LIMIT dan KEKONTINUAN
Teorema-teorema LimitTeorema-teorema LimitTeorema ATeorema A
Contoh :Contoh :
Penyelesaian :Penyelesaian :
Bentuk tak tentu dari limit fungsi Kita bahas setelah kekontinuan
Limit Tak Berhingga Situasi yang mungkin
x=ax=a
)(lim)(lim xfxfaxax
Dari gambar tersebut garis x=a disebut asimtot tegak (Vertikal) fungsi f(x)
Definisi Asimtot Tegak (Vertikal)
Asimtot tegak (dari suatu fungsi f(x)) adalah suatu garis x=a yang belaku
lim ( )x a
f x
Limit di Ketakhinggaan Situasi yang mungkin
L ......a
lim .......
tidak ada .....cx
b
L
Gambar aGaris y=L disebut Asimtot Datar (Horisontal)
Gambar c
Gambar b
Definisi Asimtot Datar (Horisontal)
Asimtot datar (Dari suatu fungsi f(x)) adalah garis y=L, jika berlaku
lim ( )x
f x L
Definisi Asimtot Miring
Asimtot miring adalah garis y=ax+b dari fungsi f(x), jika berlaku
lim ( ( ) ( )) 0x
f x ax b
Suatu fungsi rasional f memiliki:
20 1 2
20 1 2
...( )( )
( ) ...
nnm
m
a a x a x a xP xf x
Q x b b x b x b x
1. Asimtot miring : jika n>m dan n=m+1
2. Asimtot Datar : jika n<=m
3. Asimtot Tegak : dilihat dari pembuat nol penyebut
ContohTentukan Asimtot tegak, datar, dan miring (jika ada).
2
3 2
2
1. ( )1
12. ( )
5 6
3 4 13. ( )
1
xf x
xx
f xx x
x x xf x
x
Penyelesaian
1. Karena n=m, maka terdapat asimtot datar.
1
1lim 1
1 1xx
x x
x x
Jadi,Asimtot datar ( )adalah 1f x y
Asimtot tegak, lihat pembuat Nolpenyebutnya.
-1 0,
Maka 1adalah Asimtot tegaknya
x
x
Penyelesaian
2. Karena n<m, maka terdapat asimtot datar.2
2
1 12
2 2 5 6
1lim 0
15 6
x x
xx x
x x
x x x
Jadi,Asimtot datar ( )adalah 0f x y
2
Asimtot tegak, lihat pembuat Nolpenyebutnya.
5 6 ( 3)( 2) 0,
Maka 2,dan 3 adalah Asimtot tegaknya
x x x x
x x
Penyelesaian3. Karena n>m, dan n=m+1, maka terdapat
asimtot miring.3 2
2
2
2
3 4 1( )
14 3
3 41
4 3lim ( ( ) (3 4)) lim 0
1x x
x x xf x
xx
xx
xf x x
x
Asimtot miring,adalah 3 4
karena penyebutnya tidak pernah 0,
maka tidak ada AsTeg.
y x
Latihan
Tentukan Asimtot-asimtot dari fungsi berikut:
2
2
2
2
11. ( )
( 1)
2. ( )1
2 13. ( )
f xx
xf x
x
x xf x
x
Andaikan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika lim f(x) = lim h(x) = L
xc xc
maka lim g(x) = L. xc
Teorema C (Teorema Apit)Teorema C (Teorema Apit)
Limit TrigonometriUntuk mendapatkan rumus limit fungsi trigonometri, perhatikan gambar berikut
A(1,0)
P(x,y)
B
C
0t
luasOBC LuasOBP LuasOAP
ZOOM
P(x,y)
C
B A
luasOBC LuasOBP LuasOAP
luasOBC LuasOBP LuasOAP
luasOBC LuasOBP LuasOAP
Fakta
2 2
2 2
1( ) . (1)
2 2 21
(cos ) cos .sin (1)2 2 2
sin 1cos
cos
luasOBC LuasOBP LuasOAP
t tx x y
t tt t t
tt
t t
Dengan menngunakan Teorema Apit, maka
0 0 0
0
sin 1limcos lim lim
cos
sin1 lim 1
t t t
t
tt
t t
t
t
0
sinlim 1t
t
t
0 0
tanlimcos 1 lim 1t t
tt
t
Kekontinuan
Contoh :Contoh :
Penyelesaian : lihat gambarPenyelesaian : lihat gambar
Contoh
Apakah fungsi berikut Kontinu?
3,2
3,9
27)(.2
2,1
2,1)(.1
2
3
2
x
xx
xxf
xx
xxxf
Penyelesaian312)2(.1 2 f
31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2(3)(lim2
fxfx
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
Penyelesaian
)3()(6
27
9
27
6
27
9
27
2)3(.2
3
2
3
3
2
3
3
fxfLimx
xLim
x
xLim
f
x
x
x
Karena terdapat syarat yang tidak dipenuhi f(x) diskontinu di x=3
Latihan
Apakah fungsi berikut Kontinu?2
2
2
1. ( ) 4 2 12
4 8, 2
2. ( ) 22 , 2
3. ( ) 3 5
3, 24. ( )
1, 2
f x x x
xx
f x xx
f x x
x xf x
x x
Diskontinue Tak Hingga Contoh
Apakah fungsi berikut Kontinu, jika diskontinu, maka jenis yang mana?
Penyelesaian
2
2
7 10( )
4 3
x xf x
x x
2
2
7 10 ( 5)( 2)( )
( 3)( 1)4 3
fungsi tersebut diskontinu di 3, 1
karena limit dititik tersebut , maka fungsi
tersebut diskontinu tak hingga
x x x xf x
x xx x
x dan x
Diskontinue Loncat berHingga Contoh
Apakah fungsi berikut Kontinu, jika diskontinu, maka jenis yang mana?
Penyelesaian
1, 1( )
1, 1
xf x
x
0
0 00
lim ( ) 1lim ( ) lim ( )
lim ( ) 1x
x xx
f xf x f x
f x
Diskontinue dapat dihapuskan Contoh
Apakah fungsi berikut Kontinu, jika diskontinu, maka jenis yang mana?
Penyelesaian
Fungsi tersebut diskontinu pada x=2
2 4( )
2
xf x
x
2
22
2 2
2
4lim 4
42 lim 424
lim 42
x
x
x
xxxxx
x
Diskontinue dapat dihapuskan Karena limitnya ada, maka jika didefinisikan kembali
sebagai berikut:
2 4, 1
( ) 24 , 1
jadi,fungsi tersebut diskontinu yang dapat dihapuskan
xx
f x xx
latihan
Tentukan titik diskontinu dari fungsi berikut, dan tentukan jenis diskontinunya.
2
2
2
41. ( )
3 51
2. ( )6
1, untuk 1 2
3. ( ) 2, untuk 2 3
3, untuk 3 4
xf x
xx
f xx x
x
f x x
x