Differensial fungsi sederhana

1. Dedy Riyanto, SE, M.Kom. STIE PERTIWI 2. Materi Kuosien Differensiasi dan Derivatif Penotasian Kaidah-kaidah Diferensiasi Hakekat derivatif dan diferensial Derivatif dari derivatif Hubungan antara Fungsi dan derivatifnya Penerapan Ekonomi 3. TOKOH KALKULUS Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 4. Kuosien Differensiasi dan Derivatif y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar Maka : )()( )( )( )( xfxxfy yxxfy xxfyy xfy (1) 5. x adalah tambahan x, sedangkan y adalah tambahan y akibat adanya tambahan x. Jadi y timbul karena adanya x. Apabila pada persamaan (1) ruas kiri dan ruas kanan sama-sama dibagi x, maka diperoleh x xfxxf x y )()( Kuosien Differensiasi dan Derivatif 6. Kuosien Differensiasi dan Derivatif Bentuk y/ x inilah yang disebut sebagai hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient), yang mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap perubahan variabel bebas x Proses penurunan fungsi disebut juga proses diferensiasi merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi (x sangat kecil) Hasil proses diferensiasi dinamakan turunan atau derivatif (derivative). 7. Kuosien Differensiasi dan Derivatif Jika y = f(x) Maka kuosien diferensinya : x xfxxf xx y x x xfxxf x y )()( 0 lim 0 lim )()( 8. Penotasian Cara penotasian dari turunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam : dx xdf dx dy xfyxfy x y x xx )( )()(' 0 lim ' 10 x sangat kecil maka = y / x Kuosien diferensi y/ x slope / lereng dari garis kurva y = f(x) Paling lazim digunakan 9. Kaidah-kaidah diferensiasi 1. Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 contoh : y = 5 dy/dx = 0 2. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1 contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2 10. 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv, dimana v = h(x), dy/dx = k dv/dx contoh : y = 5x3 dy/dx = 5(3x2) = 15x2 4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka : 6 2 23 2 3 15 )( )3(5 , 5 : x x x x dx dy x ycontoh Kaidah-kaidah diferensiasi 11. 5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4x2 + x3 u = 4x2 du/dx = 8x v = x3 dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2 6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) 444322 32 20812)8)(()3)(4( ))(4(: xxxxxxx dx du v dx dv u dx dy xxycontoh dx du v dx dv u dx dy maka 12. 7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x) 2 26 44 23 223 2 3 2 2 4 4128 )( )3)(4()8)(( 4 : x xx xx x xxxx v dx dv u dx du v dx dy x x ycontoh v dx dv u dx du v dx dy maka 13. 8. Diferensiasi Fungsi Komposit Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain y=f{g(x)}, maka : 25232 2 2323 12096)12)(54(2)12(2 2,12 54:)54(: xxxxxu dx du du dy dx dy u du dy x dx du uyxumisalxycontoh dx du du dy dx dy 14. 9. Diferensiasi Fungsi Berpangkat Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1 .(du/dx) Contoh : 25231 2323 12096)12)(54(2 1254:,)54( xxxx dx du nu dx dy x dx du xumisalxy n 15. 10. Diferensiasi Fungsi Logaritmik Jika y = alog x, maka 5ln2 1 ln 1 ,2log: ln 1 5 axdx dy ycontoh axdx dy 16. 11. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5 12. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka : )6( 5 )2( 5 )3( )2(1 )2( 5 )2( )3( :misalkan 2 3 ln:contoh 1 22 2 xxxx x dx du udx dy xdx du x x u x x y dx du udx dy 17. 13. Diferensiasi fungsi Komposit logaritmik Jika y = nln x, maka dy/dx = 1/xln n Contoh : y = 3ln 2, dy/dx = 1/x ln n = 1/ 2 ln 3 14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier- Berpangkat Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka : 32 32 2 2 32 5ln 6 )10(5ln3 5 11 105:misalkan 5ln:contoh 1 x x xx xdx du udu dy dx dy x dx du xu xy dx du udu dy dx dy 18. 15. Diferensiasi fungsi Eksponensial Jika y = ax, dimana a adalah konstanta, maka : 1ln,/maka, 5ln5ln 5:contoh ln esebabedxdyeyhaldalam aa dx dy y aa dx dy xx xx x x 19. 15. Diferensiasi fungsi Komposit - Eksponensial Jika y = au, dimana u=g(x) dan a adalah konstanta, maka : 9ln9)6()6)(9(ln9ln 6/43 9:contoh ln 4343 2 43 22 2 xxu x u xx dx du aa dx dy xdxduxuMisalkan y dx du aa dx dy 20. 16. Diferensiasi fungsi Kompleks Jika y = uv, dimana u=g(x) dan v=h(x), maka : Contoh : y=4xx 3 Misalkan u = 4xdu/dx = 4 v = x3 dv/dx = 3x2 dx dv uu dx du vu dx dy vv ln1 )4ln34(4 4ln1216 )3(4ln4)4(4)( ln 2 22 213 1 3 33 33 xx xxx xxxxx dx dv uu dx du vu dx dy x xx xx vv 21. 17. Diferensiasi fungsi Balikan Jika y = f(x), dimana x=g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan(inverse function), maka Contoh : x=5y+0.5y4 dydxdx dy / 1 3 3 25 1 / 1 25 ydydxdx dy y dy dx 22. Latihan Diferensialkan fungsi-fungsi berikut : xxxya 742) 23 )62)(4() 2 xxyb 62 4 ) 2 x x yc 2 25 ) x x yd 3 53 32 ) x x ye 7 72 ) 4 xx yf 7 72 ) 4 xx yg 23. Kuosien diferensial tak lain adalah lereng dari kurva y=f(x). Sedangkan derivatif dy/dx adalah lim( ) untuk x 0 . Jika x sangat kecil, itu sendiri. xy / xy / xyxyLim x /)/( 0 dx dy x y x f(x)y x y 0 lim kurvadarilereng dy/dx terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x : dx = x Diferensial dari y : dy=(dy/dx) x Variabel terikat 24. dy/dx lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. y/x lereng yang sesungguhnya (the true slope) Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya (teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas) 25. Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun x dy/dx = y/ x x = dx P Q R y = dy y = f(x) Perubahan x = x Perubahan y = y Diferensial x = dx Diferensial y = dy Kuosien diferensi = y/ x Derivatif = dy/dx dy/dx = y/ x 26. Fungsi y = f(x) yang non-linier x = dx P S R Q QS=dx QR=y P Q R S x = dx QR=dy QS=x (a) (b) y y x x0 0 dy > y Over-estimated dy < y Under-estimated 27. Tergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Fungsi awal Turunan Pertama Turunan Ketiga Turunan Ke-n )(xfy dx xdf dx dy xfy )( )('' 2 2 2 2 )( )("" dx xfd dx yd xfy n n n n nn dx xfd dx yd xfy )( )( 28. Derivatif yang diperoleh dari derivatif sebuah fungsi dinamakan derivatif berderajat lebih tinggi. Besar kecilnya harga atau nilai derivatif pertama dan kedua dapat digunakan untuk menentukan posisi- posisi khusus dari kurva fungsi yang bersangkutan. 0/ 6/''' 86/'' 583/' 754)( : 44' 33 22 2 23 dxydy dxydy xdxydy xxdxdyy xxxxfy contoh v 29. Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya besarnya turunan pertama dan turunan kedua akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya. 30. konstanta2/''' linearfungsi82/'' kuadratfungsi58/' kubikfungsi5124 3 1)( : 33 22 2 23 dxydy xdxydy xxdxdyy xxxxfy contoh Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing- masing turunannya 31. Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu. Lereng positif fungsi menaik Lereng negatif fungsi menurun Lereng nol Lereng nol y = f(x) f(a) > 0, y = f(x) menaik f(a) < 0, y = f(x)menurun 32. Uji Tanda Apabila turunan pertama f(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f(a) = 0. Jika f(x) > 0 untuk x < a dan f(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika f(x) < 0 untuk x < a dan f(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum. 33. Titik ekstrim fungsi parabolik Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan- turunannya, serta hubungan secara grafik. y = f(x) = x2 - 8x + 12 .fungsi parabolik y = f(x) = dy/dx = 2x 8 .fungsi linear y = f(x) = d2y/dx2 = 2 .konstanta Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4 34. 42 6 -4 -8 2 12 (4,-4) y = 2 x y y= 2x - 8 y = x2 8x + 12 0 35. Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y = 0 Jika y < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika y > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum. 36. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3x3 3x2 + 8x 3 .fungsi kubik y = x2 6x + 8 fungsi kuadratik y = 2x 6 ..fungsi linear 37. Jika y = 0, x2 6x + 8 = 0 (x 2)(x 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y = -2 < 0 (turunan kedua negatif) Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y = 2 > 0 (turunan kedua positif) Jika y = 0 2x 6 = 0 x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3 titik belok (3,3) 38. 32 4 -4 -6 2 8 (3,-1) y = 2 x y y= 2x 6 y = x2 6x + 8 0 -2 3.67 y = 1/3x3 3x2 + 8x + 3 (3,3) (2,3.67) (4,2.33) 39. Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y = 0 Jika y < 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y > 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y = 0 40. Permintaan Marjinal Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan atas masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua barang tersebut Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka: a a P Qd Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa b a P Qd Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb a b P Qd Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa b b P Qd Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb 41. Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas permintaan (price elasticity of demand) Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri: 1) Barang a 2) Barang b b b b b b b b Qd P P Qd P Qd d % % a a a a a a a Qd P P Qd P Qd d % % 42. Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya: 1) Elastisitas silang barang a dengan barang b 2) Elastisitas silang barang b dengan barang a b a a b a b ba Qd P P Qd P Qd % % a b b a b a ab Qd P P Qd P Qd % % 43. Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika dan < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanya Jika dan > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnya ab ba ab ba 44. Contoh (1) Elastisitas 2 Barang Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb: Qda(Pa 2)(Pb 3) 1 = 0 Qdb(Pa 3)(Pb) 1 = 0 Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut? 1) Elastisitas permintaan: manipulasi bentuk persamaan permintaan: 32 32 1 ba ba a PP PP Qd 13 3 1 ba ba b PP PP Qd 45. Contoh (1) Elastisitas 2 Barang 1) Elastisitas permintaan: cari Qda dan Qdb: bentuk persamaan elastisitas permintaannya: Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter 33 2 ba a a PP P Qd 23 ba b b PP P Qd 22 32 33 ba a ba a a a a a PP P PP Qd P P Qd d 113 23 ba b ba b b b b b PP P PP Qd P P Qd d 46. Contoh (1) Elastisitas 2 Barang 2) Elastisitas silang: cari turunan pertama atas a dan b: bentuk persamaan elastisitas silangnya: Hubungan kedua barang adalah komplementer 14 3 ba a b PP P Qd42 3 ba b a PP P Qd 33 32 42 ba b ba a b b a ab PP P PP Qd P P Qd 33 13 14 ba a ba b a a b ba PP P PP Qd P P Qd 47. Fungsi Biaya Gabungan Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB) maka: Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA) Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB) Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) Fungsi keuntungannya: = R C = [f(QA) + f(QB)] f(QA, QB) = g(QA, QB) 48. Fungsi Biaya Gabungan Keuntungan akan optimum ketika = 0: Titik optimum adalah maksimum jika < 0: 0 AQ 0 BQ 02 2 AQ 02 2 BQ 49. Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah: C = QX 2 + 3QY 2 +QXQY Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7 dan PY = 20 Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? Berapakah besarnya keuntungan maksimum? 50. Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY R = 7QX + 20QY = 7QX + 20QY QX 2 3QY 2 QXQY 7 2(20 6QY) QY = 0 33 11QY = 0 QY = 3 QY = 3 20 6(3) QX = 0 QX = 2 027 YX X QQ Q 0620 XY Y QQ Q Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan 51. Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan Jika XX dan YY < 0 maka titik maksimum: Besarnya keuntungan maksimum: = 7(2) + 20(3) (2)2 3(3)2 (2)(3) = 37 Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, akan maksimum ketika MR = MC: MRX = MCX dan MRY = MCY 022 2 XQ 062 2 YQ 52. MU dan Keseimbangan Konsumsi Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, , n) maka: U = f(q1, q2, q3, , qn ) Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya: U = f(x, y) Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan kurva indiferensi (indifference curve)kurva yg menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama 53. MU dan Keseimbangan Konsumsi Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya: Budget Line (garis anggaran): garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka: M = xPx + yPy x U Utilitas marjinal berkenaan dengan barang X y U Utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y 54. MU dan Keseimbangan Konsumsi Keseimbangan konsumsisuatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimumtercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line konsumen Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: L = f(x, y) + (xPx + yPy M) 0, xx Pyxf x L 0, yy Pyxf y L 55. MU dan Keseimbangan Konsumsi Manipulasi Lx dan Ly: Utilitas marjinal (MU) = U = f (x, y), maka: Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama x x xx P yxf Pyxf x L , 0, y y yy P yxf Pyxf y L , 0, y y x x P yxf P yxf ,, y Y x X P MU P MU 56. Contoh (3) Utilitas Optimum Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan: U = x2y3 Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50 Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y? Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya? Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan memberikan tingkat kepuasan optimum 57. Contoh (3) Utilitas Optimum Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y? 3 2xy x U 22 3 yx y U 6151613)14(2 3 x U 9937213143 22 y U 58. Contoh (3) Utilitas Optimum Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya? Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas: 50 99372 25 61516 y y x x P MU P MU 50 3 25 2 223 yxxy P MU P MU y y x x 223223 34322 yxxyyxxy xy x x y y 4 3 4 3 2 2 3 59. Contoh (10) Utilitas Optimum Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas: Substitusi nilai y = x kedalam persamaan : x = 16, maka Utilitas maksimum: 010005025 yx L 1601000 4 3 5025 xxx 1216 4 3 yy 4423681216 3232 yxu 60. MP dan Keseimbangan Produksi Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan xj = (j = 1, 2, 3, , n) maka fungsi produksinya: P = f(x1, x2, x3, , xn ) Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen hanya menggunakan 2 macam input, K dan L, maka fungsi produksinya: P = f(k, l) Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan kurva isoquantkurva yg menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat produksi yang sama 61. MP dan Keseimbangan Produksi Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan fungsi produk marjinal parsialnya: Isocost: garis yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika M adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL harga input K dan L maka: M = K x PK + L x PL k P Produksi marjinal berkenaan dengan input K l P Produksi marjinal berkenaan dengan input Y 62. MP dan Keseimbangan Produksi Keseimbangan produksisuatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni tingkat produksi maksimum dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination) tercapai pada saat kurva isoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: Z = f(K, L) + (KPK + LPL M) 0, KK PLKf K Z 0, LL PLKf L Z 63. MP dan Keseimbangan Produksi Manipulasi Lx dan Ly: Utilitas marjinal (MP) = P = f (K, L), maka: Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing input terhadap harganya adalah sama K K KK P LKf PLKf K Z , 0, L L LL P LKf PLKf L Z , 0, L L K K P LKf P LKf ,, L L K K P MU P MP 64. Fungsi Produksi Cobb-Douglas Dinyatakan dengan: dimana: A : Total factor productivity K : Capital L : Labor dan : elastisitas output Jika: + = 1 constant return to scale + > 1 increasing return to scale + < 1 decreasing return to scale LAKP 65. Contoh (4) Utilitas Optimum Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk membeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jika fungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiap input harus digunakan agar produksi optimum dan berapakah produksi optimum tersebut? 66. Sekian dan Trimakasih