PENDIENTES DE 1º BACH MATEMÁTICAS I …. Razones trigonométricas 1.- Halla el seno, el coseno y la tangente del ángulo agudo de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa

PENDIENTES DE 1º BACH

MATEMÁTICAS I

EJERCICIOS BLOQUE I

Tema 1. Los números reales

1.- Suma los siguientes radicales: 9655432426

Solución

626

2.- Suma los siguientes radicales: 2035002125453

Solución

518

3.- Suma los siguientes radicales: 33 333 6 1252564322 bbbb

Solución 3

11 b

4.- Racionaliza: 5

5

Solución

5

5.- Racionaliza: 32

3

Solución

336

6.- Calcula el valor de x: a) log2 x = – 5 b) logx 243 = 5 Solución a) x = 1/32 b) x = 3 7.- Calcula el valor de x:

a) log2 4x = 3 b) logx 32 = 2

5

Solución a) x = 2 b) x = 4 8.- El número de bacterias, N, que hay después de t horas de una infección viene dado por:

N = 5t + 1 a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas? b) ¿Cuántas horas deben transcurrir para que haya más de 5000 bacterias? Solución a) N(5) = 56 = 15625 bacterias.

b) 5000 = 5t + 1 t = 5log

5log5000log = 4,29 h

2. Álgebra

1.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x4 + 2x

3 – x

2 – 2x

Solución

x(x – 1)(x + 1)(x + 2)

Raíces: x1 = 0; x2 = 1; x3 = – 1; x4 = – 2

2.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 + 3x

2 + 2x

Solución

x(x + 1)(x + 2)

Raíces: x1 = 0; x2 = – 1; x3 = – 2

3.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 – 3x

2 + 3x – 1

Solución

(x – 1)3

Raíces: x1 = x2 = x3 = – 1

4.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 – 2x

2 + x

Solución

x(x – 1)2

Raíces: x1 = 0; x2 = x3 = 1

5.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 + 3x

2 – 4x – 12

Solución

(x – 2)(x + 2)(x + 3)

Raíces: x1 = 2; x2 = – 2; x3 = – 3

6.- Resuelve: 6

53

1

32

xx

x

Solución

x = 2

7.- Resuelve: 4

4

2

1

4 22 x

x

xx

x

Solución

x = – 6

8.- Resuelve:4

7

1

1

122

2

xxx

x

Solución

x1 = 3, x2 = 1/3

9.- Resuelve: 042

6

2

13

x

x

x

x

Solución

x1 = 1, x2 = –18

10.- Resuelve: 125 2xx

Solución

x = 4

11.- Resuelve: xx 17

Solución

x = 10

12.- Resuelve: 5132 xx

Solución

x = 9

13.- Resuelve: x4 + 2x

2 – 3 = 0

Solución

x1 = – 1; x2 = 1

14.- Resuelve: 2x4 – 3x

2 – 20 = 0

Solución

x1 = – 2; x2 = 2

15.- Resuelve: 4x + 1

+ 2x + 3

= 320

Solución

x = 3

16.- Resuelve: 2x – 20 · 2

– x + 8 = 0

Solución

x = 1

17.- Resuelve: log (x2 + 1) – log (x

2 – 1) = log 13/12

Solución

x1 = – 5, x2 = 5

18.- Resuelve: log x2 – log (x – 16) = 2

Solución

x1 = 20, x2 = 80

19.- Resuelve: 3 log 2x – 2 log x = log (4x + 1)

Solución

x = 1/4

20.- Resuelve: 2 log x + 4 log x = 6

Solución

x = 10

21.- Una bacteria se reproduce por bipartición cada hora. Si inicialmente tenemos 200 bacterias,

calcula cuánto tiempo tiene que pasar para tener 2 millones de bacterias.

Solución

200 · 2t = 2000000 t = 13,3 h

22.- Resuelve: x2 – 6x + 8 < 0

Solución

(2, 4)

23.- Resuelve: x2 – 3x – 10 ≥ 0

Solución

(– , – 2] [5, + )

24.- Resuelve: x3 – 6x

2 – x + 6 ≥ 0

Solución

[– 1, 1] [6, + )

25.- Resuelve: 04

42

2

x

x

Solución

(– 2, 2)

26.- Resuelve: 01

92

x

x

Solución

(– , – 3] (– 1, 3]

27.- Resuelve: 04

22

x

xx

Solución

(– , – 4) [0, 2]

28.- Resuelve:

52

233

62

zyx

zyx

zyx

Solución

x = 2, y = – 1, z = 3

29.- Resuelve:

523

53

1

zyx

zx

zyx

Solución

x = 1, y = 0, z = – 2

30.- Resuelve:

1

42

3

zyx

zyx

zyx

Solución

x = – 4, y = 2, z = 5

31.- Carmen tiene una colección de 30 películas entre musicales, comedias y aventuras. Se sabe

que entre los musicales y las de comedia igualan al número de aventuras y que entre las

musicales y el doble de comedias exceden en 5 a las de aventuras. Calcula el número de

películas de cada clase.

Solución

N.º de musicales: x

N.º de comedias: y

N.º de aventuras: z 52

30

zyx

zyx

zyx

x = 10, y = 5, z = 15

32.- Tres amigos juegan juntos a la lotería y les toca un premio de 9000 €. El primero cobra el

triple del segundo, y este el doble que el tercero. Calcula cuánto recibe cada uno.

Solución

Premio del 1.er: x

Premio del 2.º: y

Premio del 3. er

: z zy

yx

zyx

2

3

9000

x = 6000, y = 2000, z = 1000

Premio del 1.º: 6000 €

Premio del 2.º: 2000 €

Premio del 3.º: 1000 €

33.- Halla tres números tales que la suma de los tres es 330. El primero excede en 20 unidades

al segundo y el tercero es la media aritmética del primero y segundo.

Solución

1.er número: x

2.º número: y

3.er número: z

2

20

330

yxz

yx

xyx

x = 120, y = 100, z = 110

3. Razones trigonométricas 1.- Halla el seno, el coseno y la tangente del ángulo agudo de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 10 cm, el cateto contiguo, 8 cm y el cateto opuesto, 6 cm Solución

5

3sen ,

5

4cos ,

4

3tg

2.- Calcula el seno, el coseno y la tangente de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que se forma al trazar la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles. El lado desigual mide 10 cm y la altura, 12 cm Solución

13169125 22x cm

13

12sen ,

13

5cos ,

5

12tg

13

5sen ,

13

12cos ,

12

5tg

3.- Sabiendo que sen = 1/5 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula cos y tg Solución

sen2 + cos2 = 1

1cos25

1 2 25

24cos2

25

62

25

24cos

cos

sentg

12

6

5

62:

5

1tg

4.- Sabiendo que cos = 3/5 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula sen y tg Solución

sen2 + cos2 = 1

sen2 + 25

9 = 1 sen2 =

25

16 sen =

5

4

tg = cos

sen tg =

3

4

5

3:

5

4

5.- Sabiendo que tg = 3 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula sen y cos Solución

tg2 + 1 = sec2

9 + 1 = sec2 sec2 = 10 sec = 10 cos = 10

10

tg = cos

sen sen = tg cos =

10

103

6.- Una escalera de 8 m de longitud se apoya sobre una pared y alcanza los 6 m. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Solución

tg = 8

6 = 36° 52’12’’

7.- Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 80 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal. Solución

tg 30° = 80

x x = 80 tg 30° = 46,19 m

8.- Calcula el área de un decágono regular de 4 cm de lado. Solución

18tg

2a 6,16 cm

A = 2

16,640123,2 cm2

9.- Calcula la altura de una torre si al situarse a 25 m de su pie, se observa el punto más alto de la torre con un ángulo de 45° Solución

x = 25 · tg 45° = 25 · 1 = 25 m

10.- Un ángulo está en el 2.º cuadrante y sen = 1/5. Calcula cos y tg Solución

sen2 + cos2 = 1 25

1 + cos2 = 1 cos2 =

25

24 cos =

5

62

5

24

tg = cos

sen tg =

12

6

5

24:

5

1

11.- Un ángulo está en el 4.º cuadrante y cos = 3/5. Calcula sen y tg Solución

sen2 + cos2 = 1 sen2 + 25

9 = 1 sen2 =

25

16 sen =

5

4

tg = cos

sen tg =

3

4

5

3:

5

4

12.- Un ángulo está en el 3.er cuadrante y tg = 3. Calcula sen y cos Solución

tg2 + 1 = sec2

9 + 1 = sec2 sec2 = 10 sec = 10 cos = 10

10

tg = cos

sen sen = tg cos =

10

102

10

103

13.- Resuelve: sen 2x = tg x Solución

2sen x cos2 x = sen x sen x (2 cos2 x – 1) = 0

2

2cos2/1cos

0sen

2 xx

x

Si sen x = 0

x1 = 0° + 360°k, k Z

x2 = 180° + 360°k, k Z

Si cos x = 2

2

x3 = 45° + 360°k, k Z

x4 = 315° + 360°k, k Z

Si cos x = – 2

2

x5 = 135° + 360°k,

k Z x6 = 225° + 360°k,

k Z

14.- Resuelve: 3sen x – 2cos2 x = 0 Solución 3sen x – 2(1 – sen2 x) = 0 3sen x – 2 + 2sen2 x = 0

2sen2 x + 3sen x – 2 = 0

2

1sen

2sen

x

x

a) sen x = – 2 No es una solución válida.

b) Si sen x = 2

1

x1 = 30° + 360°k, k Z

x2 = 150° + 360°k, k Z

4. Resolución de triángulos 1.- En un triángulo se conoce a = 8 m, A = 120° y B = 20°. Calcula el lado b, ¿cuántas soluciones tiene? Solución

m 3,16120sen

20sen8

20sen120sen

8b

b Tiene una solución.

2.- En un triángulo se conoce c = 6 cm, A = 70° y B = 65°. Calcula el lado a, ¿cuántas soluciones tiene? Solución

C = 45° cm 7,9745sen

70sen6

70sen45sen

6a

a Tiene una solución.

3.- En un triángulo se conoce b = 14 cm, c = 17 cm y B = 42°. Calcula el ángulo C, ¿cuántas soluciones tiene? Solución

0,812514

42sen17= Csen

sen

17

42sen

14

C

C1 = 54° 20’ 33’’ B + C1 < 180°; C2 = 125° 39’ 27’’ B + C2 < 180°. Tiene dos soluciones. 4.- En un triángulo se conoce b = 8 m, c = 5 m y A = 25°. Calcula el lado a Solución a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 = 82 + 52 – 2 · 8 · 5 · cos 25° a = 4,06 m 5.- En un triángulo se conocen los tres lados a = 2 m, b = 5 m y c = 4 m. Calcula el ángulo A Solución

'54' 19' 22° = 0,925 =452

245 = cos

222

AA

6.- Desde la puerta de un almacén se ve una gasolinera, que está a 70 m, y un quiosco de prensa, que está a 50 m. El ángulo con el que se ve el segmento que une la gasolinera con el quiosco es de 40°. Calcula la distancia que hay entre el quiosco y la gasolinera. Solución

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 = 502 + 702 – 2 · 50 · 70 · cos 40° a = 45,14 m

7.- De una parcela triangular se conocen dos lados a = 90 m y b = 83 m y el ángulo comprendido entre ellos, C = 50°. Halla el área de la parcela. Solución

m² 2861,18 = 50°sen · 83 · 90 · 2

1 = Área

5. Geometría analítica 1.- Calcula el módulo y el argumento del vector v (– 3, – 4) Solución

|v| = 5, = 233° 7’ 48” 2.- Dados los puntos A( – 5, 3) y B(2, 7), calcula las coordenadas del vector AB Solución AB(7, 4) 3.- Dado el punto A(1, 3) calcula las coordenadas del punto B tal que AB(5, – 1) Solución

B(x, y) AB(x – 1, y – 3) = (5, – 1) x = 6, y = 2 4.- Dados los vectores u(– 2, 1) y v(– 5, 3) calcula 3u – 2v Solución 3u – 2v = (– 6 + 10, 3 – 6) = (4, – 3) 5.- Halla el producto escalar de los vectores: u(5, 2) y v(– 3, 4) Solución u · v = – 15 + 8 = – 7 6.- Calcula el ángulo que forma los vectores: u(2, – 3) y v (– 5, – 4) Solución

"49'185162594

)4)(3()5(·2cos

7.- Halla el valor de x para que los vectores u(– 2, 4) y v(x, – 3) sean perpendiculares. Solución

u · v = 0 – 2x – 12 = 0 x = – 6 8.- Un cuadrado tiene por vértices contiguos los puntos A(2, 3) y B(4, 2). Calcula sus otros dos vértices. Solución

Dado AB(2, – 1), hay dos vectores perpendiculares:

AC AB es AC(1, 2)

AC’ AB es AC’(– 1, – 2)

OC = OA + AC OC = (2, 3) + (1, 2) = (3, 5)

OC’ = OA + AC’ OC’ = (2, 3) + (– 1, – 2) = (1, 1)

OD = OB + AC OD = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4)

OD’ = OB + AC’ OD’ = (4, 2) + (– 1, – 2) = (3, 0)

9.- Un cuadrado tiene por vértices opuestos los puntos A(4, 2) y C(6, 6). Calcula sus otros dos vértices. Solución

AM = AC/2 = (2, 4)/2 = (1, 2) Hay dos vectores perpendiculares:

MB AM es MB(2, – 1)

MD AM es MD(– 2, 1)

OM = OA + AM OM = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4)

OB = OM + MB OB = (5, 4) + ( 2, – 1) = (7, 3)

OD = OM + MD OD = (5, 4) + (– 2, 1) = (3, 5)

10.- Dibuja la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tienen como vector director v(–1, 2) y halla su pendiente. Solución

m = – 2

11.- Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 3, 2) y B(3, – 1), calcula el vector director y la pendiente de la recta. Solución

v = AB = (6, – 3) || (2, – 1) m = – 1/2

12.- Comprueba si los puntos A(– 3, 4), B(– 1, 3) y C(3, 1) están alineados. Solución

2

1

4

2,

2

1

2

1BCAB mm Están alineados.

13.- Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta determinada por el punto A(– 1, 5) y el vector director v(2, – 3) Solución Ecuación vectorial:

(x, y) = (– 1, 5) + t(2, – 3); t R Ecuaciones paramétricas:

Rtty

tx

35

21

Ecuación continua:

3

5

2

1 yx

Ecuación general: 3x + 2y – 7 = 0

Ecuación explícita:

2

7

2

3xy

14.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

(x, y) = (– 3, 2) + t(5, – 1), t R Solución Ecuación vectorial, A(– 3, 2); v(5, – 1), m = – 1/5 15.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

ty

tx

5

23 t R

Solución Ecuaciones paramétricas, A(3, 5); v(2, – 1), m = – 1/2 16.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

5

43

yx

Solución Ecuación continua, A(3, – 4); v(1, 5), m = 5 17.- Dadas la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

4x – y + 1 = 0 Solución Ecuación general, A(0, 1); v(1, 4), m = 4 18.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

y = – x + 3 Solución Ecuación explícita, A(0, 3); v(1, – 1), m = – 1 19.- Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A(– 4, 3) y tiene pendiente – 2 Solución

y = – 2(x + 4) + 3 y = – 2x – 5 20.- Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A(– 4, 3) y tiene pendiente – 2 Solución

y = – 2(x + 4) + 3 y = – 2x – 5

Dada la recta r 3x + 4y – 1 = 0, halla una recta s paralela a r que pase por el punto P(3, – 2) Solución

mr = 4

3 ms =

4

3 y =

4

3(x – 3) – 2 r 3x + 4y – 1 = 0

21.- Halla la ecuación de la recta s que pase por el punto A(3, 1) y es perpendicular a la recta r que pasa por los puntos B(1, 2) y C(2, – 1) Solución

mr = – 3 ms = 1/3 y = 3

1(x – 3) + 1 r x – 3y = 0

22.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas:

r (x, y) = (– 3, 3) + t(2, – 1), t R

2

5

1

3 yxs

Solución

2

1

1

2)2,1();1,2( sr vv Las rectas son secantes.

23.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas:

Rtty

txr

4

101

s 2x + 5y – 10 = 0 Solución

2

4

5

10)2,5();4,10( sr vv Las rectas son paralelas.

24.- Halla la distancia que hay entre los puntos A(2, – 3) y B(5, 1) Solución

d(A, B) = 5169)31()25(),( 22BAd u

25.- Halla la distancia del punto A(2, – 3) a la recta 3

2

4

1 yxr

Solución

Ecuación general de la recta: r 3x – 4y + 11 = 0

5

29

43

|11)3(·42·3|),(

22rAd = 5,8 u

26.- Halla la distancia del punto A(1, – 5) a la recta Rtty

txr

23

4

Solución

Ecuación general de la recta: r 2x – y – 11 = 0

5

54

5

4

)1(2

|1151·2|),(

22rAd u

27.- Halla el ángulo que forman las rectas

Rtty

txr

4

2 s y = 3(x – 1) + 2

Solución

Ecuaciones generales de las rectas: r x – 2y + 8 = 0, s 3x – y – 1 = 0

2

2

50

5

1941

23cos = 45°