Integrales ImpropiasExisten casos y definiciones diferentes según sea el valor que a o b.
Si a = - Si b = + Si a = - , b = +
Definición 1:
Si es continua x a, entonces
Si el limite existe, observe la figura
Si es continua x b, entonces
Si el limite existe, observe la figura
Definición 2:
Si es continua x , y c entonces
Si los limistes existen, este caso se aplica por ser funciones continuas, generalmente se le coloca a la variable c = 0
Definición 3:
Si es continua en todo numero de [a,b], excepto en c y a <c< b, y si además
Entonces
NOTA
Si los limites de las definiciones anteriores existen, esto quiere decir que dichos limites serán convergentes, en el caso de que no existan los limites se dirá que la integral es divergente.
Ejemplos
Ejemplo
2.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La operación de linealidad de la derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión tomemos por ejemplo las siguientes:
IntroduccionEntonces estamos interesados en
una integral impropia que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s, al cual se le llamara la Transformada de Laplace, es decir, que la transformada de Laplace es una operación que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s.
Definición:Sea F: [0,> , una función
definida para t 0, entonces a la función f definida por:
F(s) =
Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el limite exista.
Simbólicamente a la Transformada de Laplace de F se denota por L{F(t)}, es decir.
Ejemplo:Calcular L{F(t)}, donde F(t)=tL{F(t)
=
=
=
PROPIEDADESPropiedad de Linealidad
Sean F,G: [0,> , funciones continuas por tramos y orden exponencial entonces
L{aF(t)+bG(t)} = aL{F(t)} + bL{ G(t)}
PROPIEDADES Primera Propiedad de
TraslaciónSi F: : [0,> ,es una función
continua por tramos y de orden exponencial y si
L{F(t)} = f(s) entonces para a 0 se tiene que L{} = f(s-a) , s>a
Tabla de Funciones Elementales
DemostracionEXPLICACION EN LAS IMÁGENES
POR COMODIDAD DE EXPOSICION
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRALES
Teorema .- Consideremos una función F: : [0,> , continua por tramos y de orden exponencial, entonces
Si L{F(t)} = f(s) L{}=
=
EJERCICIOSEXPLICACION EN LA IMÁGENES
POR COMODIDAD.
