Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo
SenoEl seno del ngulo B es la razn entre el c ateto opuesto al
ngulo y la hipotenusa .
Se denota por sen B.
CosenoEl coseno del hipotenusa. ngulo B es la razn entre el
cateto contiguo al ngulo y la
Se denota por cos B.
TangenteLa tangente del ngulo B es la razn entre el cateto
opuesto al n gulo y el cateto contiguo al ngulo .
Se denota por tg B.
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CosecanteLa cosecante del ngulo B es la razn inversa del seno de
B .
Se denota por cosec B.
SecanteLa secante del ngulo B es la razn inversa del coseno de B
.
Se denota por sec B.
CotangenteLa cotangente del ngulo B es la razn inversa de la
tangente de B .
Se denota por cotg B.
Razones trigonomtricas en una circunferenciaSe llama
circunferenc ia goniomtric a a aqulla que tiene su cen tro en el
origen de coordenadas y su radio es la unid ad.
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En
la circunferencia
goniomtrica los
ejes
de
coordenadas
d elimitan
cuatro
cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del
reloj.
QOP y TOS son tringulos semejantes.
QOP y T'OS son trin gulos semejantes.
El seno es la ordenad a.
El coseno es la absc isa.
-1 sen 1
-1 co s 1
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Signo de las razones trigonomtricas
Tabla de razones trigonomtricas
Relaciones entre las razones trigonomtricascos + sen = 1
sec = 1 + tg
cosec = 1 + cotg
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Relaciones entre las razones trigonomtricas de algunos
ngulosngulos complementarios
ngulos suplementarios
ngulos que difieren en 180
ngulos opuestos
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ngulos negativos
Mayores de 360
ngulos que difieren en 90
ngulos que suman en 270
ngulos que difieren en 270
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Razones trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos
Razones trigonomtricas del ngulo doble
Razones trigonomtricas del ngulo mitadPgina 7
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
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5. Funciones Trigonomtricas Funcin Seno: La funcin Seno se
obtiene de dividir el cateto opuesto de un tringulo rectngulo,
entre su hipotenusa: As por ejemplo, en el tringulo rectngulo
siguiente: el seno del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de
ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa del seno: cualquier
calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que
apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en
la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice
"sin" y no "sen" porque en ingls la funcin seno se escribe "sin"):
para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en
decimal que corresponde al ngulo alpha. Funcin Cosecante La funcin
cosecante es parecida a la funcin seno, slo que al revs. Esto es:
en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se
divide la hipotenusa entre el cateto opuesto en principio, para
obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin
inversa de la cosecante: sin embargo, la mayora de las calculadoras
no sacan sta funcin (ni siquiera la cosecante) porque suponen que
el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del
inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza
preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente
sustitucin: y ya. Grfica de la funcin Seno Si graficas la funcin y
= sen(x) en un plano cartesiano, obtendras la siguiente figura:
Observa que la funcin no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se
dice entnces que la funcin est "acotada" entre -1 y +1. Los valores
para los que la funcin llega hasta +1 o -1 son los mltiplos impares
de / 2 , o sea: con n entero y mayor que cero. La funcin seno(x)
tiene periodo de 2, esto es, que cuando x es igual a 2, la funcin
se vuelve a repetir tomando los valores que tom a partir del cero.
Funcin Coseno: La funcin Coseno se obtiene de dividir el cateto
adyacente de un tringulo rectngulo, entre su hipotenusa: As por
ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: el coseno del ngulo
alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la
funcin inversa del coseno: cualquier calculadora cientfica lo puede
hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf"
que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "cos": para este caso, el resultado da:
53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo
alpha. Funcin Secante La funcin secante es parecida a la funcin
coseno, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto
adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el
cateto adyacente: en principio, para obtener el valor del ngulo
alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la secante: sin
embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni
siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo
mismo, que sacar la funcin inversa del inverso del coseno. O sea
que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?"
simplemente haz la
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siguiente sustitucin y ya. Grfica de la funcin Coseno Si
graficas la funcin Coseno en un plano cartesiano, sta se vera as:
Observa que la funcin se parece muchsimo a la funcin Seno. La
diferencia est en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) =
+1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la
funcin coseno est desfasada medio perido respecto de la funcin
seno. Igual que en la funcin Seno, la funcin coseno slo puede tomar
valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa
que tiene lmites de los cules ya no pasa. La funcin es peridica ( o
sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale
2 (o sea que cuando x toma el valor de 2, la funcin vuelve a tomar
los valores que tom desde el cero otra vez. Los valores para los
que la funcin Coseno se vuelve +1 o -1 son los mltiplos enteros de
, o sea: n con n cualquier entero incluyendo el cero. Funcin
Tangente: La funcin Tangente se obtiene de dividir el cateto
opuesto de un tringulo rectngulo, entre el cateto adyacente: As por
ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: la tangente del ngulo
alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la
funcin inversa de la tangente: cualquier calculadora cientfica lo
puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o
"2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior
izquierda, y luego apretar la tecla "tan": para este caso, el
resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que
corresponde al ngulo alpha. La funcin tangente se puede tambin
definir a travs de las funciones seno y coseno como sigue: y el
resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el
cateto adyacente. Funcin Cotangente La funcin cotangente es
parecida a la funcin tangente, slo que al revs. Esto es: en lugar
de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide
el cateto adyacente entre el cateto opuesto hay otras notaciones
vlidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna
de las siguientes formas: pero es la misma funcin. En principio,
para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin
inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el
problema de arriba sera: sin embargo, la mayora de las calculadoras
no sacan sta funcin (ni siquiera la cotangente) porque suponen que
el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del
inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza
preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente
sustitucin: y ya. Grfica de la funcin Tangente Si graficaras la
funcin y = tan (x) en un plano cartesiano, sta se vera as: los
puntos donde la funcin se va a infinito se llaman "asntotas" y en
esos valores la funcin tangente no est definida. Esta funcin tiene
periodo (recuerda que en radianes = 180). Es decir que cuando la x
toma los mltiplos de , la funcin vuelve a tomar los valores que tom
desde el cero, y la funcin se repite as hasta infinito. Observa que
a diferencia de las funciones seno y coseno, la funcin tangente no
est "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede
tomar cualquier valor y no como la funcin seno o coseno que slo
pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
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Frmulas e Identidades Trigonomtricas La siguiente es una lista
de frmulas trigonomtricas muy tiles para resolver muchos problemas:
Fundamentales sen(-x) = -sen(x) cos(-x) = cos(x) tan(-x) = -tan(x)
sen2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cotan2x = csc2x sen ( - x)
= sen (x) cos ( - x) = -cos (x) tan ( - x) = -tan (x) Suma y resta
de dos ngulos en funciones trigonomtricas sen (u + v) = sen (u)cos
(v) + cos(u)sen(v) sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v) cos
(u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v) cos (u - v) = cos(u) cos(v)
+ sen(u)sen(v) Frmulas para la suma del doble del ngulo sen(2x) =
2sen(x)cos(x) cos(2x) = 2cos2(x) - 1 cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)
cos(2x) = 1 - 2sen2(x) Frmulas para el cuadrado de la funcin
Frmulas para el cuadrado de la funcin con la mitad del ngulo
Frmulas para la tangente de la mitad del ngulo Frmulas para el
producto de seno y coseno Frmulas para la suma y resta de senos y
cosenos Identidades entre funciones trigonomtricas Ley de los seno
Ley del Coseno La ley de los Senos y ley del coseno se basan en ste
tringulo: Tabla de coseno y seno de los ngulos principales
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trigonometra es la rama de las matemticas que se encarga de
calcular los elementos de los tringulos. Para esto se encarga de
estudiar las relaciones entre los ngulos y los lados de los
tringulos.
Esta especialidad interviene en diversas reas de las matemticas
que requieren medidas de precisin. La trigonometra, de todas
formas, cuenta con una amplia variedad de aplicaciones. Permite,
por ejemplo, medir las distancias entre puntos geogrficos o entre
las estrellas a partir de tcnicas de triangulacin. La trigonometra
tambin se aplica en los sistemas de navegacin satelital. Existen
tres unidades que emplea la trigonometra para la medicin de ngulos:
el radin (considerada como la unidad angular natural de la
trigonometra, establece que una circunferencia completa puede
dividirse en 2 pi radianes), elgradin o grado centesimal (que
divide la circunferencia en 400 grados centesimales) y elgrado
sexagesimal (divide la circunferencia en 360 grados sexagesimales).
Las principales razones trigonomtricas son tres: el seno (la razn
entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa), el coseno (la razn
entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa) y latangente (la
razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente). Las
razones trigonomtricas recprocas, por otra parte, son la cosecante
(la razn recproca del seno), la secante (la razn recproca del
coseno) y la cotangente (la razn recproca de la tangente). Se
conoce como identidad trigonomtrica a la igualdad que involucra a
funciones trigonomtricas y que resultan verificables para cualquier
valor de las variables (los ngulos sobre los que se aplican las
funciones).
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