Persamaan Differensial Biasa1

*8. Persamaan Differensial Biasa (PDB)Euler, Heun, Runge Kutta 1-4

*PendahuluanPersamaan Differensial :gabungan dari fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya.Kategori Persamaan Differensial : PD Biasa :Persamaan Differensial yang hanya memiliki satu variabel bebas.Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, PDB dikategorikan menjadi :PDB Orde 1 : turunan tertingginya adalah turunan pertamaPDB Orde 2 : turunan kedua merupakan turunan tertinggiPDB Orde 3 : turunan ketiga merupakan turunan tertingginya.Dan seterusnyaPD ParsialPersamaan Differensial yang memiliki lebih dari satu variabel bebas.

*Pendahuluan Cont.Contoh Persamaan :

Turunan dilambangkan dengan : dy/dx atau f(x) atau y, sedangkan fungsi yang tidak diketahui dilambangkan dengan keberadaan variabel terikatnya. seperti contoh di atas, maka : Turunan dilambangkan dengan dy/dx dan fungsi yang tidak diketahui diwakili dengan variabel y.

*Pendahuluan Cont.Kategorikan : (PD / bukan PD / PDP / PDB ?)

1.PDB orde 12.PDP3.Bukan PD4.PDB orde 25.PDB orde 36.Bukan PD7.PDP8.PDB orde 1

*Pendahuluan (Cont.)Solusi PDB : solusi analitik : salah satunya dengan teknik integralsolusi numerik : menggunakan metode hampiran.Solusi Numerik : mencari nilai fungsi di xr+1, dimana r menunjukkan jumlah langkah atau iterasi.Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h)xr = x0 +rh;r = 0,1,2,,n

*PDB Orde SatuBentuk baku PDB orde satu :Contoh :

Metode penyelesaian :EulerHeunRunge Kutta

*Metode EulerBentuk baku :

PenurunanDeret Taylor : uraikan y(xr+1) disekitar xr

Dipotong sampai orde 3 :

Karena y(xr) = f(xr,yr) dan xr+1-xr = h, maka :

*Metode Euler (Cont.)Penurunan secara geometris :f(x,y) adalah persamaan differensial yang dapat digambarkan sebagai gradien garis singgung di titik (x,y).Garis singgung ditarik menyinggung titik (x0,y0) untuk menemukan nilai y(x1), pada titik (x1,y1) ditarik lagi garis yang menyinggung titik tersebut dengan fungsi f(x,y) untuk mendapatkan f(x2) dan seterusnya.

*(x1,y1)(x0,y0)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)(x5,y5)(x6,y6)(x7,y7)(x8,y8)Metode Euler (Cont.)

Chart2

11

3.218755.25

35.875

2.218755.125

24.5

2.718754.75

45.875

4.718757.125

37

y(x)

dy/dx

Sheet1

0.5

011101010

0.53.218755.250.510.257

135.8751117.75

1.52.218755.1251.512.259

224.521410.75

2.52.718754.752.516.2513

345.87531915.75

3.54.718757.1253.522.2519

43742622.75

4.5-3.781253.254.530.2527

5-19-7.12553531.75

5.5-46.78125-27.8755.540.2537

6-92-63.564642.75

6.5-160.28125-119.256.552.2549

7-258-201.12575955.75

7.5-392.28125-315.8757.566.2563

8-571-47187470.75

8.5-802.78125-674.758.582.2579

9-1097-936.12599187.75

9.5-1463.78125-1264.875

10-1914-1671.5

Sheet1

y(x)

hampiran

Sheet2

y(x)

dy/dx

Sheet3

*Yr+1 sejatiYr+1 hampiranYr sejatiABCgalathMetode Euler (Cont.)

Chart3

11

3.218755.25

35.875

y(x)

yr

Sheet1

0.5

011101010

0.53.218755.250.510.257

135.8751117.75

1.52.218755.1251.512.259

224.521410.75

2.52.718754.752.516.2513

345.87531915.75

3.54.718757.1253.522.2519

43742622.75

4.5-3.781253.254.530.2527

5-19-7.12553531.75

5.5-46.78125-27.8755.540.2537

6-92-63.564642.75

6.5-160.28125-119.256.552.2549

7-258-201.12575955.75

7.5-392.28125-315.8757.566.2563

8-571-47187470.75

8.5-802.78125-674.758.582.2579

9-1097-936.12599187.75

9.5-1463.78125-1264.875

10-1914-1671.5

Sheet1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

y(x)

hampiran

Sheet2

00

00

00

00

00

00

00

00

00

y(x)

dy/dx

Sheet3

00

00

00

y(x)

yr

*Metode Euler (Cont.)Galat Galat Pemotongan

sebanding dengan kuadrat ukuran langkah Galat Kumulatif

*Metode Euler (Cont.)Contoh Soal :dy/dx =x + y ; y(0) = 0Berapa y(0.1) dengan langkah h = 0.02 dan h = 0.05jika diketahui fungsi asli adalah y(x) = ex-x-1, langkah mana yang lebih teliti ?y(0.1) = e0.1-0.1-1 =

Langkah h = 0.02 lebih teliti

h = 0.05x = 0y(0) = 0x = 0.05y(0.05) = 0 + 0.05(0+0) = 0x = 0.1y(0.1) = 0 + 0.05(0.05+0) = 0.0025

h = 0.02x = 0y(0) = 0x = 0.02y(0.02) = 0 + 0.02(0+0) = 0x = 0.04y(0.04) = 0 + 0.02(0.02+0) = 0.0004x = 0.06y(0.06) = 0.004 +0.02(0.04+0.004) = 0.001208x = 0.08y(0.08) = 0.001208 +0.02(0.06+0.001208) = 0.00243216x = 1y(0.1) = 0.00243216 + 0.02(0.08+0.00243216) = 0.0040808032

0.00517091807564762

*Metode HeunMerupakan perbaikan metode Euler.Solusi Euler dijadikan solusi perkiraan awal dan diperbaiki dengan metode Heun.Perbaikan gradien yang digunakan merupakan rata-rata gradien dari 2 titik yang ada.

*Metode Heun (Cont.)Dari satu titik awal (xr,yr), iterasi dan gradien didapatkan perkiraan nilai y(xr+1) selanjutnya (xr+1,yr+1) beserta gradiennya. Dari dua gradien yang ada dicari rata-ratanya kemudian digunakan untuk menghitung kembali nilai y(xr+1).Misal :Awal iterasi dimiliki (x0,y0) dan f(x0,y0) Kemudian digunakan untuk menghitung y(x1) dan didapatkan f(x1,y1)Hitung kembali y(x1) dengan gradien (f(x0,y0)+f(x1,y1)/2

*Metode Heun (Cont.)Secara geometris :f(xr,yr)f(xr+1,yr+1)frat(xr,yr)(xr,yr)(xr+1,yr+1)

Chart5

111

3.218755.253.125

35.8753.53125

y(x)

yr_euler

yr_heun

Sheet1

0.5

xyyryr

011101010

0.53.218755.253.1250.510.257

135.8753.531251117.75

1.52.218755.1252.6251.512.259

224.51.9062521410.75

2.52.718754.752.1252.516.2513

345.8753.2812531915.75

3.54.718757.1254.6253.522.2519

4374.6562542622.75

4.5-3.781253.251.1254.530.2527

5-19-7.125-8.9687553531.75

5.5-46.78125-27.875-29.3755.540.2537

6-92-63.5-64.5937564642.75

6.5-160.28125-119.25-119.8756.552.2549

7-258-201.125-201.2187575955.75

7.5-392.28125-315.875-315.3757.566.2563

8-571-471-469.8437587470.75

8.5-802.78125-674.75-672.8758.582.2579

9-1097-936.125-933.4687599187.75

9.5-1463.78125-1264.875-1261.375

10-1914-1671.5-1667.09375

Sheet1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

y(x)

hampiran

Sheet2

000

000

000

000

000

000

000

000

000

y(x)

euler

heun

Sheet3

000

000

000

y(x)

yr_euler

yr_heun

0.050.02

xyyrxyyr

000000

0.050.001271096400.020.000201340.000000000000

0.10.00517091810.00250.040.00081077420.000400000000

0.060.00183654650.001208000000

0.080.00328706770.002432160000

0.10.005170918075647620.004080803200

0.002500

*Metode Runge KuttaBentuk umum Runge Kutta Orde n:yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + + anknDengan a1,a2,a3, ,an adalah konstantak1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)kn = h(xr+pn-1h,yr+qn-1,1k1+qn-1,2++qn-1,n-1kn-1)Galat Per langkah Runge Kuta orde n : O(hn+1)Kumulatif orde-n :O(hn)

*Orde 1k1 = hf(xr,yr)yr+1 = yr + a1k1 ; a1 = 1yr+1 = yr + hf(xr,yr) Rumus EulerGalat :Per langkah : O(h2)Kumulatif : O(h)Metode Runge Kutta (Cont. )

*Orde 2 k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)yr+1 = yr + a1k1 + a2k2Dengan penurunan rumus yang sudah ada didapatkan :a1 = 1-a2 = 1-tp1 = 1/(2a2) = 1/(2t)q11 = 1/(2a2) = 1/(2t)Artinya ada tak berhingga formula orde dua.

Dengan a1=a2 = , p1 = 1 yr+1 = yr + (k1 + k2) Metode Heun

Metode Runge Kutta (Cont. )

*Orde 3k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)k3 = h(f(xr+h,yr-k1+2k2)yr+1 = yr + 1/6( k1 + 4k2 + k3)

Metode Runge Kutta (Cont. )

*Orde 4k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :k1 = hf(xr,yr)k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)k3 = h(f(xr+1/2h,yr+2k2)k4 = h(f(xr+h,yr+k3)yr+1 = yr + 1/6( k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Metode Runge Kutta (Cont. )

Variabel bebas, sebagai lawan variabel terikat yaitu variabel yang nilainya tergantung oleh variabel yang lain.*Variabel bebas, sebagai lawan variabel terikat yaitu variabel yang nilainya tergantung oleh variabel yang lain.