MAKALAH
GEOMETRI ANALITIK RUANG
“PERSAMAAN GARIS LURUS“
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang
Dosen Pengampu :
NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd
Disusun Oleh
Yani Novita Murni 15.05.0.002
Aizyah Alifia Supardi 15.05.0.019
Ani Nofianti 15.05.0.021
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN
BATAM
2017
1
GARIS LURUS
1. Persamaan Garis Lurus
Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.
Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah
garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.
Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari
persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.
Gambar 1
Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan
memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau
dapat ditulis : x = mz + p
y = nz + q
Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidang-
bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya
g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
2
Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan
mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis
g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g
diatas.
Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :
(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0
Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :
(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0
Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :
x = B1C2− B2 C1
A1B2 − A2B1Z +
B1D2− B2D1
A1B2 − A2B1
y = A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1Z +
A2D1 − A1D2
A1B2 − A2B1
Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :
m = |B1 C1
B2 C2|
|A1 B1
A2 B2| p =
|B1 D1
B2 D2|
|A1 B1
A2 B2|
n = |C1 A1
C2 A2|
|A1 B1
A2 B2| q =
|D1 A1
D2 A2|
|A1 B1
A2 B2|
Gambar 2
3
Contoh soal:
Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y +
4z = 28 !
Jawab :
x = B1C2− B2 C1
A1B2 − A2B1Z +
B1D2− B2D1
A1B2 − A2B1
= −4+25
10+4Z +
28−70
10+4
= 21
14𝑧 +
(−42)
14
= 3
2𝑧 − 3
y = A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1Z +
A2D1 − A1D2
A1B2 − A2B1
= −20−8
10+4Z +
56+56
10+4
= −28
14𝑧 +
112
14
= −2𝑧 + 8
2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus
a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik
Pada gambar dibawah ini 𝑙 adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan
vektor posisi 𝑟𝑜 dan sejajar dengan vektor 𝑣 = a𝑖 + b𝑗 + c𝑘. Untuk menentukan
persamaan garis 𝑙, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis 𝑙, maka 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ // 𝑣 dan
𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣 dengan 𝜆 bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O
adalah 𝑟𝑜 = (𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ) dan 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ maka 𝑃𝑜𝑃 = 𝑟 − 𝑟𝑜 dan karena 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣
maka :
𝑟 − 𝑟𝑜 = 𝜆𝑣
𝑟 = 𝑟𝑜 + 𝜆𝑣
4
Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis 𝑙 dan memenuhi
persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut.
Dengan kata lain, persamaan garis 𝑙 yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan
vektor 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah 𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗. Atau,
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 , 𝑦𝑜+𝜆𝑏 , 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐⟩
Maka diperoleh :
Jika kita eliminir parameter 𝜆 , yaitu 𝜆 = 𝑥−𝑥𝑜
𝑎; 𝜆 =
𝑦−𝑦𝑜
𝑏; 𝜆 =
𝑧−𝑧𝑜
𝑐
Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan
vektor arah 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah :
Gambar 3
𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝝀𝒂
𝒚 = 𝒚𝒐 + 𝝀𝒃
𝒛 = 𝒛𝒐 + 𝝀𝒄
𝒙−𝒙𝒐
𝒂 =
𝒚−𝒚𝒐
𝒃=
𝒛−𝒛𝒐
𝒄 dengan syarat a,b,c ≠
0
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)
𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗
5
Contoh soal
Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !
Penyelesaian :
t = p + λa
Pers. vektor garis g:
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨1, 2, 3⟩ + 𝜆⟨−1, 1, 4⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = (1 -𝜆, 2 + 𝜆, 3 + 4𝜆)
Persamaan parameter garis g:
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 = 1 -𝜆
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝜆𝑏 = 2 + 𝜆
𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐 = 3 + 4𝜆
Persamaan simetrik garis g:
𝑥−𝑥𝑜
𝑎 =
𝑦−𝑦𝑜
𝑏=
𝑧−𝑧𝑜
𝑐
𝑥 − 1
−1 =
𝑦 − 2
1=
𝑧 − 3
4
b. Persamaan vektor pada dua titik
Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan
vektor letak 𝑎 dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak 𝑏, kita dapat mengambil sebarang
titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩. Dari
kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :
𝑟 = 𝑎 + 𝜆 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ dengan λ bilangan real
𝑟 = 𝑎 + 𝜆 (𝑏 − 𝑎)
(𝑥𝑦𝑧) = (
𝑥1
𝑦1
𝑧1
) + 𝜆 (
𝑥2 −𝑦2 −𝑧2 −
𝑥1
𝑦1
𝑧1
)
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥1 ,𝑦1 ,𝑧1 ⟩ + 𝜆⟨𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1⟩
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
6
Diperoleh
Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan
simetrik dari garis AB sebagai berikut:
Contoh soal)
Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !
Penyelesaian:
𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 5, 4) − (1, 2, 3)
= (2, 3, 1)
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝜆(2, 3, 1)
Jadi persamaan vektornya adalah
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 1; 3𝜆 + 2; 𝜆 + 3)
Persamaan parameternya adalah
𝑥 = 2𝜆 + 1; 𝑦 = 3𝜆 + 2; 𝑧 = 𝜆 + 3)
Persamaan simetriknya adalah :
𝑥 −1
2 =
𝑦 −2
3=
𝑧−3
1
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆(𝑥2−𝑥1)
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆(𝑦2−𝑦1) .
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆(𝑧2−𝑧1)
𝑥 −𝑥1
𝑥2−𝑥1 =
𝑦 −𝑦1
𝑦2−𝑦1=
𝑧−𝑧1
𝑧2−𝑧1
7
3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata
Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai
perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu
garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus
tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z
+ D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Untuk menentukan vektor arah dari
garis lurus perpotongan dua buah bidang rata,
kita perhatikan gambar disamping. Maka n1=
[A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas bahwa
n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan
vektor arah dari garis g.
Jadi a = n1 x n2
a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
|
a = [|𝐵1 𝐶1
𝐵2 𝐶2| |
𝐶1 𝐴1
𝐶2 𝐴2| |
𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|]
Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk 𝑥−𝑥1
𝑎 =
𝑦−𝑦1
𝑏=
𝑧−𝑧1
𝑐 ,
kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).
8
Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan
bidang berkoordinat, misalnya, XOY z = 0, diperoleh
A1x + B1y + D1 = 0
A2x + B2y + D2 = 0
Yang bila diselesaikan diperoleh:
𝑥 = |−𝐷1 𝐵1
−𝐷2 𝐵2|
|𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|
𝑦 = |𝐴1 −𝐷1
𝐴2 −𝐷2|
|𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|
Contoh Soal
Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !
Jawab :
a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
|
a = [|𝐵1 𝐶1
𝐵2 𝐶2| |
𝐶1 𝐴1
𝐶2 𝐴2| |
𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2|]
a = [|−2 1−1 5
| |1 15 3
| |1 −23 −1
|]
Dimana a = |−2 1−1 5
| = -9 , b = |1 15 3
| = -2 , c = |1 −23 −1
| = 5
atau [a, b, c] = [-9, -2,5]
Ambil z = 0 x = |1 −28 −1
|
|1 −23 −1
| =
15
5 = 3
y = |1 13 8
|
5 = 1
Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan
V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:
[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]
9
4. Kedudukan Dua Garis Lurus
Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit,
berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:
Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1]
Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]
Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :
1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau
𝑎1
𝑎2=
𝑏1
𝑏2=
𝑐1
𝑐2
2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :
a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]
b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]
3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka
g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0]
berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2 sehingga
[x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].
Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau
a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1
b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1
c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1
berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :
|
𝑎1 𝑎2 𝑥2 – 𝑥1
𝑏1 𝑏2 𝑦2 – 𝑦1
𝑐1 𝑐2 𝑧2 – 𝑧1
|= 0
merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan
bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :
|
𝑎1 𝑎2 x – 𝑥1
𝑏1 𝑏2 𝑦– 𝑦1
𝑐1 𝑐2 𝑧 – 𝑧1
|= 0
Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut
bersilang.
10
Contoh Soal
Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = 𝑦+3
−4 =
𝑧+1
7 berpotongan dengan g2 :
𝑥−1
2=
𝑦+1
−3=
𝑍+10
8 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut .
Jawab:
g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]
g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]
|1 2 1 − 4−4 −3 −1 + 37 8 −10 + 1
| = |1 2 −3−4 −3 27 8 −9
|= 0
Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:
λ1 + 2 λ2 = -3
-4 λ1 – 3λ2 = 2
7 λ1 + 8 λ2 = -9
cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong diperoleh
dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1,
-4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan λ =
λ2 = 2 persamaan g2).
bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]
serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ [1,
-4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :
|1 2 𝑥 − 4−4 −3 𝑦 + 37 8 𝑧 + 1
| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0
11
5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan
vektor normal n = [A, B, C] maka :
1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal
bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0
2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor normal
bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ 𝑎
𝐴=
𝑏
𝐵=
𝑐
𝐶
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0
atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada
bidang V.
12
Latihan :
1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !
2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)
dan (4, 5, 6)!
3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang
melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!
4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 =
x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8
5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V
= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1
13
Daftar Pustaka
Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR
ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.
Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas
Terbuka.