-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi
A. Elastisitas EEllaassttiissiittaass mmeerruuppaakkaann
ppeerrsseennttaassee ppeerruubbaahhaann yy tteerrhhaaddaapp
ppeerrsseennttaassee ppeerruubbaahhaann xx..
1.1 Elastisitas Permintaan
Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah
permintaan barang, akibat adanya perubahan harga. RRuummuuss
eellaassttiissiittaass ppeerrmmiinnttaaaann
dd == dPdQd
.. dQ
P,,
KKeett :: QQdd ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ,, PP
HHaarrggaa
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
PPeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg ddiikkaattaakkaann
bbeerrssiiffaatt::
EEllaassttiiss jjiikkaa dd >> 00 jjiikkaa hhaarrggaa
bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr
pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa
ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh
ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg lleebbiihh bbeessaarr
ddaarriippaaddaa ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa
IInneellaassttiiss jjiikkaa dd
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
TTeennttuukkaann eellaassttiissiittaass
ppeerrmmiinnttaaaannnnyyaa ppaaddaa
ttiinnggkkaatt hhaarrggaa PP == 55..
JJaawwaabb :: dd == dPdQd
.. dQ
P == (( -- 66 PP )) 2325 P
P
== -- 66 ((55)) 2)5(325)5(
== 33
dd == 33 (( eellaassttiiss )) aarrttiinnyyaa ppaaddaa
kkeedduudduukkaann hhaarrggaa PP == 55,, jjiikkaa hhaarrggaa
bbaarraanngg nnaaiikk
sseebbeessaarr 11 %%,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaannnnyyaa
aakkaann
ttuurruunn sseebbaannyyaakk 33 %% ..
1.2 Elastisitas Penawaran
adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan,
jika ada perubahan harga
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
RRuummuuss EEllaassttiissiittaass PPeennaawwaarraann
ss == dP
dQs ..
sQP
KKeett :: QQss ffuunnggssii ppeennaawwaarraann ,, PP HHaarrggaa
PPeennaawwaarraann ssuuaattuu bbaarraanngg ddiikkaattaakkaann
bbeerrssiiffaatt::
CCoonnttoohh :: FFuunnggssii ppeennaawwaarraann ssuuaattuu
bbaarraanngg
ddiippeerrlliihhaattkkaann QQ == -- 220000 ++ 77 PP 22
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10
JJaawwaabb :: ss == dPdQs ..
sQP
== (( 1144 PP )) 27200 PP+
PPaaddaa PP == 1100 ss == ((1144))((1100)) 2)10)(7(200)10(
+ ==
22,,88 (( eellaassttiiss ))
ss == 22,,88 aarrttiinnyyaa ppaaddaa kkeedduudduukkaann
hhaarrggaa PP
== 1100,, jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg nnaaiikk 11 %% ,,
mmaakkaa
jjuummllaahh bbaarraanngg yyaanngg ddiittaawwaarrkkaann jjuuggaa
aakkaann
nnaaiikk sseebbaannyyaakk 22,,88 %%..
1.3 Elastisitas Produksi Elastisitas Produksi adalah besarnya
perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan
jumlah input.
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
RRuummuuss EEllaassttiissiittaass PPrroodduukkssii
pp == dxdP
.. Px
KKeett :: PPjjuummllaahh pprroodduukk yyaanngg
ddiihhaassiillkkaann ((oouuttppuutt))
xxjjuummllaahh ffaakkttoorr pprroodduukkssii yyaanngg
ddiigguunnaakkaann ((iinnppuutt))
CCoonnttoohh :: FFuunnggssii pprroodduukkssii ssuuaattuu
bbaarraanngg
ddiittuunnjjuukkkkaann PP == 66 XX22 XX33 HHiittuunngg
eellaassttiissiittaass
pprroodduukkssiinnyyaa,, ppaaddaa ttiinnggkkaatt
ppeenngggguunnaaaann
ffaakkttoorr pprroodduukkssii ((iinnppuutt)) sseebbeessaarr XX
== 33
JJaawwaabb :: pp == dxdP
.. Px
==
(( 1122 XX 33 XX22 )) 326 XXX
PPaaddaa XX == 33 pp ==
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
(( 1122 .. 33 33 .. 33 22 )) 32 )3()3(63 == 11
pp == 11 ((uunniitteerr)) aarrttiinnyyaa ppaaddaa ttiinnggkkaatt
ppeenngggguunnaaaann iinnppuutt XX == 33 ,, jjiikkaa iinnppuutt
ddiittaammbbaahh 11 %%,, mmaakkaa jjuummllaahh
pprroodduukkssii
((oouuttppuutt)) jjuuggaa aakkaann bbeerrttaammbbaahh 11
%%..
B. Biaya Marjinal dan Penerimaan
Marjinal 1. Biaya Marjinal
BBiiaayyaa MMaarrjjiinnaall (( MMCC )) aaddaallaahh
bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa yyaanngg hhaarruuss
ddiittaammbbaahhkkaann ,, jjiikkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii
ddiittaammbbaahh 11 uunniitt..
RRuummuuss bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall MMCC == TTCCII ==
dQdC
ddaann
MMCC mmiinniimmuumm jjiikkaa MMCCII == 00
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
CCoonnttoohh :: BBiiaayyaa ttoottaall ((TTCC)) == ff ((QQ)) ==
QQ 33 33 QQ 22 ++ 44 QQ ++ 44
BBiiaayyaa MMaarrjjiinnaall ((MMCC)) == TTCC == 33 QQ 22 66 QQ
++ 44 PPaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii// ppeennjjuuaallaann
bbeerraappaakkaahh bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm ??
BBeerraappaa bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall
mmiinniimmuumm tteerrsseebbuutt ??
JJaawwaabb == MMCC mmiinniimmuumm ppaaddaa MMCC == 00
MMCC == 66 QQ 66 == 00 66 QQ == 66 QQ == 11 MMCC
mmiinniimmuumm
MMCC mmiinniimmuumm == 33 QQ 22 66 QQ ++ 44 == 33 (( 11 )) 22 66
(( 11 )) ++ 44 == 66
JJaaddii bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall
mmiinniimmuumm sseebbeessaarr RRPP.. 66 ppaaddaa ttiinnggkkaatt
pprroodduukkssii 11 uunniitt..
2. Penerimaan Marjinal PPeenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall
aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa ttaammbbaahhaann
ppeenneerriimmaaaann,, jjiikkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii
aattaauu bbaarraanngg yyaanngg tteerrjjuuaall bbeerrttaammbbaahh 11
uunniitt
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
RRuummuuss ppeenneerriimmaaaann mmaarrjjiinnaall MMRR == TTRR II
==
dQdR
ddaann TTRR mmaakkss.. JJiikkaa MMRR == 00
CCoonnttoohh :: ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu
bbaarraanngg PP == 1166 22 QQ
BBeerraappaakkaahh bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann
mmaakkssiimmuumm ??
JJaawwaabb ::
FFuunnggssii PPeenneerriimmaaaann TToottaall ((TTRR)) == PP..QQ
==
((1166 22 QQ)) ((QQ)) == 1166 QQ 22 QQ 22
PPeenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall ((MMRR)) == TTRR == 1166
44 QQ
TTRR aakkaann mmaakkssiimmuumm jjiikkaa MMRR == 00 1166 44 QQ ==
00
44 QQ == 1166QQ == 44
TTRR MMaakkss.. == 1166 QQ 22 QQ 22 == 1166 ((44)) 22 ((44)) 22
== 3322
JJaaddii bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann ttoottaall
mmaakkssiimmuumm sseebbeessaarr RRpp.. 3322,,0000
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
C. Utilitas Marjinal Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan
yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Fungsi
utilitas total dinyatakan dengan U=
f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang
yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :
MU = U = dU / dQ Kurva utilitas marginal (MU) selalu
mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada
pada posisi puncaknya.
Contoh : U = f(Q) = 90Q 5Q2 MU = U = 90 10Q U maksimum pada MU =
0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) 5(9)2 = 810
405 = 405
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Produk Marjinal Produk marginal (MP) ialah produk
tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor
produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk
marjinal
merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika
fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan
jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, Maka produk
marginal :
MP = P = dp/ dx Contoh:
Produksi total P = f(x) = 9x2 x3 produk marjinalnya adalah MP =
P = 18x 3x2 Sehingga Pmaksimum pada P = 0 yaitu pada x = 6 dengan
Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P =
(MP) = 0 yaitu pada x = 3
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan
keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat
diselidiki dengan pendekatan diferensial.
FFuunnggssii kkeeuunnttuunnggaann (( )) == TTRR TTCC aakkaann
ooppttiimmuumm jjiikkaa II == 00 > 00 mmiinniimmuumm ==
kkeerruuggiiaann mmaakkssiimmuumm
CCoonnttoohh ::
jjiikkaa ffuunnggssii ppeenneerriimmaaaann TTRR == -- 22 QQ 22
++ 11000000 QQ
DDaann ffuunnggssii bbiiaayyaa ttoottaall TTCC == QQ 33 5599 QQ
22 ++ 11331155 QQ ++ 22..000000
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
BBeerraappaakkaahh ttiinnggkkaatt kkeeuunnttuunnggaann
mmaakkssiimmuumm ??
JJaawwaabb :: == TTRR TTCC ==((-- 22 QQ 22 ++ 11000000 QQ)) ((QQ
33 5599 QQ 22 ++ 11331155 QQ ++ 22..000000)) == -- QQ 33 ++ 5577 QQ
22 -- 331155 QQ 22..000000
AAggaarr kkeeuunnttuunnggaann mmaakkss.. == 00 == -- 33 QQ 22 ++
111144 QQ 331155 == 00 -- QQ 22 ++ 3388 QQ 110055 == 00
(( -- QQ ++ 33 )) (( QQ 3355 )) == 00 QQ 11 == 33 ddaann QQ 22
== 3355
== -- 66 QQ ++ 111144 ppaaddaa QQ == 33 == -- 66 QQ ++ 111144 ==
-- 66 (( 33 )) ++ 111144 == 9966 >> 00
bbeerraarrttii ppaaddaa QQ == 33 ,, mmaakkaa kkeerruuggiiaann
aakkaann
mmaakkssiimmuumm..
ppaaddaa QQ == 3355 == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 3355 )) ++
111144 == -- 9966
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
bbeerraarrttii ppaaddaa QQ == 3355 ,, mmaakkaa
kkeeuunnttuunnggaann
aakkaann mmaakkssiimmuumm
== -- QQ 33 ++ 5577 QQ 22 -- 331155 QQ 22..000000 == ((-- 3355))
33 ++
5577 ((3355)) 22 331155 ((3355)) 22..000000
== 1133..992255
jjaaddii kkeeuunnttuunnggaann mmaakkssiimmuumm sseebbeessaarr
RRpp..
1133..992255,,0000 ppaaddaa jjuummllaahh ppeennjjuuaallaann
sseebbaannyyaakk
3355 uunniitt..
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk Diferensiasi fungsi majemuk
diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu
macam variabel bebas. A. Diferensial Parsial
Diferensial Parsial diferensiasi secara bagian demi bagian
Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka
turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki
n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan.
Contoh : ),( zxfy =
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Diferensiasi Total: Contoh:
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan
lagi
=
=
zyzxfbxyzxfa
yx
x
),()
),()?'...
dzzydx
xydy
+
=
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
C. Nilai Ekstrim
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
D. Optimasi Bersyarat Apabila fungsi ingin dioptimumkan tetapi
terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat
diselsaikan dengan metode :
4.1 Pengganda Lagrange
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Contoh:
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
4.2 Kondisi Kuhn-Tucker
-
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2
Referensi :
http://rosihan.web.id
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10