Mar 06, 2016
BAB
Konsep Dasar
BAB
PDB Linier Order Satu
BAB
Aplikasi PDB Order Satu
BAB
PDB Linier Order Dua
BAB
Aplikasi PDB Order Dua
BAB
Sistem PDB
BAB
PDB Nonlinier dan
Kesetimbangan
Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier Se
baliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan
secara analitik Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda nu
merik Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan
pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming
Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan non
linier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe
sien dan syarat awalnya Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif yaitu
mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gras Beberapa aspek pen
ting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam
bahasan berikut
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Sistem Linier
Suatu sistem PDB order satu dengan n persamaan yang disajikan sebagai
dx
dt
a
x
a
x
a
n
x
n
dx
dt
a
x
a
x
a
n
x
n
dx
dt
a
x
a
x
a
n
x
n
dapat ditulis dalam bentuk
dx
dt
Ax
Misal solusi persamaan ini adalah x e
rt
dan x
re
rt
maka
re
rt
Ae
rt
A rI
Denisi Misal A R
nn
maka vektor R
n
disebut vektor eigen bila
A r dimana r adalah nilai eigen
Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi detA rI yang
sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas Se
lanjutnya bila persamaan sama dengan nol yaitu
dx
dt
Ax maka solusi
sistem PDB linier akan mencapai titik kritis titik kesetimbangan Suatu con
toh diberikan sistem PDB x
x x x
x x Titik kritis dapat
diperoleh dengan menyelesaikan sistem
x x
x x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
dimana titik yang memenuhi adalah sehingga titik kesetimbangannya adalah
Sistem Otonomus dan Trayektori
Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat x x
Denisi Suatu PDB yang berbentuk
dx
dt
f
x
x
dx
dt
f
x
x
adalah merupakan sistem otonomus karena f
x
x
dan f
x
x
bebas dari t
Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka
x
x
t x
x
t
merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal x
t
x
x
t
x
Jelas penyelesaian menentukan sebuah kurva diruang tigadimensi t x
x
Jika kita pandang t sebagai parameter maka bila t berubah dalam selang interval
tertentu a t b titik x
t x
t akan menelusuri sebuah kurva yang disebut
trayektori atau orbit dari penyelesaian di bidang xx Dalam kajian dari
sistem sis pasangan x
x
disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang
xx pada umumnya disebut bidang fase phase plan sedangkan gambar semua
trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase
Untuk menentukan trayektori dari persamaan dapat digunakan atu
ran rantai sebagai berikut
dx
dx
dx
dt
dt
dx
f
x
x
f
x
x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori
yang melalui titiktitik pada domain D Misal f
x
x
maka persamaan
trayektori yang melalui titiktitik lain misal S adalah
dx
dx
f
x
x
f
x
x
Titiktitik x
x
dalam bidang fase yang membuat f
dan f
sama de
ngan nol merupakan titik setimbang dari sistem dan x
t x
x
t
x
adalah penyelesaian untuk semua t
Contoh Tentukan titik kritis sistem PDB
dx
dt
B
C
A
x
dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi
syarat awal x
x
p
Contoh Tentukan titik kritis sistem PDB
dx
dt
B
C
A
x
dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi
syarat awal x
x
p
Penyelesaian Titik kritis ditentukan dengan
B
C
A
x
sehingga adalah satusatunya titik kritis Kemudian dengan menggunakan
persamaan maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB
dx
dx
x
x
x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
dimana penyelesaian umumnya adalah x
x
c
suatu lingkaran yang berpusat
di Dengan menerapkan sarat awal maka solusi khusus didapat sebagai
x
x
Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di
dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi x
x
Semakin besar
nilai x
semakin kecil nilai x
nya dengan demikian gerakan titik berlawanan
dengan arah jarum jam lihat Gambar
x2
x12
Gambar Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal
Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otono
mus
Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut
dx
dt
f
x
x
dx
dt
f
x
x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
akan mempunyai x
x
sebagai titik kritis atau kesetimbangan dari sis
tem apabila f
x
x
dan f
x
x
Karena tu
runan suatu konstanta sama dengan nol akibatnya jika titik x
x
meru
pakan titik kritis dari sistem ini maka sepasang fungsi konstan
xt x
xt x
merupakan penyelesaian dari sistem untuk semua nilai t
Dalam banyak keadaan sangat penting mengetahui apakah setiap penyele
saian dari sistem yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian
pada t akan tetap dekat dengan untuk seluruh t berikutnya Jika
demikian halnya penyelesaian atau titik kritis x
x
disebut stabil
Untuk lebih jelasnya diberikan denisi berikut
Denisi Titik kritis x
x
atau penyelesaian konstan dari sis
tem disebut stabil jika untuk setiap bilangan e terdapat suatui bi
langan sedemikian hingga setiap penyelesaian x
t x
t yang pada t
memenuhi
x
x
x
x
ujud dan memenuhi
x
t x
x
t x
untuk semua t
Denisi Titik kritis x
x
atau penyelesaian konstan disebut
stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat
sedemikian
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
hingga setiap penyelesaian x
t x
t yang pada t memenuhi
x
x
x
x
ujud untuk semua t dan memenuhi
lim
t
x
t lim
t
x
t
Denisi Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil
Secara singkat dikatakan stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal
hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian stabil asimtotik berarti
pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali tidak berpe
ngaruh sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awal
nya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian
Konsep mengenai titik stabil stabil asimtotik dan tak stabil masingmasing
digambarkan dalam Gambar
Gambar Potret fase sistem PDB dengan MAPLE
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Contoh Buktikan titik kritis sistem PDB
dx
dt
B
C
A
x
adalah stabil
Penyelesaian Misal diberikan Pilih Solusi sistem ini adalah
x
t c
cos t c
sin t
x
t c
cos t c
sin t
dimana c
c
adalah sebarang konstan Karena titik kritis maka x
x
dan x
c
x
c
dan jelas
x
x
x
x
c
c
c
c
Selanjutnya apakah
x
t x
x
t x
Substitusikan penyelesaian diatas didapat
c
cos t c
sin t
c
cos t c
sin t
c
cos
t c
cos tc
sin t c
sin
t c
cos
t c
cos tc
sin t c
sin
t
c
c
Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis adalah stabil Kita tahu bahwa
trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat
t Ini berarti persamaan tidak berlaku oleh karena itu titik kritis
bukan stabil asimtotik
Contoh Buktikan titik kritis sistem PDB
dx
dt
B
C
A
x
adalah stabil asimtotik
Penyelesaian Mulamula harus dibuktikan bahwa adalah stabil
Misal diberikan Pilih Solusi umum sistem pada soal ini adalah
x
t c
e
t
x
t c
e
t
dimana c
c
adalah sebarang konstan Disini x
x
dan x
c
x
c
dan jelas
x
x
x
x
c
c
c
c
Selanjutnya apakah
x
t x
x
t x
Substitusikan penyelesaian diatas didapat
c
e
t
c
e
t
c
c
e
t
c
c
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
dengan demikian titik adalah stabil Karena untuk sebarang c
c
berlaku
lim
t
x
t lim
t
c
e
t
lim
t
x
t lim
t
c
e
t
maka titik adalah stabil asimtotik
Contoh Buktikan titik kritis sistem PDB
dx
dt
B
C
A
x
adalah takstabil
Penyelesaian Misal titik adalah stabil maka untuk terdapat
sedemikian hingga memenuhi persamaan Perhatikan bentuk
penyelesaian sistem ini
x
t
p
e
t
x
t
p
e
t
Disini x
x
dan x
x
p
dan
p
p
Selanjutnya apakah
x
t x
x
t x
Substitusikan penyelesaian diatas didapat
p
e
t
p
e
t
e
t
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai t sehingga titik kristis
adalah takstabil
Selanjutnya sifatsifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier
dx
dt
B
a b
c d
C
A
x
dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya Bila ad bc maka titik kritis
adalah satusatunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk
x
t Ae
t
x
t Be
t
dan sifatsat kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut
Teorema Titik kritis dari sistem PDB otonomus
akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau
mempunyai bagian riel yang takpositif
akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan
negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif
akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel
dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang
positif
Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier Dalam
contoh persamaan kuadratik nilai eigen persamaan karakteristik
Akarakarnya adalah i jelas mempunyai bagin riel yang tak positif yaitu
maka menurut teorema titik kritis ini adalah stabil Dalam contoh
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
persamaan karakteristiknya berbentuk
Akarakarnya
Karena akarakarnya riel dan negatif maka titik kritis adalah
stabil asimtotik Terakhir contoh persamaan karakteristiknya
akarakarnya dan sehingga titik kritisnya takstabil
Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus Misal titik kritis itu
x
x
mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk X
x
x
dan X
x
x
dan memetakan sistem otonomus kedalam
sistem sepadan dengan sebagai titik kritis tanpa mengurangi perumuman
dimana juga merupakan titik kritis sistem maka inilah suatu teknik
untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier
Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk
umum sebagai berikut
dx
dt
B
a b
c d
C
A
x F x
x
dengan ad bc dan F Jadi tetap merupakan titik kritis
sistem ini Kemudian bila fungsifungsi F C
I didekat titik kritis asal dan
juga terjadi bahwa
lim
x
x
F x
x
p
x
x
dikatakan bahwa sistem linier
dx
dt
B
a b
c d
C
A
x
merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas Selan
jutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Teorema Titik kritis dari sistem PDB hampir linier
akan stabil asimtutik jika titik kritis dari sistem PDB linier adalah
stabil asimtutik
akan takstabil jika titik kritis dari sistem PDB linier adalah takstabil
Contoh Buktikan bahwa titik kritis sistem PDB hampir linier
x
x
x
x
x
x
x
x
x
adalah stabil asimtutik
Penyelesaian Di sini a b c d dan ad bc
sedang F
x
x
x
x
F
x
x
x
x
Juga F
F
sehingga syarat terpenuhi Dengan demikian sistem liniernya sekarang
adalah
x
x
x
x
x
Persamaan karakteristik persamaan ini adalah
dimana akar
akarnya adalah
dan
Karena kedua akarnya bernilai riel dan
negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang
berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik
Contoh Buktikan bahwa titik kritis sistem PDB hampir linier
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
adalah stabil asimtutik
Penyelesaian Di sini a b c d dan ad bc
sedang F
x
x
x
x
F
x
x
x
x
juga F
F
Kita nyatakan x
dan x
dalam koordinat polar x
r cos x
r sin maka
syarat x dan x sepadan dengan r Maka
lim
r
F
x
x
p
x
x
lim
r
r
cos
sin
r
lim
r
r cos
lim
r
F
x
x
p
x
x
lim
r
r
cos sin
r
lim
r
r cos sin
Jadi syarat terpenuhi sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier
x
x
x
x
x
x
dimana nilai eigennya adalah
dan
Karena salah satu akarnya
adalah positif dan titik adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga men
jadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan
titik keritis takstabil
Potret Fase Sistem Otonomus
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya gambar semua trayektori yang berpautan
dari suatu sistem PDB disebut potret fase Bila sistem PDB itu adalah otonomus
linier
dx
dt
B
a b
c d
C
A
x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
maka solusi umumnya adalah x
t Ae
rt
x
t Be
rt
dimana r adalah nilai
eigen dari matrik
B
a b
c d
C
A
yaitu r merupakan akar dari persamaan karakteristik
detA rI
Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada
akarakar r
r
dari persamaan Tabel merupakan rangkuman potret
fase sistem PDB dengan sifatsifat stabilitasnya Sedangkan tipetipe titik kritis
x
Ax detA rI detA
Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas
r
r
Simpul Tidak stabil
r
r
Simpul Stabil asimtotik
r
r
Titik plana Tidak stabil
r
r
Simpul sempurna atau tak sempurna Tidak stabil
r
r
Simpul sempurna atau tak sempurna Stabil asimtotik
r
r
i Titik spiral Fokus
Tidak stabil
Stabil asimtotik
r
i r
i Pusat Stabil
Tabel Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier
pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar
Contoh Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier
x
x
x
x
x
x
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
x2
x1(a)
(( ) , ( ) )x x1 0 2 0
x1
x2
(b) x1(c)
x2
Gambar Ringkasan potret fase
Penyelesaian Akarakar karakteristik sistem ini adalah r
dan r
sehingga penyelesaian umumnya adalah
x
t c
e
t
c
e
t
x
t c
e
t
c
e
t
Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penye
lesaian umum ini untuk semua nilai c
c
yang berbeda Bila c
c
maka
didapat penyelesaian x
x
dimana trayektorinya merupakan titik asal
Bila c
dan c
didapat penyelesaian
x
t c
e
t
x
t c
e
t
dan bila c
dan c
didapat penyelesaian
x
t c
e
t
x
t c
e
t
Untuk c
semua penyelesaian mempunyai trayektori yang sama
y x Demikian pula untuk c
trayektorinya adalah y x Pada
persamaan bila c
dan c
berturutturut akan diperoleh
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
trayektori y x dan y x Keempat trayektori ini akan berupa
setengah garisgaris lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar Panahpanah
pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila t bertam
bah Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeli
minasi t pada persamaan dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh
untuk nilai konstanta c
c
yang tidak nol Bila ini sulit dilakukan maka dapat
dianalisa dari jelas bahwa bila t setiap trayektori dari sistem
PDB pada soal ini akan menuju Selanjutnya untuk c
dan c
kita punyai
lim
t
x
y
lim
t
y
x
c
e
t
c
e
t
c
e
t
c
e
t
lim
t
c
c
e
t
c
c
e
t
y x
Jadi semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis y x Gam
bar menunjukkan beberapa potret fase sistem
y
x
y x= > 0
y x= < 0
y x= > 0
y x= < 0
Gambar Potret fase untuk nilai awal tertentu
Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah
melalui fungsi DEplot
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Menggunakan fungsi DEplot
withDEtools
odedixttxtxt
odedixttxtxt
DEplotodeodextxttxx
Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini
Gambar Potret fase sistem secara umum
Contoh Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier
x
x
x
x
x
x
Penyelesaian Akarakar karakteristik sistem ini adalah r
dan r
sehingga penyelesaian umumnya adalah
x
t c
e
t
c
e
t
x
t c
e
t
c
e
t
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
Bila c
c
maka didapat penyelesaian x
x
dimana trayektorinya
merupakan titik asal Bila c
dan c
didapat penyelesaian
x
t c
e
t
x
t c
e
t
dan bila c
dan c
didapat penyelesaian
x
t c
e
t
x
t c
e
t
Untuk c
trayektori sistem persamaan berupa setengah garis
lurus x
x
sedangkan untuk c
trayektorinya adalah setengah garis
x
x
Kemudian untuk c
dan c
berturutturut akan diperoleh
trayektori setengah garis x
x
dan x
x
Arah gerakan titiknya
menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar Untuk c
dan
c
kita peroleh
lim
t
x
x
lim
t
c
e
t
c
e
t
c
e
t
c
e
t
lim
t
c
e
t
c
c
e
t
c
x
x
dan untuk
lim
t
x
x
lim
t
c
e
t
c
e
t
c
e
t
c
e
t
lim
t
c
c
e
t
c
c
e
t
x
x
Hal ini menyatakan bahwa untuk t semua trayektori asimtotis ke garis
x
x
sedangkan untuk t semua trayektori asimtotis ke garis x
x
Gambar menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem
dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal
selebihnya menjauhi yaitu menuju bila t
Selanjutnya melalui penerapan fungsiDEplot didapat potret fase umum berikut
BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN
y
x
y x= >12
0
y x= >2 0
y x=