3 Limit Dan Kekontinuan

1

1

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

2

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

11)(

2

xxxf

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

2

3

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

211lim

2

1

xx

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

xx

Definisi (limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berartibahwa

Lxfcx

)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

4

853lim1

x

x

Contoh

1.

2. 2)2)(12(lim

2232lim

2

2

2

xxx

xxx

xx512lim

2

x

x

33

39lim

39lim

99

xx

xx

xx

xx 9)3)(9(lim

9

x

xxx

63lim9

x

x3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x

)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0

?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

3

5

Lxfcx

)(lim |)(|||00,0 Lxfcx

Definisi limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga0

c

ºL

||0 cx |)(| Lxf

c c c

ºL

6

)(lim xfcx

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

c x

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada)(lim xfcx

4

7

1,210,0,

)(2

2

xxxxxx

xf

)(lim0xf

x

)(lim1xf

x

Contoh Diketahui

a. Hitung

)(lim2xf

x

d. Gambarkan grafik f(x)Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung Jika ada

1.

8

)(lim0xf

x 0lim 2

0

x

x

)(lim0xf

x 0lim

0

x

x

0)(lim0

xfx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1

)(lim1xf

x 1lim

1

x

x

)(lim1xf

x 32lim 2

1

x

x

11lim)(limxx

xf )(lim1xf

x

)(lim2xf

x62lim 2

2

x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2

5

9

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 122)( xxf

Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada

10

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,1,3

)( 2 xcxxcx

xf

mempunyai limit di x=-1

Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1xf

x ccx

x

33lim

1

)(lim1xf

x ccx

x

1lim 2

1

Agar limit ada 3+1c=1-c

C=-1

6

11

)(lim3xf

x

)(lim1xf

x

)(lim1xf

x

)(lim1xf

x

)(lim1xf

x

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

f(-3)

f(-1)

f(1)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Soal Latihan

12

Soal Latihan

1,2

1,1)(

2

2

xxxxx

xf

)(lim1

xfx x

f x 1lim ( )

xf x

1lim ( )

xxxg 32)(

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

22

)(

xx

xf

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila ada )

a. b. c.

a. b. c.

B.

7

13

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

axax

2.

3.

4. nn

ax

n

axLxfxf

))(lim())((lim ,n bilangan bulat positif

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif

1.

14

222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

11sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

maka

8

15

Limit Fungsi Trigonometri

1sinlim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh

2.2

2tan5

4.4

4sin3limlim

2tan54sin3lim

02tan5

4sin3

00

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

xx

2.

22tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

xxxx

x

x

37

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

02

04

xxxx

x

x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

16

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

tttt

t sec43sinlim

0

Hitung

1.

2.

3.

4.

xx

x 2sintanlim

05.

9

17

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xgxf

ax

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLibawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

18

Contoh Hitung

11lim

2

1

xx

xa.

11lim 2

2

1

xx

x xx

x sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b. 021lim 2

1

x

xakan menuju 0 dari arah atas, karena

x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

11lim 2

2

1 xx

x

10

19

c.

0lim

x

xdan

f(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arahBawah (arah nilai sin x negatif)

xx

x sinlim

sehingga

Karena

20

Limit di Tak Hingga

Lxfx

)(lima. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab

)2()1(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2

11

21

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

4252lim 2

xx

x

4252lim 2

xx

x

Jawab

)2()(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

)2()(

lim2

2

4

52

x

xx

x

= 0

22

Contoh Hitung

xxxx

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxx

3lim 2 )33(3lim

2

22

xxxxxxxxx

x

xxxxxx

x

33lim

2

22

xxxx

x

33lim

2

xxx

xx

xx

)1()1(

lim2

312

3||2 xx

xxx

xx

xx

2

31

3

1)1(

lim

21

)11(1

lim2

31

3

xx

xx

12

23

Soal Latihan

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

xx 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

24

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

(ii)

(iii) )()(lim afxfax

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

13

25

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a)f(a) ada

)(lim xfax

L ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

26

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=2

Ketakkontinuan terhapus

Ketak kontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

º

14

27

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

xxxf

2,3

2,24

)(2

x

xxx

xfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

xfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

-

-

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

28

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

15

29

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

30

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

fxfx

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1-3a = -3

a = 1f kontinu kanan di x=2

)2()(lim2

fxfx

1412)2( 2 aaf

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selaludipenuhi

16

31

1. Diketahui

1,221,1

)(2

xxxx

xf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,3

21,1,1

)(xxxbaxxx

xf

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xxbxax

xf

kontinu di x = 2

32

Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).

17

33

Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan , maka f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau x4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

34

f xx xx

( )

2 33

f xxx

( )

2

348

f xxx

( )| |

22

941)(2

xxxf

24)( xxxf

A.Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.

18

35

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

Teorema Limit Fungsi Komposisi:Jika dan f(x) kontinu di L, maka

Teorema kekontinuan fungsi komposisi:Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsikontinu di a.Bukti

karena f kontinu di g(a)= f(g(a)) karena g kontinu di a= (fog)(a)

Lxgax

)(lim

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax

36

4313cos)( 2

4

xxxxxf

))(()( xhgxf

4313)( 2

4

xxxxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu

Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana makafungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

19

37

Soal Latihan

Dimanakah fungsi berikut kontinu? f(x) = cos(x2 – 2x + 1) f(x) = cos((x2 – 1)/(x+1))