Cálculo de Primitivas Cálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricas Descomposición en trigonométricas Integración por descomposición en integrales de funciones trigonométricas Algunas fórmulas trigonométricas nos permiten descomponer la función a integrar en otra equivalente más fácil de integrar
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Integración por descomposición en integrales de funciones trigonométricas
Algunas fórmulas trigonométricas nos permiten descomponer la función a integrar en otra equivalente más fácil de integrar
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cos cos
cos cos
sen mx nx senmx nx mxsennx
sen mx nx senmx nx mxsennx
+ = +
− = −
1. cossenm x nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
2 cos1cos2
sen mx nx sen mx nx senmx nx
senmx nx sen mx nx sen mx nx
+ + − = ⇒
⇒ = + + −
Integrando:
( ) ( )( )1cos2
senmx nxdx sen mx nx sen mx nx dx= + + −∫ ∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 1
5 cos 4sen x xdx∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )( )
15 cos4 92
1 1 19 9 92 2 91 1 1 1cos9 cos cos9 cos2 9 18 2
sen x xdx sen x senx dx
sen xdx senxdx sen xdx senxdx
x x K x x K
= + =
= + = + =
= − − + =− − +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cos cos cos s
cos cos cos
mx nx mx nx enmxsennx
mx nx mx nx senmxsennx
− = +
+ = −
2. coscosmx nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
cos 2cos cos1cos cos cos cos2
mx nx cos mx nx mx nx
mx nx mx nx mx nx
− + + = ⇒
⇒ = − + +
Integrando:
( ) ( )( )1cos cos cos2
cosmx nxdx mx nx mx nx dx= − + +∫ ∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 2
cos3 cos 2x xdx∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
1cos3 cos 2 cos cos52
1 1 1cos cos5 cos 5cos52 2 51 1 1 15 52 5 2 10
x xdx x x dx
xdx xdx xdx xdx
senx sen x K senx sen x K
= + =
= + = + =
= + + = + +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cos cos cos
cos cos cos
mx nx mx nx senmxsennx
mx nx mx nx senmxsennx
− = +
+ = −
3. senmxsennxdx∫
Restando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
cos cos 21 cos cos2
mx nx mx nx senmxsennx
senmxsennx mx nx mx nx
− − + = ⇒
⇒ = − − +
Integrando:
( ) ( )( )1 cos cos2
senmxsennxdx mx nx mx nx dx= − − +∫ ∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Ejemplo 3
2 3sen xsen xdx∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
( )
( )
12 3 cos cos52
1 1 1cos cos5 cos 5cos52 2 51 1 1 15 52 5 2 10
sen xsen xdx x x dx
xdx xdx xdx xdx
senx sen x K senx sen x K
= − =
= − = − =
= − + = − +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas
Partiendo de las fórmulas trigonométricas:( )( )
cosh cosh
cosh cosh
senh mx nx senhmx nx mxsenhnx
senh mx nx senhmx nx mxsenhnx
+ = +
− = −
4. coshsenhmx nxdx∫
Sumando miembro a miembro y despejando:( ) ( )
( ) ( )( )
2 cosh1cosh2
senh mx nx senh mx nx senhmx nx
senhmx nx senh mx nx senh mx nx
+ + − = ⇒
⇒ = + + −
Integrando:
( ) ( )( )1cosh2
senhmx nxdx senh mx nx senh mx nx dx= + + −∫ ∫
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Ejemplo 4
5 cosh 4senh x xdx∫
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Cálculo de PrimitivasCálculo de Primitivas Descomposición en trigonométricasDescomposición en trigonométricas