz dapat juga dipahami sebagai mas-
sa suatu objek tiga dimensi dengan rapat massa yang dinyatakan denganf(x, y, z).
Multiple integrals biasanya dapat diselesaikan dengan cara perulanganintegrasi. Contohnya seperti ditunjukkan berikut ini.
Contoh 1
Tentukan volume di bawah bidang z = 1 + y yang dibatasi dengan bidang-bidang koordinat dan bidang vertikal yang dinyatakan dengan 2x+ y = 2.
Dalam hal ini f(x, y) = 1 + y dan luasan A adalah daerah pada bidang
68 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
1
2
1
2
Gambar 4.7: Luasan A pada integral dalam contoh 1.
xy yang dibatas sumbu-sumbu x, y dan garis y = 2 − 2x, sebagaimana di-tunjukkan Gambar 4.7
V =
∫ 1
x=0
(∫ 2−2x
y=0
(1 + y)dy
)
dx =5
3
Dalam perhitungan di atas, fungsi z diintegralkan dulu terhadap y denganbatas-batas yang sesuai kemudian bari diintegralkan terhadap x.Integral yang sama dapat pula dihitung dengan mengintegralkan lebih duluterhadap x kemudian baru terhadap y
V =
∫ 2
y=0
(
∫ 1−y/2
x=0
(1 + y)dx
)
dy
=
∫ 2
y=0
(1 + y)x∣
∣
∣
1−y/2
0dy
=
∫ 2
y=0
(1 + y)(1− y/2)dy
=
∫ 2
y=0
(1 + y/2− y2/2)dy =5
3
Contoh 2
Hitung volume benda pada Contoh 1 di atas dengan menggunakan integrallipat tiga.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.7. INTEGRAL GANDA (MULTIPLE INTEGRALS) 69
Dalam hal ini obejk tersebut dapat dipandang sebagai kumpulan kotak-kotakkecil yang masing-masing berukuran sama dengan volume yang dinyatakandengan dV = dx dy dz.Volume total benda dapat dihitung menggunakan integral lipat tiga sebagaiberikut
V =
∫
dV =
∫∫∫
V
dx dy dz
=
∫ 1
x=0
∫ 2−2x
y=0
(∫ 1+y
z=0
dz
)
dy dx
=
∫ 1
x=0
∫ 2−2x
y=0
(1 + y)dy dx =5
3
4.7.2 Penggunaan Integral Ganda
Tinjau suatu kurva yang dinyatakan dengan persamaan y = x2 antara x = 0hingga x = 1. Luas daerah yang dibentuk kurva tersebut dengan sumbu xdan sumbu y adalah
A =
∫ 1
x=0
ydx =
∫ 1
x=0
x2dx =x3
3
∣
∣
∣
1
0=
1
3
Luas suatu permukaan
Luas permukaan tersebut dapat pula dihitung dengan integral lipat dua se-bagai berikut
A =
∫
dA =
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
dydx =
∫ 1
x=0
x2dx =x3
3
∣
∣
∣
1
0=
1
3
Massa Suatu Objek
Elemen luas permukaan yang telah dihitung di atas dinyatakan dengan dA =dxdy. Bila rapat massa objek tersebut adalah ρ = xy, maka massa elemenyang luasnya dA adalah dM = ρdA = xydxdy. Dengan demikian massa
70 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
total objek (permukaan) tersebut adalah
M =
∫
dM =
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
xydydx
=
∫ 1
x=0
xdx
[
y2
2
]x2
0
=
∫ 1
0
x5
2dx
=1
12
Panjang Lengkungan Kurva
Jika variabel x berubah sebesar dx dan variabel y berubah sebesar dy, makapanjang lengkungan kurva akibat perubahan tersebut dapat dinyatakan
ds =√
dx2 + dy2 =
√
dx2
(
1 +dy
dx
)
= dx
√
√
√
√
(
1 +
(
dy
dx
)2)
Karena kurva tersebut mempunyai persamaan y = x2 maka diperolehdy
dx=
2x atau
(
dy
dx
)2
= 4x2.
Dengan demikian panjang lengkungan kurva tersebut adalah
s =
∫
ds =
∫ 1
0
dx
√
√
√
√
(
1 +
(
dy
dx
)2)
=
∫ 1
0
dx√
(1 + 4x2) =2√5 + ln(2 +
√5)
4
Pusat Massa Objek
Posisi pusat massa suatu objek ditentukan dengan cara sebagai berikut:
xpm =1
M
∫
xdM ; ypm =1
M
∫
ydM ; zpm =1
M
∫
zdM
dengan M adalah massa total objek.Untuk objek yang berbentuk permukaan seperti yang dimaksud di atas dan
mempunyai rapat massa ρ = xy, telah dihitung bahwa M =1
12. Kemudian
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.7. INTEGRAL GANDA (MULTIPLE INTEGRALS) 71
karena objek yang dimaksud terletak pada bidang xy, maka zpm = 0.
xpm =1
M
∫
xdM = 12
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
x2ydydx
= 12
∫ 1
x=0
x2
[
y2
2
]x2
0
dx = 12
∫ 1
x=0
x6
2dx
= 3[
x7]1
0= 3
ypm =1
M
∫
ydM = 12
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
xy2dydx
= 12
∫ 1
x=0
x
[
y3
3
]x2
0
dx = 12
∫ 1
x=0
x7
3dx
=1
2
[
x8]1
0=
1
2
Dengan demikian posisi pusat massa objek tersebut adalah (3, 12).
Momen Inersia Objek
Momen inersia terhadap sumbu x, terhadap sumbu y dan terhadap sumbuz yang masing-masing dilambangkan dengan Ix, Iy dan Iz dihitung sebagaiberikut
Ix =
∫
y2dM
Iy =
∫
x2dM
Iz =
∫
(x2 + y2)dM
(4.18)
Dengan demikian untuk objek yang dimaksud akan didapatkan
Ix =
∫
y2dM =
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
y2xydydx =
∫ 1
0
x9
4dx =
1
40
Iy =
∫
x2dM =
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
x2xydydx =
∫ 1
0
x7
2dx =
1
16
Iz =
∫
(x2 + y2)dM =
∫ 1
x=0
∫ x2
y=0
(x2 + y2)xydydx =7
80
72 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
4.8 Pengubahan Variabel dalam Persamaan
Differensial Parsial
Salah satu penggunaan penting dari differensial parsial adalah dalam halpengubahan variabel (misalnya dari sistem koordinat kartesian ke sistemkoordinat silinder). Tinjau suatu persamaan differensial parsial yang dikenalsebagai persamaan gelombang yaitu
∂2F
∂x2− 1
v2∂2F
∂t2= 0 (4.19)
Terlihat bahwa persamaan differensial parsial tersebut mempunyai variabelx dan t. Kemudian akan dilakukan pengubahan variabel dengan variabelbaru r dan s, di mana r = x+ vt dan s = x− vt.Dengan menggunakan konsep differensial parsial dan aturan rantai, makadapat dinyatakan
∂F
∂x=
∂F
∂r
∂r
∂x+
∂F
∂s
∂s
∂x=
∂F
∂r+
∂F
∂s=
(
∂
∂r+
∂
∂s
)
F
∂F
∂t=
∂F
∂r
∂r
∂t+
∂F
∂s
∂s
∂t= v
∂F
∂r− v
∂F
∂s= v
(
∂
∂r− ∂
∂s
)
F
Kemudian turunan kedua juga dapat diperoleh
∂2F
∂x2=
∂
∂x
(
∂F
∂x
)
=
(
∂
∂r+
∂
∂s
)(
∂F
∂r+
∂F
∂s
)
=∂2F
∂r2+ 2
∂2F
∂r∂s+
∂2F
∂s2
∂2F
∂t2=
∂
∂t
(
∂F
∂t
)
= v
(
∂
∂r− ∂
∂s
)(
v∂F
∂r− v
∂F
∂s
)
= v2∂2F
∂r2− 2
∂2F
∂r∂s+
∂2F
∂s2
(4.20)
Dengan demikian, dalam variabel yang baru, persamaan gelombang tersebutdapat dituliskan dalam bentuk
∂2F
∂x2− 1
v2∂2F
∂t2= 4
∂2F
∂r∂s= 0 (4.21)
Terlihat bahwa dalam variabel baru tersebut persamaan gelombang menjadibentuk yang lebih sederhana dan lebih mudah diselesaikan (dicari solusinya).
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.9. PENGUBAHAN VARIABEL INTEGRAL: JACOBIAN 73
4.9 Pengubahan Variabel Integral: Jacobian
Dalam penyelesaian suatu persoalan terkadang lebih mudah bila digunakansistem koordinat yang berbeda. Penggunaan sistem koordinat yang berbe-da membawa dampak pada variabel integrasi. Misalnya, elemen luas dalamsistem koordinat kartesian dinyatakan dengan dA = dxdy. Bagaimana ben-tuk elemen luas dalam sistem koordinat yang lainnya? Dalam BAB 3 telahdiuraikan penentuan elemn luas secara geometri. Cara lain yang dapat dila-kukan untuk menentukan bentuk elemen luas (dan juga elemen volume) darisuatu sistem koordinat adalah dengan menggunakan Jacobian.
Misalkan terdapat integral lipat tiga dalam sistem koordinat uvw dandinyatakan dalam bentuk
∫∫∫
f(u, v, w)dudvdw, kemudian sistem koordinatlain yaitu rst dan hubungan antara variabel-variabel dalam sistem koordinatuvw dan sistem koordinat rst diberikan dengan persamaan u = u(r, s, t),v = v(r, s, t), w = w(r, s, t), maka Jacobian dari uvw terhadap rst adalah
J =∂(u, v, w)
∂(r, s, t)=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂u
∂r
∂u
∂s
∂u
∂t
∂v
∂r
∂v
∂s
∂v
∂t
∂w
∂r
∂w
∂s
∂w
∂t
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(4.22)
Dengan menggunakan Jacobian tersebut maka integral lipat tiga tersebutbila dinyatakan dalam variabel rst adalah
∫∫∫
fdudvdw =
∫∫∫
f |J | dr ds dt (4.23)
dengan catatan fungsi f(u, v, w) harus diubah menjadi f(r, s, t) dan batasintegrasi juga harus diubah menyesuaikan dengan variabel integral yang barusesuai dengan hubungan antar variabel yang dinyatakan dengan u = u(r, s, t),v = v(r, s, t), w = w(r, s, t)
Contoh 1
Hitunglah luas lingkaran yang jari-jarinya R.
Persamaan sisi lingkaran yang berpusat di pusat koordinat dan berjejari rdinyatakan dengan
x2 + y2 = R2 =⇒ y =√R2 − x2
74 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Dalam sistem koordinat kartesian, luas suatu permukaan dinyatakan dengan
A =
∫
dA =
∫ ∫
dxdy
Dengan demikian luas lingkaran tersebut adalah
A =
∫
dA =
∫ x=R
x=−R
∫
√R2−x2
y=−√R2−x2
dydx
Integral tersebut sulit diselesaikan. Sekarang tinjau sistem koordinat polar(silinder 2D), di mana
x = r cos θ
y = r sin θ
Jacobian yang bersangkutan adalah
J =∂(x, y)
∂(r, θ)=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= r
Dengan demikian integral lipat dua yang berkaitan dengan luas dinyatakansebagai
A =
∫
dA =
∫ ∫
rdrdθ
Batas integrasi adalah r : 0 → R dan θ : 0 → 2π. Dengan demikian luaslingkaran dihitung sebagai
A =
∫ 2π
θ=0
∫ R
r=0
rdrdθ =
∫ 2π
θ=0
R2
2dθ = πR2
Contoh 2
Diketahui suatu integral dalam variabel xy dinyatakan dengan
I =
∫ 1/2
x=0
∫ 1−x
y=x
(
x− y
x+ y
)2
dydx
Hitunglah integral tersebut dalam variabel rs jika
x =1
2(r − s)
y =1
2(r + s)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.10. DIFFERENSIAL VEKTOR 75
Jacobian yang berkaitan dengan transformasi tersebut adalah
J =∂(x, y)
∂(r, s)=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂x
∂r
∂x
∂s
∂y
∂r
∂y
∂s
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
12
−12
12
12
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=1
2
Batas-batas integrasi dalam integral yang baru adalah s : 0 → r dan r : 0 →1. Fungsi f(x, y) bila dinyatakan dalam variabel r dan s adalah
(
x− y
x+ y
)2
=
(−s
r
)2
=(s
r
)2
Dengan demikian
I =
∫ 1/2
x=0
∫ 1−x
y=x
(
x− y
x+ y
)2
dydx =
∫ 1
r=0
∫ r
s=0
(s
r
)2 1
2dsdr
=1
6
∫ 1
r=0
rdr =1
12
4.10 Differensial Vektor
Jika suatu vektor (misalnya A) komponen-komponennya tidak konstan (mi-salkan merupakan fungsi dengan variabel t), maka dapat diperoleh turunandari vektor tersebut terhadap variabel yang bersangkutan dan hal ini dipero-leh dengan mendifferensialkan masing-masing komponennya sebagai berikut
dA
dt=
dAx
dti+
dAy
dtj+
dAz
dtk (4.24)
Jika suatu vektor yang dinyatakan dengan A = AuA dengan uA menyatakanvektor satuan dalam arah A, maka turunan vektor A terhadap t juga harusmemperhatikan aturan rantai:
dA
dt=
dA
dtuA + A
duA
dt(4.25)
Hal ini penting dalam membahas kinematika benda dalam sistem koordinatortogonal sebagaimana yang telah diuraikan dalam BAB 3.
Operator differensial vektor yang sangat penting dan sering muncul dalamperumusan hukum-hukum fisika adalah ∇ (baca: ”nabla” atau ”del”) yang
76 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
merupakan operator differensial terhadap variabel ruang. Bentuk operatornabla ini berbeda antara satu sistem koordinat dengan sistem koordinat yanglain. Dalam sistem koordinat kartesian, bentuk operator nabla adalah
∇ =∂
∂xi+
∂
∂yj+
∂
∂zk (4.26)
4.11 Turunan Berarah dan gradient
Untuk fungsi yang terdiri dari satu variabel, turunan menyatakan kemiring-an kurva di titik tertentu. Fungsi multivariabel dapat digambarkan sebagaipermukaan pada sistem koordinat xyz. Turunan di fungsi multivariabel disuatu titik tertentu dapat diperoleh dari turunan parsialnya. Misalnya tu-runan pada arah x dinyatakan dengan ∂f/∂x. Akibatnya turunan di suatutitik bergantung pada arah mana perubahan terjadi. Hal ini disebut sebagaiturunan berarah (directional derivative).
Misalkan arah yang dimaksud dinyatakan dengan suatu vektor v, makaturunan fungsi f di titik (x, y, z) dalam arah vektor v dituliskan sebagai∇vf(x, y, z) atau ringkasnya sebagai ∇vf .
Gradient dari suatu fungsi skalar φ(x, y, z) didefinisikan sebagai berikut(dalam sistem koordinat kartesian):
∇φ = grad φ =∂φ
∂xi+
∂φ
∂yj+
∂φ
∂zk (4.27)
Dengan demikian turunan berarah fungsi φ dalam arah suatu vektor satuantertentu u adalah
dφ
ds= ∇φ · u (turunan berarah) (4.28)
Misalnya turunan berarah φ dalam arah i (yaitu searah sumbu x) adalah
∇φ · i =(
∂φ
∂xi+
∂φ
∂yj+
∂φ
∂zk
)
· i
=∂φ
∂x
4.12 Integral Garis
Ini sangat sering dijumpai dalam persoalan mekanika (misalnya ketika meng-hitung usaha). Integral garis biasanya dihitung berdasarkan lintasan (garis)tertentu dan misalnya dilambangkan dengan
∫
C.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.12. INTEGRAL GARIS 77
Contoh 1
Gaya yang dinyatakan dengan F = xyi− y2j bekerja pada suatu benda danbenda tersebut bergerak sepanjang lintasan yang menghubungkan titik (0,0)dan (2,1) pada bidang kartesian. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gayaF tersebut jika lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut berupaparabola dengan persamaan y = 1
4x2.
Usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah
W =
∫
dW =
∫
F · dr
Karena F = xyi− y2j dan dr = dxi+ dxj+ dzk, maka
F · dr = xydx− y2dy
Dengan demikian
W =
∫
F · dr =∫
xydx− y2dy
Pada lintasan yang dimaksud (yaitu parabola) terdapat hubungan antaravariabel y dengan x sesuai dengan persamaan parabola yaitu y = 1
4x2, dan
dapat diperoleh bahwa dy = 12xdx dengan demikian dapat dinyatakan
W =
∫
parabola
xydx− y2dy
=
∫ 2
0
x(1
4x2)dx− (
1
4x2)2(
1
2xdx)
=
∫ 2
0
(
1
4x3 − 1
32x5
)
dx =2
3
Contoh 2
Sebagaimana Contoh 1 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurusyang menghubungkan titik (0,0) dengan (2,1).
Pada lintasan ini hubungan antara variabel x dan y dinyatakan dengan persa-maan garis yang menghubungkan kedua titik yaitu y = 1
2x. Karena y = 1
2x,
78 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
berarti dy = 12dx. Dengan demikian dapat dinyatakan
W =
∫
garis lurus
xydx− y2dy
=
∫ 2
0
x(1
2x)dx− (
1
2x)2(
1
2dx)
=
∫ 2
0
(
1
4x2 − 1
8x2
)
dx = 1
Contoh 3
SebagaimanaContoh 1 dan Contoh 2 namun lintasan yang digunakan ada-lah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) ke (0,1) kemudian dari (0,1)ke (2,1).
Untuk lintasan yang dimaksud terdapat dua segmen garis. Yang pertamaadalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan titik (0,1). Padagaris ini berlaku hubungan x = 0, dengan demikian dx = 0. Batas integrasi-nya adalah dari y = 0 hingga y = 1. Sedangkan segmen garis kedua adalahgaris lurus yang menghubungkan titik (0,1) dengan titik (2,1). Pada garisini berlaku y = 0, dengan demikian dy = 0. Batas integrasi adalah darix = 0 hingga x = 2. Integral lintasan tersebut dapat dituliskan menjadi duabagian sesuai segmen garis yang digunakan yaitu
W =
∫
lintasan yg dimaksud
xydx− y2dy
=
∫
segmen 1
xydx− y2dy +
∫
segmen 2
xydx− y2dy
Dengan demikian diperoleh
W =
∫ 1
y=0
(−y2)dy +
∫ 2
x=0
(xdx)
= −1
3+ 2 =
5
3
Dari ketiga contoh tersebut terlihat bahwa hasil integral yang diperolehtergantung pada lintasan yang digunakan. Terdapat bentuk fungsi F ter-tentu sedemikian sehingga integral lintasannya sama dan tidak bergantungpada lintasan yang digunakan. Dalam pembahasan mekanika, fungsi F yangseperti ini dinamakan fungsi (medan) yang bersifat konservatif.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.13. DIVERGENCE 79
4.13 Divergence
Divergence menyatakan bagaimana suatu medan vektor menyebar (divergen)dari suatu titik tertentu. Pengertian lain yang dapat diberikan untuk diver-gensi suatu medan vektor adalah bahwa divergensi menyatakan fluks medanvektor yang keluar dari suatu satuan volume. Secara matematis jika suatumedan vektor dinyatakan dengan V = Vxi + Vyj + Vzk, maka divergensinyaadalah
∇ ·V = div V =∂Vx
∂x+
∂Vy
∂y+
∂Vz
∂z(4.29)
4.14 Curl
Curl menyatakan bagaimana suatu medan vektor berrotasi terhadap suatutitik tertentu. Oleh karenanya curl sering disebut juga sebagai rotasi.
∇×V = curl V
=
(
∂Vz
∂y− ∂Vy
∂z
)
i+
(
∂Vx
∂z− ∂Vz
∂x
)
j+
(
∂Vy
∂x− ∂Vx
∂y
)
k
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zVx Vy Vz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(4.30)
4.15 Laplacian
Selain divergensi dan rotasi, operator differensial vektor yang juga seringmuncul adalah divergensi dari suatu gradient skalar. Operasi ini dinamakansebagai ”laplacian”. Laplacian dari suatu fungsi skalar φ didefinisikan sebagai(dalam koordinat kartesian):
∇2φ = ∇ · ∇φ = div grad φ
=∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2+
∂2φ
∂z2(4.31)
80 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
4.16 Operator differensial vektor dalam sis-
tem koordinat ortogonal (silinder dan
bola)
Faktor Skala
Panjang lengkungan ds dalam suatu sistem koordinat dapat dikaitkan denganoperasi dot product dari vektor elemen panjang ds, yaitu
ds2 = ds · ds (4.32)
Secara umum, misalkan suatu sistem koordinat mempunyai variabel ko-ordinat yang dinyatakan dengan x1, x2 dan x3 dan jika sistem koordinattersebut ortogonal (vektor-vektor basisnya saling tegak lurus) maka dapatdinyatakan:
ds2 = h21dx
21 + h2
2dx22 + h2
3dx23
=3∑
i=1
h2i dx
2i
(4.33)
dengan hi disebut sebagai faktor skala.
Dengan menggunakan faktor skala (hi), vektor perpindahan ds dalamsuatu sistem koordinat ortogonal dapat diperoleh dengan cara
ds = e1h1dx1 + e2h2dx2 + e3h3dx3
=3∑
i=1
eih2i dx
2i
(4.34)
dengan ei adalah vektor satuan dalam sistem koordinat ortogonal tersebut.
Karena vektor elemen panjang dalam sistem koordinat kartesian adalahds = dxi + dyj + dzk, maka berarti faktor skala dalam koordinat kartesianadalah h1 = h2 = h3 = 1. Sedangkan vektor elemen panjang dalam sistemkoordinat silinder adalah ds = drer + rdθeθ + dzez, maka berarti faktorskala dalam koordinat kartesian adalah h1 = 1, h2 = r, h3 = 1. Dengan carayang sama dapat diperoleh faktor skala untuk sistem koordinat bola yaituh1 = 1, h2 = r sin θ, h3 = r.
Dengan menggunakan faktor skala tersebut, ungkapan operator differensi-al vektor dalam sistem koordinat ortogonal dapat digeneralisasi sebagaimanadiuraikan berikut ini.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.17. TEOREMA GREEN 81
Gradient
Dalam sistem koordinat yang ortogonal, bentuk umum dari gradient adalah
∇u = e11
h1
∂u
∂x1
+ e21
h2
∂u
∂x2
+ e31
h3
∂u
∂x3
=3∑
i=1
ei1
hi
∂u
∂xi
(4.35)
Divergence
Perumusan umum untuk divergence dalam sistem koordinat ortogonal adalah
∇ ·V =1
h1h2h3
[
∂
∂x1
(h2h3V1) +∂
∂x2
(h1h3V2) +∂
∂x3
(h1h2V3)
]
(4.36)
Curl
Rotasi (curl) dalam sistem koordinat ortogonal dirumuskan sebagai berikut
∇×V =1
h1h2h3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
h1e1 h2e2 h3e3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
h1V1 h2V2 h3V3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(4.37)
Laplacian
Perumusan umum untuk laplacian dalam sistem koordinat ortogonal adalah
∇2u =1
h1h2h3
[
∂
∂x1
(
h2h3
h1
∂u
∂x1
)
+∂
∂x2
(
h1h3
h2
∂u
∂x2
)
+∂
∂x3
(
h1h2
h3
∂u
∂x3
)]
(4.38)
4.17 Teorema Green
Teorema dasar dalam Kalkulus memberikan ungkapan tentang hubunganantara differensial dan integral dari suatu fungsi, yaitu dinyatakan dalambentuk
∫ b
a
d
dtf(t)dt = f(b)− f(a) (4.39)
82 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
a bx
y
C
A
yu(x)
yl(x) c
d
x
y
C
A
xr(y)
xl(y)
Gambar 4.8: Luasan A yang berbentuk sembarang.
Misalkan terdapat fungsi multivariabel yaitu P (x, y) dan Q(x, y) di manaturunan keduanya merupakan fungsi yang kontinu. Misalkan suatu luasan Aadalah bentuk sembarang dengan batas-batas absis adalah x = a dan x = bsedangkan batas-batas ordinatnya adalah y = c dan y = d sebagaimanaditunjukkan dalam Gambar 4.8.
Bila dicari integral lipat dua dari turunan parsial P (x, y) terhadap y,maka dapat dinyatakan
∫∫
A
∂P (x, y)
∂ydydx =
∫ b
a
dx
∫ yu
yl
∂P (x, y)
∂ydy
=
∫ b
a
[P (x, yu)− P (x, yl)] dx
= −∫ b
a
P (x, yl)dx−∫ a
b
P (x, yu)dx
Terlihat bahwa∫ b
aP (x, yl)dx merupakan integral garis dengan lintasan ber-
upa bagian bawah dari kurva C dari titik 1 ke titik 2. Demikian juga bahwaintegral
∫ a
bP (x, yu)dx merupakan integral garis dengan lintasan berupa ba-
gian atas dari kurva C dari titik 2 ke titik 1. Artinya integral tersebut di atasdapat diganti menjadi integral garis dengan lintasan berupa kurva tertutupC (dari titik 1 kembali ke titik 1) dengan arah berlawanan arah jarum jam.
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.17. TEOREMA GREEN 83
Dengan demikian dapat dituliskan kembali sebagai
∮
C
Pdx = −∫∫
A
∂P (x, y)
∂ydydx (4.40)
Dengan cara yang sama (tapi dengan mengintegralkan terhadap x terlebihdahulu) dapat pula diperoleh untuk fungsi yang lain yaitu fungsi Q(x, y)
∫∫
A
∂Q
∂xdxdy =
∫ d
c
dy
∫ xr
xl
∂Q
∂xdx =
∫ d
c
[Q(xr, y)−Q(xl, y)] dy
=
∮
C
Qdy
Artinya diperoleh∫∫
A
∂Q
∂xdxdy =
∮
C
Qdy (4.41)
Kemudian dengan menambahkan persamaan 4.40 dengan persamaan 4.41maka akan didapat
∫∫
A
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dx dy =
∮
C
(Pdx+Qdy) (4.42)
dengan C menyatakan kurva tertutup yang membatasi permukaan A. Inte-gral lintasan yang dihitung arahnya adalah berlawanan arah jarum jam.
Ungkapan persamaan 4.42 dikenal sebagai teorema Green dan teorema inimenyatakan bahwa integral permukaan dapat dinyatakan dalam bentuk inte-gral garis. Atau sebaliknya integral garis pada suatu lintasan tertutup dapatdiubah menjadi integral permukaan (lipat dua) pada luasan yang dibentukoleh lintasan tertutup tersebut.
Contoh
Dengan menggunakan teorema Green, hitunglah integral lintasan∫
(xydx− y2dy)
pada lintasan tertutup yang merupakan garis lurus dari titik (2,1) ke (0,1)kemudian garis lurus dari titik (0,1) ke titik (0,0) dan dilanjutkan denganlengkungan y = x2 yang menghubungkan titik (0,0) ke titik (2,1).
84 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Dengan menggunakan teorema Green, integral lintasan tertutup tersebutdapat diubah menjadi integral permukaan (integral lipat dua) dengan da-erah yang dibatasi oleh kurva lintasan tertutup tersebut. Bila digunakanpersamaan 4.42 maka dapat dinyatakan bahwa
P (x, y) = xy dan Q(x, y) = −y2
dengan demikian∂Q
∂x= 0 dan
∂P
∂y= x
Maka diperoleh
∮
C
(xydx− y2dy) =
∫∫
A
(
∂Q
∂x− ∂P
∂y
)
dx dy =
∫∫
A
−x dx dy
= −∫ 1
y=0
∫ 2√y
x=0
x dx dy = −1
4.18 Teorema Divergensi
Misalkan suatu vektor V = Vxi + Vyj, di mana Vx = Q(x, y) dan Vy =−P (x, y) adalah berupa fungsi multivariabel dalam x dan y. Karena vektorV tidak mempunyai komponen dalam arah sumbu z, maka dapat dinyatakan
∂Q
∂x− ∂P
∂y=
∂Vx
∂x+
∂Vy
∂y= div V = ∇ ·V (4.43)
Kemudian tinjau kurva tertutup C yang melingkupi suatu daerah luasan Asebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4.9.
Sepanjang kurva C tersebut vektor dr merupakan vektor yang menying-gung kurva C, dalam hal ini vektor dr dapat dinyatakan sebagai
dr = dxi+ dyj
Sedangkan vektor normal yang bersangkutan adalah
nds = dyi− dxj (4.44)
dengan n menyatakan vektor satuan normal (berarah ke luar dari luasan A)dan ds =
√
dx2 + dy2. Dengan demikian dapat dinyatakan
Pdx+Qdy = −Vydx+ Vxdy = (Vxi+ Vyj) · (dyi− dxj)
= V · n ds(4.45)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.18. TEOREMA DIVERGENSI 85
C
A dr
nds
dx
dy
Gambar 4.9: Luasan A yang dilingkupi oleh kurva tertutup C.
Kemudian bila persamaan 4.43 dan persamaan 4.45 disubstitusikan ke per-samaan 4.42 akan diperoleh
∫∫
A
(∇ ·V) dx dy =
∮
C
(V · n) ds (4.46)
Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema divergensi dalam dua dimensi.Dalam kasus 3 dimensi, teorema divergensi dapat dinyatakan dalam ben-
tuk∫∫∫
∇ ·Vdτ =
∫∫
permukaan
V · ndσ (4.47)
dengan τ menyatakan volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup.Terlihat bahwa teorema divergensi mengaitkan antara integral lipat tiga (in-tegral volume) dengan integral lipat dua (integral permukaan).
Contoh
Suatu medan vektor berbentukV = x2i+y2j+z2k. Hitunglah∫∫
permukaan
V·n dσ
pada permukaan kubus yang bersisi satu satuan dan titik-titik sudutnya ada-lah pada (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0).
86 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Integral tersebut dapat diselesaikan langsung maupun dengan menggunakanteorema divergensi.Permukaan kubus tersebut ada 6 buah masing-masing dengan vektor normali,−i,j,−j,k dan −k. Bila dihitung integralnya secara langsung maka berarti
∫∫
permukaan kubus
V · n dσ =
∫∫
perm. 1
V · i dy dz +∫∫
perm. 2
V · −i dy dz
+
∫∫
perm. 3
V · j dx dz +∫∫
perm. 4
V · −j dx dz
+
∫∫
perm. 5
V · k dx dy +
∫∫
perm. 6
V · −k dx dy
Bila dihitung akan menghasilkan∫∫
permukaan kubus
V · n dσ =
∫ 1
y=0
∫ 1
z=0
12 dy dz +
∫ 1
y=0
∫ 1
z=0
02 dy dz
+
∫ 1
x=0
∫ 1
z=0
12 dy dz +
∫ 1
y=0
∫ 1
z=0
02 dx dz
+
∫ 1
x=0
∫ 1
y=0
12 dx dy +
∫ 1
y=0
∫ 1
z=0
02 dx dy
= 3
Bila menggunakan teorema divergensi, integral tersebut dapat dihitung se-bagai berikut
∇ ·V =
(
∂
∂xi+
∂
∂yj+
∂
∂zk
)
·(
x2i+ y2j+ z2k)
= 2x+ 2y + 2z
kemudian∫∫∫
∇ ·V =
∫ 1
z=0
∫ 1
y=0
∫ 1
x=0
(2x+ 2y + 2z) dx dy dz = 3
4.19 Teorema Stoke
Sekarang misalkan Q = Vy dan P = Vx sedangkan suatu vektorV dinyatakandengan V = Vxi+ Vyj. Kemudian akan dapat dinyatakan
∂Q
∂x− ∂P
∂y=
∂Vy
∂x− ∂Vx
∂y= (∇×V) · k (4.48)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.19. TEOREMA STOKE 87
n
C
dσ
Permukaan σ
Gambar 4.10: Suatu permukaan σ yang tepinya dinyatakan oleh kurva ter-tutup C.
Dengan menggunakan notasi-notasi dalam Gambar 4.9, maka diperoleh
Pdx+Qdy = (Vxi+ Vyj) · (dxi+ dyj) = V · dr (4.49)
Dengan mensubstitusi persamaan 4.48 dan persamaan 4.49 ke persamaan4.42 akan diperoleh
∫∫
A
(∇×V) · kdx dy =
∮
C
V · dr (4.50)
Persamaan tersebut dinamakan teorema Stoke dalam dua dimensi. Bentukteorema Stoke dalam kasus tiga dimensi adalah
∮
kurva C
V · dr =∫∫
permukaanσ
(∇×V) · ndσ (4.51)
Untuk memahami notasi yang digunakan dalam teorema Stoke, perhatikanGambar 4.10
Teorema Stoke menghubungkan integral lipat dua dengan integral lin-tasan. Hal ini mirip dengan bentuk teorema Green, namun perlu dicatatbahwa permukaan yang digunakan dalam teorema Green adalah permuka-an datar, sedangkan permukaan yang digunakan dalam teorema Stoke tidakperlu berupa permukaan datar.
88 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
Contoh
Hitunglah integral∫
(∇×V) · n dσ pada permukaan yang berbentuk kubah(setengah bola) yang dinyatakan dengan persamaan x2+y2+z2 = a2 denganz ≤ 0 jika V = 4yi+ xj+ 2zk.
Dengan menggunakan persamaan 4.30 dapat diperoleh bentuk rotasi darimedan vektor V, yaitu
∇×V = −3k
Permukaan yang digunakan dalam integral tersebut adalah permukaan sete-ngah bola dengan jari-jari a. Vektor normal permukaan tersebut dinyatakandengan
n =r
|r| =xi+ yj+ zk
a
Selanjutnya dapat diperoleh
(∇×V) · n = −3k · ra= −3
z
a
Kemudian dengan menggunakan sistem koordinat bola, dapat diperoleh hu-bungan
z = r cos θ
dσ = r2 sin θdθdφ
Sehingga
∫
perm. stgh. bola
−3z
adσ =
∫ 2π
φ=0
∫ π/2
θ=0
−3a cos θ
aa2 sin θ dθdφ
= −3a2∫ 2π
0
dφ
∫ π/2
0
sin θ cos θdθ = −3πa2
Integral tersebut dapat juga dihitung menggunakan teorema Stoke. Bi-la menggunakan teorema Stoke, integral permukaan tersebut dapat diubahmenjadi integral garis (lintasan). Dalam hal ini kurva tertutup yang digu-nakan adalah lingkaran berjejari a yang berpusat di titik pusat koordinat.Jika digunakan sistem koordinat silinder dua dimensi (polar) maka dapatdinyatakan
dr = adθ(− sin θi+ cos θj)
SehinggaV · dr = a2dθ(−4 sin2 θ + cos2 θ)
caku
lfi
5080
by
kh
basa
r;se
m1
2010-2
011
4.19. TEOREMA STOKE 89
Dengan demikian
∮
lingkaran
V · dr = a2∫ 2π
θ=0
(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ
Karena∫
sin2 axdx =x
2− sin 2ax
4a+ C, dan
∫
cos2 axdx =x
2+
sin 2ax
4a+ C
maka diperoleh
∮
lingkaran
V · dr = a2∫ 2π
θ=0
(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ = −3πa2
Bila menggunakan teorema Stoke dapat dipahami bahwa integral tersebutjuga dapat dihitung menggunakan bentuk permukaan lainnya asalkan per-mukaan tersebut dibatasi oleh kurva tertutup yang identik yaitu lingkaranberjejari a dan berpusat di pusat koordinat. Misalnya saja dapat digunakanpermukaan datar berbentuk lingkaran (lingkaran di bidang xy). Bila digu-nakan permukaan ini, maka arah normal permukaan adalah k. Sehingga
(∇×V) · n = −3k · k = 3
Selanjutnya∫
(∇×V) · ndσ = −3
∫
dσ = −3πa2
90 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL