Fungsi dengan Beberapa VariabelLuas L suatu lingkaran berjarijari r adalah :
L = r2
L : variabel tak bebas r : variabel bebas
dL = 2 r dry = f(x)
y = 20x2 + 45x + 100
dy = 40 x + 45 dx1
3/29/2009
r
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
Fungsi dengan Bebarapa VariabelVolume V suatu tabung berjari-jari r dengan ketinggian h adalah :
V = r2h
V
yakni V tergantung dari dua besaran yaitu r dan h, V=V(r,h) Jika r dijaga tetap dan ketinggian h h ditambah, maka volume V akan bertambah. Hal ini dapat dicari kofisien diferensial V terhadap h dengan syarat r dijaga konstan rKalkulus II ( Differensial Parsial ) 2
3/29/2009
Fungsi dengan Beberapa VariabelV dV yaitu dan dituliskan sebagai h dh r konstan V disebut koefisien turunan Parsial V terhadap h. h
V 2 = r hr = konstan3/29/2009
V = 2 rh rh = konstan3
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
Turunan Parsial
z = f ( x, y )
Jika x berubah ubah sedangkan y tetap, z adalah fungsi dari x dan turunannya terhadap x adalah z f ( x + x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) = = lim x x0 x disebut turunan parsial pertama dari z = f ( x, y ) terhadap x
Jika y berubah ubah sedangkan x tetap, z adalah fungsi dari y dan turunannya terhadap y adalah z f ( x, y + y ) f ( x, y ) f y ( x, y ) = = lim y y0 x disebut turunan parsial pertama dari z = f ( x, y ) terhadap y
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
4
Contoh :
z = x3 + y 3 2 x 2 y z z Tentukan , x xPenyelesaian :
z = 3 x 2 + 0 4 xy x z = 0 + 3y2 2x2 y
z = 3 x 2 4 xy x z = 3 y2 2x2 y
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
5
Fungsi dengan lebih dari dua variabel Bebas
f ( x, y, z ) = xy + 2 yz + 3zx f = y + 3z x f = x + 2z y f = 2 y + 3x z3/29/2009
y dan z = konstan
x dan z = konstan
x dan y = konstan
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
6
Turunan Parsial Tingkat Dua Suatu fungsi z = z(x,y) Turunan Tingkat Pertama dari z :Turunan Tingkat Dua dari z :
z z , x y z 2 z = x y xy z 2 z = 2 y y y
z x
z z = 2 x x x2
z 2 z = y x yx
z y2 z 2z = xy yx
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
7
Contoh :
z = 3 x 2 + 4 xy 5 y 2Carilah turunan tingkat dua dari z
Penyelesaian :z = 6 x + 4 y, x z = 4 x 10 y, y 2 z z = = 6, 2 x x x z = 4, x y z =4 y x 2 z z = = 10 2 y y y
z z =4 = xy yx2 23/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 8
Diferensial TotalDiferensial dx dan dy dari fungsi y = f ( x) mengandung satu variabel bebas x. dy Jika dx = x, dan dy = f ' ( x) maka dx = dx dxFungsi z = f(x, y), mengandung dua variabel bebas, yaitu x dan y. Jika dx = x dan dy = y dengan nilai x berubah ubah sedangkan y tetap, maka z adalah hanya merupakan fungsi x dari turunan parsial z terhadap x yaitu : z d x z = f x ( x, y ) = dx xKalkulus II ( Differensial Parsial ) 9
3/29/2009
Diferensial TotalApabila y yang berubah ubah sedangkan x tetap, maka z hanya merupakan fungsi dari y dan turunan parsial z terhadap y adalah : z d y z = f y ( x, y ) = dy yJadi diferensial total dari z adalah jumlah dari masingmasing diferensial tersebut yaitu :
z z dz = dx + dy x y3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 10
Diferensial TotalUntuk fungsi w = w(x,y,z,,t) diferensial totalnya adalah :
w w w w dy + dz + L dt dw = dx + x y z t
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
11
Contoh:
z = x 3 y + x 2y 2 + xy 3Penyelesaian :
z 2 2 3 = 3 x y + 2 xy + y x z = x 3 + 2 x 2 y + 3 xy 2 yz z dz = dx + dy = 3 x 2 y + 2 xy 2 + y 3 dx + x 3 + 2 x 2 y + 3xy 2 dy y x
(
)
(
)
(Diferensial total dari z)3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 12
Contoh : Suatu permukaan mempunyai panjang (x) = 35 cm dan lebar (y) = 25 cm. Tentukan harga pendekatan luasnya, jika x bertambah 0,02 cm dan y berkurang 0,03 cm.
L = pl = xyL L dL = dx + dy = ydx + xdy x yx = 35, dx = 0,02, L = 35 x 25 = 875 dL = 25(0,02) + 35(-0,03) = - 0,55 Luas pendekatannya adalah = L + dL = 874,453/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 13
y = 25, dy = -0,03
Contoh : Jika I=V/R dengan V= 250 volt dan R = 50 ohm. Tentukanlah perubahan I, jika V bertambah sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 0,5 ohm Penyelesaian :
I = f (V , R ) I I V 1 = , = 2 V R R R I I V 1 dI = dV + dR = dV 2 dR V R R R dV = 1, dR = 0,5 1 250 1 125 (0,5) = = 0,02 0,05 = 0,03 dI = (1) + 50 2500 50 2500Jadi I turun sebesar 0,03 amperKalkulus II ( Differensial Parsial )
3/29/2009
14
Aturan RantaiBila : z = f(x,y), sedangkan x = x(t) y = y(t) z = f(x(t),y(t)), berarti z fungsi dari t
dz z dx z dy = + dt x dt y dt(Total derivatif z terhadap t )3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 15
Aturan Rantai Demikian juga w = f(x,y,z, . . .) sedangkan x,y,z . . . merupakan fungsi dari t, maka w adalah fungsi dari t :
dw w dx w dy w dz = + + +L dt x dt y dt y dtJika z = f(x,y) sedangkan x = g(r,s) dan y = h(r,s) maka z merupakan fungsi dari r dan s :
dz z dx z dy = + dr x dr y dr3/29/2009
dan
dz z dx z dy = + ds x ds y ds16
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
Contoh :
z = x 2 + 3 xy + 5 y 2 x = sin t , y = cos tz = 2 x + 3 y, x dx = cos t , dt z = 3x + 10 y y dy = sin t dt
Penyelesaian :
dz z dx z dy = + = (2 x + 3 y )cos t (3 x + 10 y )sin t dt x dt y dt3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 17
Fungsi Implisit Untuk mendapatkan
f ( x, y ) = 0dy dx
Fungsi f dideferensialkan terhadap x dan menerapkan Aturan Rantai
f dx f dy 0= + x dx y dx
ataudy = x f dx y f
f f dy + =0 x y dx
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
18
Contoh :
x + x y 10 y = 03 2 4
Tentukan dy dx Penyelesaian :
f = 3x 2 + 2 xy x f = x 2 40 y 3 y f 3x 2 + 2 xy dy = x = 2 f x 40 y 3 dx y3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 19
Fungsi Implisit Bila z sebagai fungsi dari x dan y diberikan dalam bentuk implisit : F(x,y,z)=0 z Untuk mendapatkan
xFungsi F diturunkan terhadap x dan menerapkan Aturan Rantai
F F z + =0 x z x F z = x F x z3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial )
F F z =0 + y z y F z y = F x z20
Contoh :
F ( x, y, z ) = x 2 + 3 xy 2 y 2 + 3xz + z 2 = 0 z z Carilah dan x y
Penyelesaian :
z F F z + = (2 x + 3 y + 3 z ) + (3 x + 2 z ) = 0 (i ) x x z x F F z z + = (3 x 4 y ) + (3 x + 2 z ) = 0 (ii ) y z y y F F z x = 2 x + 3 y + 3 z dan z = y = 3 x 4 y = F F x 3x + 2 z y 3x + 2 z z z3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 21
Jacobian Bila f(x,y,u,v) dan g(x,y,u,v) Matrik Jacobian J f f , g u = u, v g u f v g v f f f , g u v J = u, v g g u v
Determinan Jacobian
Bentuk umum matrik Jacobian
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
22
Contoh :
x = r cos ,
y = r sin
Tentukan determinan Jacobian.Penyelesaian :
x x = cos , = r sin r y y = sin , = r cos r x = cos y sin x = cos y sin
x x, y r Matrik Jacobian J = r , y r
r sin r cos r sin =r r cos23
x x, y r Determinan Jacobian J = r , y r3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
Garis Singgung dan Bidang Singgung Kurva bidang didefinisikan dengan persamaan x = f(t), y = g(t), z = h(t) Pada titik P0(x0,y0,z0), untuk t = t0 Persamaan garis singgung :x x0 y y0 z z0 = = dz dy dx dt dt dt
Persamaan bidang normal :
dx dy dz (x x0 ) + ( y y0 ) + (z z0 ) = 0 dt dt dt3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 24
Contoh :
Carilah persamaan garis singgung dan bidang normal pada kurve
x = t,
y=t ,2
z =t
3
di titik t = 1
Penyelesaian : Persamaan garis singgung
dx dy dz = 1, = 2t = 2, = 3t 2 = 3 Pada titk t = 1 atau (1, 1, 1) dt dt dt x x0 y y0 z z0 x 1 y 1 z 1 = = = = = dx dy dz 1 2 3 dt dt dt Persamaan bidang normal dx (x x0 ) + dy ( y y0 ) + dz (z z0 ) = dt dt dt (x 1) + 2( y 1) + 3(z 1) = x + 2 y + 3z 6 = 03/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 25
Bidang Singgung dan Garis Normal
Persamaan bidang singgung pada permukaan F(x,y,z) = 0 pada titik P0(x0,y0,z0),F F F (x x0 ) + ( y y0 ) + (z z0 ) = 0 x y zPersamaan Garis Normal
x x0 y y0 z z0 = = F F F x y z3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 26
Contoh :
z = 3x 2 + 2 y 2 11, (2, 1, 3) F ( x, y, z ) = 3x 2 + 2 y 2 z 11 = 0 Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal
Penyelesaian :
Pada titik (2, 1, 3)
F F F = 6 x = 12, = 4 y = 4, = 1 x y z Persamaan bidang F (x x ) + F ( y y ) + F ( z z ) = 0 0 0 0 x y z singgung : 12(x 2 ) + 4( y 1) 1(z 3) = 12 x + 4 y z = 25Persamaan garis normal :3/29/2009
x x0 y y0 z z0 x 2 y 1 z 3 = = = = = F F F 12 4 1 x y zKalkulus II ( Differensial Parsial ) 27
Turunan Arah dan Harga Ekstrim Turunan Berarah f(x,y) di titik P atau P dengan arah diberikan oleh :
dz z z = cos + sin ds x yTurunan Berarah untuk fungsi f(x,y) di titik P(x,y,z) dengan arah (, , ) diberikan oleh :
dF F F F = cos + cos + cos ds x y z3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 28
Contoh : Carilah turunan z = x 2 6 y 2
pada titik P' (7,2) dengan arah 450Penyelesaian :
dz z z = cos + sin = 2 x cos 12 y sin y ds x Pada titik P ' (7,2) dengan arah = 45o 1 1 dz = 2 7( 2 ) 12 2( 2 ) = 5 2 2 2 ds
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
29
Gradien dari Fungsi Turunan Berarah f(x,y) dalam arah s yang membentuk sudut diberikan oleh :
dz z z = cos + sin ds x ydz adalah fungsi dari arah . Arah yang ds z memberikan maksimum dinamakan gradien dari f ( x, y ) x
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
30
Gradien dari Fungsi Untuk mendapatkan gradien dari f(x,y) dicari turunan terhadap dan menyamakan dengan nol. dz
dz z z = sin + cos = 0 ds x y z z y y tan = = arc tan z z x xArah adalah gradien dari f(x,y)
ds
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
31
Titik maksimum atau minimum Mencari titik maksimum atau minimum relatif dari fungsi f(x,y) :f f = 0 dan =0 x y
0 dan >0 2 x 2 f > 0 dan 0 > 0, 2 x Jadi titik (2,3) merupakan titik minimumKalkulus II ( Differensial Parsial ) 33
3/29/2009
Pada titik (1,2) f f f = 2 2 x y xy = (2 x)(1) 0 = 2 x = 2, Jadi titik (-1,-2) merupakan titik pelana (sadle point)2 2 2 2
< 0,
Fungsi x3 y2 f ( x, y ) = x + + 2y 3 2 mempunyai titik minimum di (1,2) dan titik pelana (sadle point) di (1,2)
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
34
x3 y2 Contoh : f ( x, y ) = x+ + 2y 3 2 Carilah titik stasioner (maksimum atau minimum)Penyelesaian : f = x 2 1 = 0x x = 1, f = y+2=0 y y = 2, dan x = 1, 2 f =1 2 y2
y = 2 2 f =0 xy
2 f = 2 x, 2 x Pada titik (1,2) 2 f = 2 x
2 f 2 f 2 y xy = (2 x)(1) 0 = 2 x = 2 2 f > 0, = 2x = 2 > 0 2 x Jadi titik (1,-2) merupakan titik minimum3/29/2009 Kalkulus II ( Differensial Parsial ) 35
Metode Lagrange Untuk menentukan harga ekstrim dari fungsi : f(x,y) dengan syarat g(x,y,z)=0
F ( x, y , z ) = f ( x , y , z ) + g ( x, y , z ) f g f g + = 0, + = 0, x x y y = pengali Lagrange
f g + =0 z z
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )
36
Contoh :
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 Tentukan minimum f(x,y) dengan syarat : 2 x-y + 2 z-16 = 0F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + (2 x y + 2 z 16) F = 0, 2 x + 2 = 0, x = x 1 F = 0, 2 y = 0, y= 2 y F = 0, 2 z + 2 = 0, z = z 32 1 Substitusi : 2( ) + 2( ) 16 = 0, = 9 2 32 16 32 x= , y= , z= 9 9 9 f ( x, y, z ) minimum 2304 32 16 32 + + = 81 9 9 9 372 2 2
Penyelesaian :
3/29/2009
Kalkulus II ( Differensial Parsial )