Persamaan Garis LurusPersamaan garis lurusadalah suatu garis
lurus yang posisinya ditentukan dengan suatu persamaan. Misalnya
persamaanjika kita gambar padakoordinat Cartesius, maka gambarnya
akan berbentuk garis lurus.Cara menggambarnya adalah:Tentukantitik
potong garis tersebut terhadap sumbu, dengan membuat nilai. Pada
contoh di atas, maka, sehingga, atau.Kemudian, tentukan titik
potong terhadap sumbu, dengan membuat nilai. Pada contoh di atas,
maka, sehingga, atauTerakhir, hubungkan kedua titik tersebut
menjadi sebuahgaris lurus. Maka, garis tersebut merupakan garis
dengan persamaan.Gradien Persamaan Garis LurusGradien adalah besar
kemiringan suatu garis terhadap sumbu.Bentuk umum persamaan garis
lurus adalah, dengan m merupakan gradien, sedangkansuatu
konstanta.Jadi,persamaanyang berbentukmempunyai gradien sebesar
2.Untuk persamaan yang bentuknya, maka gradiennya adalah.Sedangkan
gradien suatu garis yang melalui dua titikdan, gradiennya didapat
dengan menggunakan rumus:
Contoh: Tentukangradien suatu garisyang melalui
titikdan.Jawab:
Hubungan antar gradien pada persamaan garis lurusJika suatu
garis sejajar dengan sumbu, maka gradiennya adalah 0.Jika terdapat
dua garis yangsejajar, maka gradien kedua garis tersebut sama,
atau.Jika terdapat dua garis yang salingtegak lurus, maka hasil
kali kedua gradien tersebut adalah, atauContoh: Garis dengan
persamaantegak lurus dengan suatu garis yang mempunyai gradien.
Tentukanlah nilai.Jawaban:Gradien garis dengan
persamaanadalah.Karena kedua garis tersebut tegak lurus, makaatau,
sehinggaDengan demikian, nilaiSoal latihan:1. Gambarlah suatu garis
dengan persamaanpada koordinat Cartesius, lalu tentukan
gradiennya.2. Tentukan nilaijika suatu garis yang melewati
titikdansejajar dengan garis yang mempunyai persamaan3. Suatu garis
melewati titikdanserta tegak lurus dengan suatu garis dengan
persamaan. Tentukan nilai
1. Definisi GradienGradien suatugaris lurusadalah : Perbandingan
antara komponeny(ordinat) dankomponenx(absis) antara dua titik pada
garis itu.Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf
kecilm.Perhatikan gambar di bawah ini !komponen y dari garis AB =
y2- y1; komponen x dari garis AB = x2- x1,maka :
Catatan : gradien sebuah garis sering disebut kecondongan sebuah
garis atau koefisien arahsebuah garis.1.1. Macam-macam gradiena.
Gradien bernilai positif
Garis l condong ke kanan , makamlbernilai positifb. Gradien
bernilai negatif
Garis k condong ke kiri , makamkbernilai negatifGradien dari
sebuah persamaan garisJika sebuah garis mempunyai persamaanax + by
= c, maka gradien persamaan garis itu ialah :c. Gradien garis
melalui pangkal koordinat
Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) makad. Gradien dua garis
yang sejajar
Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, garis l dan
garis k sejajar, maka ml= mke. Gradien dua garis yang saling tegak
lurus
Dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennyaadalah
-1.Garis l dan garis k saling tegak lurus, maka mlx mk= -1.
1.2. Contoh-Contoh SoalContoh 1 :Tentukanlah gradien garis :1.
melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3)2. melalui pangkal koordinat
dan titik A(-2,-8)Penyelesaian :a. Melalui titik P(2,-5) dan titik
Q(-9,3)P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5Q(-9,3) berarti x2 = -9 , y2
= 3
Jadi gradient melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3) adalahb.
Melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8)A(-2,-8) berarti x = -2
, y1= -8
Jadi gradient melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8)
adalah 4Contoh 2 :Tentukanlah gradient sebuah garis :1. yang
sejajar dengan garis 4x + 2y = 62. yang tegak lurus dengan garis x
- 4y = 10
Penyelesaian :1. Persamaan garis 4x + 2y = 6, maka a = 4, b =
2
Dua garis yang sejajar :m1=m2, makam2= - 22. Persamaan garis x -
4y = 10, maka a = 1, b = -4
Dua garis yang tegak lurus : m1 x m2 = -1 , maka
Persamaan Garis Lurus Melalui 1 Titik2. Garis dengan gradien m
dan melalui 1 titikPerhatikan gambar dibawah ini !
Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat (x1, y1) dan
titik B dengan koordinat bebas, yaitu (x , y), bila gradien garis l
dinyatakan dengan m, maka AB terdiri atas semua titik (x,y) dengan
hubungan berikut ini :
y - y1= m (x - x1)Kesimpulan :Persamaan garis dengan gradien m
dan melalui sebuah titik (x1, y1), adalah :y - y1= m (x - x1)Contoh
1 :Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien
-2.
Penyelesaian :Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 ,y1= 4 dan
bergradien -2, berarti m = -2Persamaan garis dengan gradient m dan
melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :y - y1= m ( x - x1)y - 4 = -2
{x - (-3)}y - 4 = -2 (x + 3 )y - 4 = -2 x - 6y = -2x - 6 + 4y = -2x
- 2Jadi persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2
adalahy = -2x - 2
Contoh 2 :Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan
sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6,
3)Penyelesaian :Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)P(2,-5)
berarti x1= 2 , y1= -5Q(-6,3) berarti x2= -6 , y2= 3Gradien yang
melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah mPQ
Misal mPQ= m1, maka m1= m2= -1 ( dua garis sejajar )Titik B(6,
2), berarti x1 = 6 , y1= 2Persamaan garis dengan gradien -1 dan
melalui titik (6, 2) adalah :y - y1= m ( x - x1)y - 2 = -1 (x - 6)y
- 2 = -x + 6y = -x + 6 + 2y = -x + 8Jadi persamaan garis melalui
titik B(6,2) dan bergradien -1 adalahy = -x + 83. Persamaan garis
yang melalui dua titikGradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan
(x2, y2) yaituseperti pada gambar di bawah ini,Selanjutnya dengan
menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui
sebuah titik (x1, y1), yaitu y - y1= m ( x - x1) dapat diperoleh
rumus berikut :
y - y1= m ( x - x1)y - y1y - y1= y2- y1
Kesimpulan :Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2,
y2) yaitu :
3. Persamaan garis yang melalui dua titikGradien garis yang
melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaituseperti pada gambar di
bawah ini,Selanjutnya dengan menggunakan rumus persamaan garis
dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1, y1), yaitu y - y1=
m ( x - x1) dapat diperoleh rumus berikut :
y - y1= m ( x - x1)y - y1y - y1= y2- y1
Kesimpulan :Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2,
y2) yaitu :
Contoh 1Perhatikan gambar di bawah ini !
Tentukanlah persamaan garisl!Penyelesaian :Garislmelalui titik
A(3,4) dan titik B(5,8).P(3,4) berarti x1= 3 , y1= 4Q(5,8) berarti
x2= 5 , y2= 8Persamaan garislyang melalui titik A(3,4) dan titik
B(5,8) adalah :
2(y - 4) = 4(x - 3)2y - 8 = 4x - 122y - 4x = 8 - 122y - 4x = -4y
- 2x = -2Jadi persamaan garislyang melalui titik A(3,4) dan titik
B(5,8) adalahy - 2x = -2.
1. Gradien- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.- Bentuk
umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)- Sedangkan pada
persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :by = -ax cy = -a/bx
c/bm(gradient) = -a/bcontoh soal : tentukan gradien persamaan garis
2x+4y+5 = 04y = -2-5y = -2/4 x 5/4maka m = -2/4 = -1/2cara cepat =
-a/b = -2/4Macam-macam gradien :a) Gradien bernilai positifBila m
(+) contoh : 6x 2 y 9 = 0m = (6/-2) = 3 (positif)b) Gradien
bernilai negativeBila m (-) Contoh : 6x + 3y 9 = 0m = (6/3) = -2
(negative)c) Gradien garis melalui pangkal koordinatGaris l melalui
pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/xcontoh : Gradient Garis yang
melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :m = y/x = -3/2d) Gradien
garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)sebuah garis lurus dapat
diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal
titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y /
delta x = (y2-y1)/(x2-x1)contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan
(2,-3)m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3Hubungan 2
garis lurus :Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y
= m2 x + d maka berlaku gradien :1) m1 = m2 jika garis k sejajar
garis lcontoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y =
8a = 3 , b = 6m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 ,
maka m2 = -1/22) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurusgaris l
contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8a
= 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 .
m2 = -1 , maka m2 = 22. Persamaan Garis Lurusa) Garis dengan
gradien m dan melalui 1 titikPersamaan garis dengan gradien m dan
melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :y y1 = m (x x1)Contoh 1
:Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien
-2.jawab :Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien
-2, berarti m = -2Persamaan garis dengan gradient m dan melalui
sebuah titik (x1,y1) adalah :y y1 = m ( x x1 )y 4 = -2 {x (-3)}y 4
= -2 (x + 3 )y 4 = -2 x 6y = -2x 6 + 4y = -2x 2Contoh 2
:Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar
dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)jawab :Garis
yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 =
-5Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3Gradien yang melaui titik P(2,-5)
dan Q(-6, 3) adalahm (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) =
(3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar
)Titik B(6, 2), berarti x1 = 6 , y1 = 2Persamaan garis dengan
gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :y y1 = m ( x x1 )y 2 =
-1 (x 6)y 2 = -x + 6y = -x + 6 + 2y = -x + 8b) Persamaan garis yang
melalui dua titikGradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2,
y2) yaitu :dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient
m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),yaitu y y1 = m ( x x1 ) dapat
diperoleh rumus berikut :y y1 = m ( x x1 )y y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)]
(x x1)(y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)Kesimpulan :Persamaan garis
yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y y1)/(y2-y1) =
(x-x1)/(x2-x1)contoh :Tentukan persamaan garis yang melalui titik
A(3,4) dan titik B(5,8)jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan
titik B(5,8).A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4B(5,8) berarti x2 = 5 ,
y2 = 8Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)
adalah :(y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)(y-4) / (8-4) = (x-3) /
(5-3)(y-4) / 4 = (x-3) / 22(y 4) = 4(x 3)2y 8 = 4x 122y 4x = 8 122y
4x = -4y 2x = -2>> Hubungan 2 garis lurus1) Persamaan garis
yang saling sejajar1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik
(2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x 5jawab : y = 2x 5 maka m = 2
m1 = m2 = 2 (karna sejajar)maka :y y1 = m (x-x1)y 3 = 2 (x-2)y =
2-4+3y = 2x -12) Persamaan garis yang tegak lurus1) Tentukan
persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan
garis y = 2x 5jawab : y = 2x 5 maka m = 2 , karna tegak lurus :
m1.m2 = -1 m2 = -1/2maka persamaan garisnya :y y1 = m (x-x1)y 3 =
-1/2 (x-2)y = -1/2 x + 1 + 3y = -1/2 x + 4kali 22y = -x + 42y + x 4
= 03) Persamaan garis yang berhimpitgaris-garis dengan persamaan y
= m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2
dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan
berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing merupakan
kelipatan dari a, b, c..>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0
berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 04) Persamaan garis yang
berpotongandua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang
tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan
merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan
garis lainnya.
Persamaan Garis LurusRingkasan MateriI. Gradien Garisa. Gradien
dari ruas garis yang melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)
ditulis mAB:
b. Gradien pada persamaan garis lurus1) Pada bentuk umum : y =
mx + cGradien = m = koefisien x2) Pada bentuk baku : ax + by + c =
0gradien = -a/bII. Membuat persamaan garisa. Diketahui gradien m
dan melalui titik (x1, y1)Rumus persamaan garisnya : y y1= m(x
x1)b. Diketahui garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2, y2)Rumus
persamaan garisnya
III. Sifat garis y = mx + ca. Garis tersebut memiliki gradien
mJika m > 0 (positif) maka garis condonmg kekanan (naik).Jika m
< 0 (negative) maka garis condong ke kiri (turun)b. Garis
tersebut memotong sumbu y di titik (0, c)Jika c > 0 maka garis
memotong sumbu y di atas sumbu x.Jika c < 0 maka garis memotong
sumbu y di bawah sumbu x.IV. Hubungan dua garisMisalkan ada dua
garis, masing masing garis g1dengan pesramaan y = m1x + c1dan garis
g2denganpersamaan y = m2x + c2. Hubungan keduanya dapat ditentukan
oleh gradiennya.Jika dua garis sejajar, maka :m1= m2 Jika dua garis
saling tegak lurus, maka :m1. m2= -1