VEŽBE Elektrostatika
Još jedna superpozicija
Primer tri različito naelektrisana tela
Odredite smer sile na naelektrisanje q:
Odredite smer sile na naelektrisanje q:
Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva tačkasta naelektrisanja Q1 Q2 .
Odredite odnose tih naelektrisanja
Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva tačkasta naelektrisanja Q1 Q2 .
Odredite odnose tih naelektrisanja
Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva točkasta naelektrisanja Q1 Q2 .
Odredite predznake tih naelektrisanja
Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva točkasta naelektrisanja Q1 Q2 .
Odredite predznake tih naelektrisanja
+ -
Negativno naelektrisano tačkasto naelektrisanje -q nalazi se u blizini pozitivog naelektrisanja +Q i negativnog naelektisanja –4Q. Njihov prostorni raspored dat je na slici. Sila koja deluje na -q ima smjer:
Negativno naelektrisano tačkasto naelektrisanje -q nalazi se u blizini pozitivog naelektrisanja +Q i negativnog naelektisanja –4Q. Njihov prostorni raspored dat je na slici. Sila koja deluje na -q ima smjer:
Ako znamo da vektor električnog polja u tački A ima prikazani smer, odredite predznake naelektrisanja:
Ako znamo da vektor električnog polja u tački A ima prikazani smer, odredite predznake naelektrisanja:
E
1E
2E
Naelektrisana ravan i tačkasto naelektrisanje u tački T svaki za sebe stvaraju električno polje jednakog intenziteta. Odredite smjer rezultantnog vektora jačine električnog polja u tački T.
Naelektrisana ravan i tačkasto naelektrisanje u tački T svaki za sebe stvaraju električno polje jednakog intenziteta. Odredite smjer rezultantnog vektora jačine električnog polja u tački T.
Šta smo do sada pominjali, naučili...Elektrostatsko polje je poseban slučaj stacionarnog
eletromagnetnog polja, ona koja se ne menjaju u funkciji vremena.
U sistemu tačkastih naelektrisanja ukupna jačina električnog polja dobija se vektorskim sabiranjem polja pojedinih naelektrisanja:
021 10
1
4
n n
ii i
i i i
QE E r
r
Ukoliko se traži numerički rezultat onda je često najprikladniji način:• odrediti pripadne komponente (x, y, z) pojedinih vektora,• sabrati komponente i• odrediti ukupnu jačinu električnog polja.
Raspodele naelektrisanja u prostoru
1.Skup diskretnih tačkastih naelektrisanja Q, q2.Linijska (=const)3.Površinska 4.Prostorna
Pri analizi raspoređenog naelektrisanja pristupa se u principu jednako kao kod polja dva jednaka tačkasta naelektrisanja.Ukupno polje u nekoj tački prostora jednako je zbiru doprinosa svih pojedinačnih naelektrisanja. Taj princip superpozicije možemo koristiti zbog toga, što su osobine prostora konstantna i ne zavise od jačine ili smera polja.Prostor je dakle homogen.
Gaussov zakon
Najelegantnija definicija Gausovog zakona bi bila: Električni fluks kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je ukupnom naelektrisanju koje je obuhvaćeno tom površinom, podeljenog dielektričnom konstantom .
Integral se zove fluks vektora jačine električnog polja kroz površinu S, označava se E, a proporcionalan je broju linija električnog polja koje prodiru kroz tu površinu:
Konvencija: Fluks je pozitivan ako linije električnog polja izlaze iz površine S, a negativan ako utiču (ulaze) u nju.
Gausov zakon je naročito važan za određivanje električnog polja generisanih raspodelama naelektrisanja koje imaju neku simetriju.
0
ii
E
S
Q
E dS
2q , ,E E E
SS S
Cd D d S C D
m
Uopšteni Gaussov zakon: važi i za dielektrične sredine i vakum:
Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
1.1.1.1. KULONOV ZAKOKULONOV ZAKOKULONOV ZAKOKULONOV ZAKO
U ovoj vežbi:
Tačkasta naelektrisanja
Definicija kulonovog zakona
Matematički oblik kulonovog zakona
Konstanta srazmernosti
Dielektrična konstanta
Elektrostatičke sile
Teorijska OsnovaTeorijska OsnovaTeorijska OsnovaTeorijska Osnova
Kulonov zakon je zakon koji govori o elektrostati
Tačkasto naelektrisanje je naelektrisanje koje ima odre
nema dimenzije. U praksi se za tačkasta naelektrisanja smatraju pozitivno i negativno naelektrisane
čestice i sva naelektrisana tela čije su dimenzije zanemarljive u odnosu na rastojanje izme
U izrazu za Kulonov zakon konstanta srazmernosti je
a ε0 je dielektrična konstanta vakuuma i vazduha i iznosi
0
44
1
⋅
==
ππ
εk
Sila je vektorska veličina što zna
sile je određen brojnim vrednostima
definisan je jediničnim vektorom 012rr
algebarskim intenzitetom sile.
Jedinični vektor 012rr
je vektor, koji
- intenzitet 1,
- pravac linije koja spaja naelektrisanja
• Kulonov zakon glasina naelektrisanje Qtačkasta naelektrisanja,između njih.
2
12
1
0
124
1
r
QQFr ⋅
=πε
nik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
vežba broj 1
KULONOV ZAKOKULONOV ZAKOKULONOV ZAKOKULONOV ZAKONNNN
Definicija kulonovog zakona
ki oblik kulonovog zakona
Kulonov zakon je zakon koji govori o elektrostatičkim silama između tačkastih naelektrisanja.
je naelektrisanje koje ima određenu količinu električnog optere
čkasta naelektrisanja smatraju pozitivno i negativno naelektrisane
ije su dimenzije zanemarljive u odnosu na rastojanje izme
U izrazu za Kulonov zakon konstanta srazmernosti je
2
29
0 C
Nm109
4
1⋅==
πεk ,
na konstanta vakuuma i vazduha i iznosi
2
212
2
29
2
29 Nm
C1085,8
Nm
C
36
10
C
Nm109
1 −−
⋅==
⋅⋅π
.
ina što znači da je određena intenzitetom, pravcem i smerom. Intenzitet
en brojnim vrednostima, a osnovna jedinica je Njutn [N]. Pravac Kulonove sile
012. Smer Kulonove sile definisan je jediničnim vektorom
, koji po Kulonovom zakonu ima:
naelektrisanja Q1 i Q2,
glasi: Intenzitet sile kojom naelektrisanje Q1 delujeQ2 direktno je srazmeran proizvodu ta dva
naelektrisanja, a obrnuto srazmeran kvadratu rastojanja
0122 r
Q r⋅
kastih naelektrisanja.
inu električnog opterećenja i
kasta naelektrisanja smatraju pozitivno i negativno naelektrisane
ije su dimenzije zanemarljive u odnosu na rastojanje između njih.
ena intenzitetom, pravcem i smerom. Intenzitet
ac Kulonove sile
čnim vektorom 012rr
i
Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
2
- smer od naelektrisanja Q1 ka naelektrisanju Q2.
Jedinica za količinu naelektrisanja je Kulon [C].
Ako je Q1> 0 i Q2< 0 onda je sila 21F
r privlačna. Znači, Q2 deluje na Q1 i privlači ga ka sebi.
Ako je Q1> 0 i Q2> 0 onda je sila 21Fr
odbojna. Znači, Q2 deluje na Q1 i gura ga od sebe
(napadna tačka sile je u Q1).
Ako je Q1> 0 i Q2< 0 onda je sila 12Fr
privlačna. Znači, Q1 deluje na Q2 i privlači ga ka sebi.
Jedinični vektor 012021 rrrr
−= , što znači da mu je intenzitet jednak 1, pravac je isti kao pravac
jediničnog vektora 012rr
, a smer je od Q2 ka Q1 (suprotan od smera 012rr
). Zato je i sila 21Fr
kojom Q2 deluje na Q1 suprotnog smera od sile 12Fr
:
0212
12
21
0
214
1r
r
QQF
rr⋅
⋅=
πε.
Ako je Q1> 0 i Q2> 0 onda je sila 12Fr
odbojna. Znači, Q1 deluje na Q2 i gura ga od sebe
(napadna tačka sile je u tački u kojoj se nalazi Q2).
Primer 1
Primer 2
Primer 3
Primer 4
Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
3
Zadatak Zadatak Zadatak Zadatak VVVVežbeežbeežbeežbe
Na osnovu urađenog primera reši preostale navedene zadatke.
1.1 Dva tačkasta tela naelektrisanja Q1 i Q2 nalaze se u vazduhu na rastojanju r12 = 0.2 m.
Odrediti vektor Kulonove sile kojim telo naelektrisanja Q1 deluje na telo naelektrisanja Q2, ako je:
a) Q1 = 4·10-11
C i Q2 = 6·10-11
C;
b) Q1 = -4·10-11
C i Q2 = -6·10-11
C;
c) Q1 = 4·10-11
C i Q2 = -6·10-11
C.
Rešenje:
Između dva tačkasta naelektrisanja Q1 i
Q2, koja se nalaze na rastojanju r12, deluje
Kulonova sila. Naelektrisanje Q1 deluje na
naelektrisanje Q2 silom:
0122
12
2112 r
r
QQkF
rr⋅
⋅=
koja zavisi od naelektrisanja Q1 i Q2 i
rastojanja između njih. Pravac sile određen je
jediničnim vektorom 012rr
. Smer sile određen je jediničnim vektorom 012rr
i algebarskim
intenzitetom sile (znacima naelektrisanja).
a) Zamenom brojnih vrednosti u izrazu za Kulonovu silu dobijamo:
( )=
⋅⋅⋅⋅=⋅
⋅=
−−
0122
1111
2
29
0122
12
2112
20
106104109 r
m,
CC
C
Nmr
r
QQkF
rrr
012
11
012
211119
012
11119
N1054N104
649N
04,0
10649rrrrrr
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
=−+−−
−−
Iz rezultata vidimo da je algebarski intenzitet sile jednak N1054 1112
−⋅=F i pošto je pozitivan to
znači da se pravac i smer Kulonove sile poklapaju sa pravcem i smerom jediničnog vektora 012rr
.
Jedinični vektor 012rr
je usmeren od naelektrisanja Q1 (telo koje deluje) ka naelektrisanju Q2 (telo na
koje se deluje), tako da je Kulonova sila odbojna. To je očekivani rezultat pošto su Q1 i Q2
naelektrisanja istog znaka. Na slici 1.1 prikazan je pravi smer Kulonove sile 12Fr
.
Silu kojom telo naelektrisanja Q2 deluje na telo naelektrisanja Q1 računamo primenom
Kulonovog zakona:
( )021
110212
1111
2
29
021212
2121 N1054
m2,0
C104C106
C
Nm109 rrr
r
QQkF
rrrr
⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅
=−
−−
.
Naravno algebarski intenzitet i ove sile je pozitivan, a jednak je algebarskom intenzitetu sile 12Fr
S obzirom da je algebarski intenzitet pozitivan smer sile 21Fr
se poklapa sa smerom jediničnog
vektora 021rr
, koji je usmeren od naelektrisanja Q2 ka naelektrisanju Q1. Dakle, sile 12Fr
i 21Fr
su
istog intenziteta a suprotnog smera (Slika 1.1).
b) Kao i u zadatku pod a), zamenom brojnih vrednosti u izrazu za Kulonovu silu dobijamo:
( )=
⋅−⋅⋅−⋅=⋅
⋅=
−−
0122
1111
2
29
012212
2112
m2,0
C)106(C)104(
C
Nm109 rr
r
QQkF
rrr
12
012
12
1
2
21
>0
>0021
Slika 1.1
Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
4
01211
012
11119
N1054N04,0
10649rrrr
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
=−
−−
I u ovom slučaju je algebarski intenzitet sile pozitivan a sila je odbojna, i prikazana je na slici
1.1.
c) Zamenom brojnih vrednosti u izrazu za Kulonov zakon dobijamo:
( )=
⋅−⋅⋅⋅=⋅
⋅=
−−
0122
1111
2
29
012212
2112
m2,0
C)106(C104
C
Nm109 rr
r
QQkF
rrr
01211
012
11119
N1054N04,0
10649rrrr
⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅
−=−
−−
U ovom slučaju je algebarski intenzitet sile jednak N1054 1112
−⋅−=F i pošto je negativan to
znači da je smer Kulonove sile suprotan od smera jediničnog vektora 012rr
. Kao što smo već
pomenuli, jedinični vektor je usmeren od naelektrisanja Q1 ka naelektrisanju Q2 i Kulonova sila je
privlačna. I ovo je očekivani rezultat, pošto su Q1 i Q2 naelektrisanja suprotnog znaka.
Na slici 1.2 nacrtan je pravi smer
sila 12Fr
i 21Fr
. Sila 21Fr
je istog
intenziteta i pravca, a suprotnog smera
od sile 12Fr
.
Slika 1.2.
Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
5
1.2 Dve kuglice poluprečnika a = 2 mm naelektrisane su istim količinama naelektrisanja Q.
Intenzitet sile koja deluje između njih je 9·10-7
N. Kuglice su na rastojaju r = 2 dm. Odrediti
količinu naelekrisanja Q kojom su naelektrisane kuglice.
Rešenje:
Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike
7
1.3 Tri tačkasta naelektrisanja, Q1 = 1 pC, Q2 = 2 pC i Q3 = 3 pC, nalaze se u vazduhu na istom
pravcu, pri čemu se naelektrisanje Q2 nalazi između naelektrisanja Q1 i Q3 . Rastojanje između
naelektrisanja Q1 i Q2 je r12 = 2 cm, a rastojanje između naelektrisanja Q2 i Q3 je r13 = 3 cm.
a) Odrediti elektrostatičku silu (njen pravac, smer i intenzitet) koja deluje na naelektrisanje Q2.
b) Odrediti elektrostatičku silu (njen pravac, smer i intenzitet) koja deluje na naelektrisanje Q3.
Rešenje: