„EU peníze středním školám“

„EU peníze středním školám“

Kombinatorika – slovní úlohy

Mgr. Marcela Sandnerová

1. Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, jestliže jsou:a) pěticiferná.Žádná z číslic se v zápise čísla neopakuje.

1. Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, jestliže jsou:a) pěticiferná.Žádná z číslic se v zápise čísla neopakuje.

Řešení:

a) p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 ∙ n5 = 6∙6∙5∙4∙3 = 2 160

Z daných číslic lze sestavit 2 160 pěticiferných přirozených čísel tak, že se

žádná číslice v zápise čísla neopakuje.

1. Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, jestliže jsou:b) menší než 600.Žádná z číslic se v zápise čísla neopakuje.

1. Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, jestliže jsou:b) menší než 600.Žádná z číslic se v zápise čísla neopakuje.

Řešení:b) p = p1 + p2 + p3 = 6+36+90 = 132

p1 = n1 = 6

p2 = n1 ∙ n2 = 6∙6 = 36

p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 3∙6∙5 = 90

Z daných číslic lze sestavit 132 přirozených čísel menších než 600.

2. Ve třídě je 23 žáků, z nichž je 15 děvčat.

Kolika způsoby lze sestavit ze žáků třídy

šestičlenné družstvo, jestliže v něm mají být: a) dva chlapci?

2. Ve třídě je 23 žáků, z nichž je 15 děvčat.

Kolika způsoby lze sestavit ze žáků třídy

šestičlenné družstvo, jestliže v něm mají být: a) dva chlapci?

Řešení: vybíráme 4 děvčata z 15 K(4,15) = n1= 1 365vybíráme 2 chlapce z 8 K(2,8) = n2 = 28p = n1 ∙ n2 = 1 365 ∙ 28 = 38 220

Šestičlenné družstvo, ve kterém jsou dva chlapci, lze sestavit 38 220 způsoby.

2. Ve třídě je 23 žáků, z nichž je 15 děvčat.

Kolika způsoby lze sestavit ze žáků třídy

šestičlenné družstvo, jestliže v něm mají být: b) nejvýše dva chlapci?

2. Ve třídě je 23 žáků, z nichž je 15 děvčat.

Kolika způsoby lze sestavit ze žáků třídy

šestičlenné družstvo, jestliže v něm mají být: b) nejvýše dva chlapci?

Řešení: p = p1 + p2 + p3

p1 šest děvčat, žádný chlapec p1 = n1 ∙ n2

p2 pět děvčat, jeden chlapec p2 = n1 ∙ n2

p3 čtyři děvčata, dva chlapci p3 = n1 ∙ n2

2. b) Řešení: p = p1 + p2 + p3 = 5 005 + 24 024 + 38 220 = 67 249

p1 šest děvčat, žádný chlapec p1 = n1 ∙ n2 = K (6,15) ∙ K (0,8) = 5 005 ∙ 1 = 5 005

p2 pět děvčat, jeden chlapec p2 = n1 ∙ n2 = K (5,15) ∙ K (1,8) = 3 003 ∙ 8 = 24 024

p3 čtyři děvčata, dva chlapci p3 = n1 ∙ n2 = K (4,15) ∙ K (2,8) = 1 365 ∙ 28 = 38 220

Družstvo lze sestavit 67 249 způsoby.

3. Petra je na obědě v restauraci a chce si

objednat polévku, hlavní chod, přílohu

a zeleninový salát. Kolika způsoby si může

Petra oběd vybrat, jestliže nabídka obsahuje

2 druhy polévek, 14 hlavních chodů, 6 typů

příloh a 5 druhů zeleninových salátů?

3. Petra je na obědě v restauraci a chce si

objednat polévku, hlavní chod, přílohu

a zeleninový salát. Kolika způsoby si může

Petra oběd vybrat, jestliže nabídka obsahuje

2 druhy polévek, 14 hlavních chodů, 6 typů

příloh a 5 druhů zeleninových salátů?

Řešení:

p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 2∙14∙6∙5 = 840

Petra si může objednat oběd 840 způsoby.

4. Je dána množina Určete počet všech: a) variací třetí třídy bez opakování sestavených

z prvků množiny A, b) kombinací třetí třídy bez opakování

sestavených z prvků množiny A, c) permutací bez opakování sestavených

z prvků množiny A.

.,,,, edcba

4. Je dána množina Určete počet všech: a) variací třetí třídy bez opakování sestavených

z prvků množiny A, b) kombinací třetí třídy bez opakování

sestavených z prvků množiny A, c) permutací bez opakování sestavených

z prvků množiny A.

Řešení:a) V (3, 5) = 5∙4∙3 = 60

b) K (3, 5) = 10

c) P (5) = 5! = 120

.,,,, edcba

5. Přístupové kódy k bezpečnostním schránkám

jsou sedmimístné, přičemž na počátku jsou

tři různá velká písmena, která jsou vybírána

z dvaceti možností, a dále čtyři různé číslice.

Určete počet možností sestavení uvedených

přístupových kódů.

5. Přístupové kódy k bezpečnostním schránkám

jsou sedmimístné, přičemž na počátku jsou

tři různá velká písmena, která jsou vybírána

z dvaceti možností, a dále čtyři různé číslice.

Určete počet možností sestavení uvedených

přístupových kódů.

Řešení:

p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 ∙ n5 ∙ n6 ∙ n7 =

= 20∙19∙18∙10∙9∙8∙7 = 34 473 600

Existuje 34 473 600 možností sestavení přístupových kódů.

6. Vedení tvoří 4 ženy a 6 mužů. Kolika způsoby

si mohou zvolit výbor, ve kterém má být

předseda, místopředseda a hospodář. Jestliže:

a) má být předseda muž a místopředsedkyně

žena,

b) nejsou žádné podmínky.

6. Vedení tvoří 4 ženy a 6 mužů. Kolika způsoby

si mohou zvolit výbor, ve kterém má být

předseda, místopředseda a hospodář. Jestliže:

a) má být předseda muž a místopředsedkyně

žena.

Řešení:

a) p = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 6∙4∙8 = 192 n1 předseda muž n2 místopředsedkyně žena n3 hospodář

Za daných podmínek lze výbor sestavit 192 způsoby.

6. Vedení tvoří 4 ženy a 6 mužů. Kolika způsoby si

mohou zvolit výbor, ve kterém má být předseda,

místopředseda a hospodář. Jestliže:

b) nejsou žádné podmínky.

Řešení: b) p = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 10∙9∙8 = 720 nebo V (3, 10) = 10∙9∙8 = 720

Výbor lze sestavit 720 způsoby.

7. Kolika způsoby lze sestavit zasedací pořádek u slavnostní tabule pro devět osob, jestliže:a) dva hosté chtějí sedět vedle sebe,b) nejsou žádné podmínky.

7. Kolika způsoby lze sestavit zasedací pořádek u slavnostní tabule pro devět osob, jestliže:a) dva hosté chtějí sedět vedle sebe.

Řešení:

a) 2∙ P (8) = 2∙ 8! = 80 640

Pokud chtějí dva hosté sedět vedle sebe, lze zasedací pořádek sestavit 80 640 způsoby.

7. Kolika způsoby lze sestavit zasedací pořádek u slavnostní tabule pro devět osob, jestliže:b) nejsou žádné podmínky.

Řešení:

b) P (9) = 9! = 362 880

Zasedací pořádek sestavit 362 880 způsoby.

Zdroje:

Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autorky.