Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum : Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran 2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan 2 ilmu pengetahuan dan teknik. Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh 0 ) ,...., , , , ( 2 2 n n dx y d dx y d dx dy y x F
PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya. Bentuk Umum : - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel bebas y dan turunannya.Bentuk Umum :
Persamaan differensial (PD) menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran2 yang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan2 ilmu pengetahuan dan teknik.
Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi.
0),....,,,,(2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxF
Contoh :
xyydx
dy
dx
yd
xyxdx
yd
dx
ydy
xydx
yd
dx
yd
xydx
dyy
dx
yd
ydx
dyx
cos.5
042.4
cos.3
0sin.2
04.1
232
4
4
2
2
23
3
3
3
2
22
3
3
2
2
2
SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Untuk mencari solusi dari PD, harus
mencari fungsi yang memenuhi persamaan itu,
artinya yang memuat persaman itu menjadi benar.
Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut
sehingga semua koefisien differensial hilang, yang
ada hanya hubungan antara variabel x dan y saja,
yaitu :
F ( x , y ) = 0
Contoh :
maka :y = 2x2 atauy = 2x2 + x , atauy = 2x2 –5x + 3
merupakan jawab dari PD diatas.Terlihat bahwa PD diatas mempunyai jawaban
tidak tunggal. Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis :
y = 2x2 + c1x + c2
dimana c1 dan c2 adalah konstanta ,
042
2
dx
yd
JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS
• Bentuk umum :M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0
1. PD Variabel TerpisahBentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0
• Solusi umum PD :
• contoh :(x+1) dx + (y2 –3) dy = 0
konstantaadalah c , )()( cdyygdxxf
1. Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0
direduksi dengan mengalikan : PD diatas menjadi :
karena telah menjadi PD variabel
terpisah, maka solusi PD diatas :
)()(
1
21 xfyg
odyyg
ygdx
xf
xf
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
cdyyg
ygdx
xf
xf
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
Contoh :1. y(x-1) dx + (y+2)x dy = 0
2. xy dx + (1 + x2) dy = 0
3.
4. cos y dx + (1 + e–x) sin y dy = 0xxy
y
dx
dy
3
4
Latihan : 1. (1 + ex)dy + (1 + e-y)dx = 02. xln x dy + (ey + e-y)dx = 03. tg x dy – ctg y dx = 04. 2(1 + x2)dy – (1 – y2)dx = 05. (1 + x2) dy + (1 + y2) dx = 0
3. PD HomogenSuatu fungsi f(x,y) dikatakan homogen berderajat
n , jika :
f(λx, λy) = λn f(x,y)PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0Dikatakan PD Homogen derajat n jika :M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama.
Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan
transformasi :y = vx dan dy = v dx + x dv
dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan
v dengan variabel terpisah.
Contoh :1. subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh :