Descomposición en trigonométricas

Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas

Integración por descomposición en integrales de funciones trigonométricas

Algunas fórmulas trigonométricas nos permiten descomponer la función a integrar en otra equivalente más fácil de integrar

02/11/2009 2


Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )

cos cos

cos cos

sen mx nx senmx nx mxsennx

sen mx nx senmx nx mxsennx

+ = +

− = −

1. cossenm x nxdx∫

Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )

( ) ( )( )

2 cos1cos2

sen mx nx sen mx nx senmx nx

senmx nx sen mx nx sen mx nx

+ + − = ⇒

⇒ = + + −

Integrando:

( ) ( )( )1cos2

senmx nxdx sen mx nx sen mx nx dx= + + −∫ ∫

02/11/2009 3


Ejemplo 1

5 cos 4sen x xdx∫

02/11/2009 4


( )

( )( )

15 cos4 92

1 1 19 9 92 2 91 1 1 1cos9 cos cos9 cos2 9 18 2

sen x xdx sen x senx dx

sen xdx senxdx sen xdx senxdx

x x K x x K

= + =

= + = + =

= − − + =− − +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 5



cos cos cos s

cos cos cos

mx nx mx nx enmxsennx

mx nx mx nx senmxsennx

− = +

+ = −

2. coscosmx nxdx∫


( ) ( )( )

cos 2cos cos1cos cos cos cos2

mx nx cos mx nx mx nx

mx nx mx nx mx nx

− + + = ⇒

⇒ = − + +

Integrando:

( ) ( )( )1cos cos cos2

cosmx nxdx mx nx mx nx dx= − + +∫ ∫

02/11/2009 6


Ejemplo 2

cos3 cos 2x xdx∫

02/11/2009 7


( )

( )

1cos3 cos 2 cos cos52

1 1 1cos cos5 cos 5cos52 2 51 1 1 15 52 5 2 10

x xdx x x dx

xdx xdx xdx xdx

senx sen x K senx sen x K

= + =

= + = + =

= + + = + +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 8



cos cos cos

cos cos cos



− = +

+ = −

3. senmxsennxdx∫

Restando miembro a miembro y despejando:( ) ( )

( ) ( )( )

cos cos 21 cos cos2


senmxsennx mx nx mx nx

− − + = ⇒

⇒ = − − +

Integrando:

( ) ( )( )1 cos cos2

senmxsennxdx mx nx mx nx dx= − − +∫ ∫

02/11/2009 9


Ejemplo 3

2 3sen xsen xdx∫

02/11/2009 10


( )

( )

12 3 cos cos52

1 1 1cos cos5 cos 5cos52 2 51 1 1 15 52 5 2 10

sen xsen xdx x x dx

xdx xdx xdx xdx

senx sen x K senx sen x K

= − =

= − = − =

= − + = − +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 11



cosh cosh

cosh cosh

senh mx nx senhmx nx mxsenhnx

senh mx nx senhmx nx mxsenhnx

+ = +

− = −

4. coshsenhmx nxdx∫


( ) ( )( )

2 cosh1cosh2

senh mx nx senh mx nx senhmx nx

senhmx nx senh mx nx senh mx nx

+ + − = ⇒

⇒ = + + −

Integrando:

( ) ( )( )1cosh2

senhmx nxdx senh mx nx senh mx nx dx= + + −∫ ∫

02/11/2009 12


Ejemplo 4

5 cosh 4senh x xdx∫

02/11/2009 13


( )

( )

15 cosh 4 92

1 1 19 9 92 2 91 1 1 1cosh9 cosh cosh9 cosh2 9 18 2

senh x xdx senh x senhx dx

senh xdx senhxdx senh xdx senhxdx

x x K x x K

= + =

= + = + =

= + + = + +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 14



cosh cosh cosh s

cosh cosh cosh

mx nx mx nx enhmxsenhnx

mx nx mx nx senhmxsenhnx

+ = +

− = −

5. cosh coshmx nxdx∫


( ) ( )( )

cosh cosh 2cosh cosh1cosh cosh cos cos2

mx nx mx nx mx nx

mx nx mx nx mx nx

+ + − = ⇒

⇒ = + + −

Integrando:

( ) ( )( )1cosh cosh cosh cosh2

mx nxdx mx nx mx nx dx= + + −∫ ∫

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Ejemplo 5

cosh3 cosh 2x xdx∫

02/11/2009 16


( )

( )

1cosh3 cosh 2 cosh5 cosh2

1 1 1cosh5 cosh 5cosh5 cosh2 2 51 1 1 15 52 5 10 2

x xdx x x dx

xdx xdx xdx xdx

senh x senhx K senh x senhx K

= + =

= + = + =

= + + = + +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 17



cosh cosh cosh

cosh cosh cosh



+ = +

− = −

6. senhmxsenhnxdx∫

Restando miembro a miembro y despejando:( ) ( )

( ) ( )( )

cosh cosh 21 cosh cosh2


senhmxsenhnx mx nx mx nx

+ − − = ⇒

⇒ = + − −

Integrando:

( ) ( )( )1 cosh cosh2

senhmxsenhnxdx mx nx mx nx dx= + − −∫ ∫

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Ejemplo 6

2 3senh xsenh xdx∫

02/11/2009 19


( )

( )

12 3 cosh5 cosh2

1 1 1cosh5 cosh 5cosh5 cosh2 2 51 1 1 15 52 5 10 2

senh xsenh xdx x x dx

xdx xdx xdx xdx

senh x senhx K senh x senhx K

= − =

= − = − =

= − + = − +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 20


Las siguientes fórmulas trigonométricas también nos permiten descomponer algunas integrales:

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

cos 1 1 1 cos2

1 sec 1 cot cos1 cos 2 1 cos 2cos

2 22 2 cos cos 2 cos

sen x x senx x

tg x x g x ec xx xsen x x

sen x senx x x x sen x

π + = ± = ± −

+ = + =− +

= =

= = −

7. Otros tipos

02/11/2009 21


Ejemplo 7

2cos xdx∫

02/11/2009 22


( )

( )2 1cos 1 cos 2

21 1 1cos 2 2cos 22 2 21 1 1 12 22 2 2 4

xdx x dx

dx xdx dx xdx

x sen x K x sen x K

= + =

= + = + =

= + + = + +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

02/11/2009 23


Ejemplo 8

3sen xdx∫

02/11/2009 24


( )

( )

3 2 2

2 2

3

1 cos

cos cos

coscos3

sen xdx sen xsenxdx x senxdx

senx xsenx dx senxdx xsenxdx

xx K

= = − =

= − = − =

=− + +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

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Ejemplo 9

4tg xdx∫

02/11/2009 26


( )

( ) ( )

4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

32 2 2

sec 1

sec sec sec 1

sec sec3

tg xdx tg xtg xdx tg x x dx

tg x x tg x dx tg x xdx x dx

tg xtg x xdx xdx dx tgx x K

= = − =

= − = − − =

= − + = − + +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

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