-
TUGAS MATEMATIKA KIMIA
Persamaan Differensial dan Matriks
Disusun Oleh :
Linda Wirianty (113194013)
Diah Jati Kusuma (113194221)
JURUSAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2012
-
PERSAMAAN DIFERENSIAL
1. dy + ex = 0
dx
2. dy + sinx dx = 0
y
3. d2y + cosx = 0
dx2
4. d2y + hE y = 0
dx2 2m
PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN VARIABEL TERPISAH
Example :
= f1 (x) . g2 (y) dx + f2 (x) . g1 (y) dy =0
dikali 1
g2 (g) . f2 (x)
= f1 (x) dx + g1 (y) dy = 0
f2 (x) g2 (y)
= f1 (x) dx + g1 (y) dy = 0
f2 (x) g2 (y)
= f (x) + g (y) = 0
1. x3dx + ( y + 1 )2 dy = 0 x3dx + ( y + 1 )2 dy = 0
x4 + 1/3 ( y + 1 )3 = c
3x4 + 4 ( y + 1 )3 = c . Diturunkan
-
12x3 + 12 ( y + 1 )2 . Dibagi 12
Jawaban seperti soal
2. dx + dy = 0
sin5y ( 1 + sinx )
jawab :
( 1 + sinx )dx + sin5ydy = 0
( 1 + sinx )dx + sin5ydy = 0
( 1 + sinx )dx + (sin2y)2sinydy = c
x cos x + ( 1 cos2y )2d cos y = c
x cos x + ( 1 2cos2y + cos4y )2d cos y = c
x cos x + cos y 2/3 cos3y + 1/5 cos
5y = c
PERSAMAAN DIFERENSIAL Tk i HOMOGEN
contoh :
1. f ( x,y ) = x4 x
3y
= (x)4 (x)
3(y)
= (x)4
4(x
3y)
= 4
( x4 x
3y )
2. (x2 + y
2 ) dx = 2xydy dibagi x
( 1 + (y/x)2
) dx = 2 y dy
x
Dibagi x2
Misal :
y = Ux x = Uy
f (x,y) f ( x, y ) f (x,y )
-
U = y
x
dy = Udx + xdU
( 1 + U2 ) dx = 2U ( Udx + XdU )
( 1 + U2 ) dx = 2U2dx + 2UxdU
( 1 + U2 ) dx - 2U2dx = 2UxdU
( 1 + U2 - 2U2 ) dx = 2UxdU
( 1 - U2 ) dx = 2UxdU
dx = 2U dU
x ( 1 - U2 )
dx - 2U dU = 0
x ( 1 - U2 )
ln x + ln ( 1 - U2 ) = ln c
ln x ( 1 - U2 ) = ln c
x ( 1 - U2 ) = c
x ( 1 (y/x)2 ) = c .. dikali x2
x ( x2 y2 ) = cx2
x ( x2 y2 ) = cx2
( x2 y2 ) = cx
1. dy + p ( x ) y = Q (x) dx
missal :
y.e p (x) dx konstan
d y.e p (x) dx = y . p (x) e p (x) dx + e p (x) dx dy
dx dx
= e p (x) dx ( yp (x) + dy / dx )
-
= e p (x) dx (dy / dx + p (x)y )
= e p (x) dx . Q (x)
d y . e p (x) dx = Q (x) e p (x) dx
dx
dy . e p (x) dx = Q (x) e p (x) dx dx
dy . e p (x) dx = Q (x) e p (x) dx dx + c
2. dy - y = e 2x dx
jawab :
y . e -1 . dx = e 2x . e -1 . dx dx + c
y . e -dx = e 2x . e - dx dx + c
y . e -x = e 2x . e - x dx + c
y . e -x = e 2x - x dx + c
y . e -x = e x dx + c
y . e -x = e x + c
y = e x ( e x + c )
y = e 2x + c e x
pembuktian :
y = e 2x + c e x
dy = 2 e 2x + cex
dx
2 e 2x + cex - (e 2x + c e x ) = e 2x
2 e 2x + cex - e 2x - ce x = e 2x
e 2x = e 2x
y.e p (x) dx = Q (x) . e p (x) dx dx + c
-
*******
dy + p ( x ) y = Q (x)
dx
dy + p ( x ) y = Q (x) yn
dx
+ p ( x ) y ( -n + 1 ) = Q (x) misal : U = y ( -n + 1 )
= ( -n + 1 ) yn
1 dU = yn dy
( -n + 1 ) dx dx
1 dU + p ( x ) y = Q (x)
( -n + 1 ) dx
Jadi rumus yang didapat seperti pada kotak di bawah ini :
Contoh :
1.
- - - y = xy5
y.e p (x) dx = Q (x) . e p (x) dx dx + c
Supaya rumusnya menjadi
dy + p (x) y = Q (x) maka dibagi yn
dx
y-n dy
dx dy
dx
dy
dx
du + ( -n + 1 ) px U = ( -n + 1 ) Q (x)
dx
dy
dx
-
y -5 dy y -4 = x
dx
- du U = x dibagi 4
dx
du + 4U = -4x
dx
U . e 4 dx = -4x e 4 dx dx + c
U . e 4 x = - 4x e 4 x dx + c
U . e 4 x = - 4 x e 4 x dx + c
= - x d . e 4x + c
= - [ x e 4 x - x e 4 x dx ] + c
= - [ x e 4 x - x e 4 x ] + c
U . e 4 x = - x e 4 x + x e 4 x + c .... dibagi e 4 x
U = - x + x + c e - 4 x
Pembuktian
y -4 = - x + x + c e - 4 x
- 4 y -5 dy = -1 4ce - 4 x ... dibagi - 4
dx
y -5 dy = + ce - 4 x
dx
+ ce - 4 x - ( - x + + ce - 4 x ) = x
- ( - x ) = x
x = x
e 4 x dx
d . eUx = U . e Ux dx
d . e 4x = 4. e 4x dx
-
Persamaan Differensial Eksaks
Apabila terdapat persamaan sebagai berikut:
M (x,y)dx + N (x,y) dy = 0
Dimana
=
(1)
Apabila persyaratan tersebut terpenuhi, maka persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan
persamaan differensial eksaks
a. Penerapan persamaan Differensial eksaks dalam ilmu kimia yaitu dalam memperoleh rumus
P.V=n .R .T
M N
untuk mngetahui apakah bisa diselesaikan dengan persamaan eksaks atau tidak maka Nilai M dan
N harus diturunkan terlebih dahulu, sebagai berikut:
M (T,V) =
N (T,V) =
= n R = - n R T
= - n R
= - n R
=
=
Sehingga
=
M ( T, V) =
=
dF =
dT untuk mendapatkan F (T,V) maka diintegralkan
-
=
F (T, V) =
=
(2)
Untuk mendapatkan nilai h (V) maka kita masukkan nilai turunan F terhadap nilai N
0 =
d h(V) = 0 dv
h (V) =0
Masukkan nilai h (V) ke persamaan 2, sehingga diperoleh:
F (T, V) =
F (T, V) =
Atau lebih dikenal dengan
P (T, V) =
P V = n R T
b. Persamaan Differensial Eksak pada Termodinamika
Seperti yang telah kita ketahui, beberapa rumus umum dalam termodinamika antara lain:
U = Q W
H = U + P V
A = U T S
G = H T S
Turunan dari masing- masing persamaan sebagai berikut:
U = Q W
dU = dQ dW
diketahui bahwa
,dan
dW = P dV , sehingga
dU = T ds P dV (3)
-
H = U + P V
dH = dU + d(P V) ingat! rumus perkalian pada turunan d(uv) = uv + u v
= dU + P dV + V dU masukkan persamaan dU diatas, sehingga
dH = T ds P dV + P dV + V dP
dH = T ds + V dP (4)
A = U T S
dA = dU d(T S)
dA = d U T dS S dT
= T ds P dV T dS S dt
dA = P dV S dT (5)
G = H T S
dG =d H d(T S) masukkan persamaan dH diatas sehingga,
= T ds + V dP T dS S dT
dG = V dP S dT (6)
Turunan-turunan diatas dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut:
1. dU = T ds P dV
U (S, V); dU = (
) + (
)
2. dH = T ds + V dP
H (S, P); dH = (
) + (
)
3. dA = P dV S dT
A (V, T); dA = (
) + (
)
4. dG = V dP S dT
G (P, T); dA = (
) + (
)
Hubungan Maxwell
1. dU = T ds P dV
(
) (
)
-
2. dH = T ds + V dP
(
) (
)
3. dA = P dV S dT
(
) (
)
4. dG = V dP S dT
(
) (
)
Persamaan Differensial Tidak Eksaks
Disebut persamaan differensial tidak eksaks apabila :
(
) - (
) 0
Agar dapat menjadi persamaan differensial eksaks, maka perlu terlebih dahulu menentukan faktor
integral. Faktor integral terdiri dari 2 macam :
1. (
) (
)
faktor integral fi =
2. (
) (
)
faktor integral fi =
Contoh soal :
(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
M (x,y) = x2 + y2 + x ; N (x,y) = x y
Persamaan differensial tidak eksak, sehingga perlu mencari factor integral
(
) (
)
karena mengandung x, maka
menggunakan persamaan pertama
fakor integral :
-
Factor integral : fi =
= (
)
=
= x
Untuk memperoleh persamaan differensial eksaks maka nilai dari factor integral dikali dengan
persamaan awal
x [(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0]
(x3+x y2 + x2)dx + x2y dy = 0
M (x,y) = x3+x y2 + x2 ; N (x,y) = x2y
=
M (x,y) = (
)
x3+x y2 + x2 = (
)
dF = x3+x y2 + x2 dx untuk mendapatkan F (x,y) maka diintegralkan
=
F (x,y) =
Untuk mendapatkan nilai h (y) maka kita masukkan nilai turunan F terhadap nilai N
x2y = x2y
0 =
d h(y) = 0 dy
h (y) =0
nilai h (y) ini kemudian dimasukkan ke persamaan F (x, y) sehingga
F (x,y) =
F (x,y) =
-
Persamaan Linear Tingkat n
Po
+ P1
+ P2
+ + P(n-1)
+ Pny = G(x)
D= operator
D =
Dy=
Sehingga
Po
+ P1
+ P2
+ + P(n-1)
+ Pny = G(x)
[Po Dn + P1 Dn-1 + P2 D
n-2 + .+ P (n-1) D + P n] y = P (x)
= 0
y = yc + yp
[Po Dn + P1 Dn-1 + P2 D
n-2 + P (n-1) D + P n] = 0
(D m1) (D m2) (D m3) = 0
m1 ; m2 ; m3 ; ..
penyelesaian complementer yc = c1em1x + c2e
m2x + c3em3x + ..
penyelesaian yp [Po Dn + P1 D
n-1 + P2 Dn-2 + .+ P (n-1) D + P n] y = Q (x)
yp =
yp =
misal
= u
(D m1) u = Q (x)
(
)
u .
-
Sehingga diperoleh nilai dari u, selanjutnya nilai u dimasukkan ke persamaan yp
yp =
misal
= z
Sehingga yp =
Demikian seterusnya hingga semua factor penyebut habis, untuk lebih jelas perhatikan contoh soal
di bawah ini:
+ 2y = ex
Diketahui operator (D) =
, sehingga dapat ditulis :
(D2 3D + 2)y = ex
(D - 2) (D - 1)
m1= 2 m2= 1
penyelesaian complementer yc = c1em1x + c2e
m2x
yc = c1e2x + c2e
x
penyelesaian yp =
yp =
misal = u
u =
u (D - 2) = ex
u . dx
u. e -2x = dx
u. e -2x =
u. e -2x = -e-x
u =
u = - ex
selanjutnya yp =
yp =
misal z
-
z =
z (D - 1) = -ex
z . dx
z. e -x = dx
z. e -x =
z. e -x = -x
z = -x . ex
sehingga diperoleh yp = -x . ex
jadi persamaan differensial y = yc + yp
= c1e2x + c2e
x - x . ex
Pembuktian !!
y = c1e2x + c2e
x - x . ex
= 2 c1e
2x + c2ex - x . ex - ex
= 4 c1e
2x + c2ex - x . ex 2 ex
+ 2y = ex
4 c1e2x + c2e
x - x . ex 2 ex 3 (2 c1e2x + c2e
x - x . ex - ex) + 2 (c1e2x + c2e
x - x . ex) = ex
4 c1e2x + c2e
x - x . ex 2 ex 6 c1e2x -3 c2e
x +3 x . ex +3 ex + 2 c1e2x + 2 c2e
x - 2 x . ex = ex
ex = ex
-
DETERMINAN
det (A) = i+j
.aij Mij
det (A) =
A
1. |A| = = -10
= (-1)1+1
.1.|2| + (-1)1+2
.4.|3|
= (-1)2.2 + (-1)
3.4.3
= 2 + (-12)
= -10
2. |A| = (-1)2+1.3.4 + (-1)2+2.2.1
= (-1)12 + 2
= -10
1. |A| = baris ke-2 dikurangi -2 kemudian hasilnya ditambahkan ke baris pertama
=
= -10
2. |A| = baris pertama dikurangi -3 kemudian hasilnya ditambahkan ke baris ke-2
=
= -10
A = 1 2 3
4 5 6
7 8 9
Baris Kolom
|A| = (-1) 1+1
. 1 + (-1)1+2
. 2 + (-1)1+3
.3
-
= 1.(-3) + 2.6 3.3 = -3 + 12 9 = 0
A =
C =
Cij = (-1)1+1
= (-1)2. 0 (-12)
= 12
C12 = (-1)1+2
= (-1) 3
. 0 (6)
= 6
C13 = (-1)1+3
= (-1) 4. -4 (12)
= -16
C21= (1)2+1
= (-1) 3
. 0 (5)
= 5
C23 = (-1)2+3
= (-1) 5
12 (4)
= 16
C22 = (-1)2+2
= (-1) 4
. 0 (-2)
-
= 2
C31 = (-1)3+1
= (-1) 4
. 6 (-6)
= 12
C32 = (-1)3+2
= (-1) 5
. 9 (-1)
= -10
C33 = (-1)3+3
= (-1)6. 18 (2)
= 16
C =
C T =
A.CT = .
=
A.CT =
A.CT = det (A)
A.C
T = det(A) . I
CT = adj (A)
I =
A-1
= A.A-1
=
A-1
. A = I
A-1 =
-
A-1
=
=
=
A.A-1
= I
=
64
-
>C1 = c2<
Hij = apabila I j
0 tetangga ( ada ikatan langsung )
Sij = 1 if I = j apabila I j
0 if I j tidak ada ikatan langsung
Hij E Sij = 0
h =
~ v = 0
= ? = [ d2
0 n; m; e x
H11 = S11 = 1
H12 = S12 = 0
H21 = S21 = 0
H22 = S22 = 1
E.1 E.0 E x 1 1
E.0 E.1 -E 1 x 1
HAMILTON
apabila I = j
< 0
X =
-
x = 1 1 = E -
E =
E =
..
x = -1 -1 =
- = E +
E = +
X Y
A B C Z
1 2 3
x y z
A
1 2 3 S z
y
I0 It x
- log I0 = A = CCt x lambert - beet
It
A = C t
x+y+z
