Alonso Fernández Galián - 1 - TEMA 2: TRIGONOMETRÍA II: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS La trigonometría está presente en muchas ramas de las matemáticas, más allá de la geometría elemental. Aquí abandonaremos el punto de vista geométrico para centrarnos en las propiedades algebraicas de las razones trigonométricas. 2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LAS OPERACIONES CON ÁNGULOS Veamos cómo calcular las razones trigonométricas de las operaciones entre ángulos. I. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos. El seno de la suma de dos ángulos no es igual a la suma de los senos, y lo mismo ocurre para el resto de las razones trigonométricas. Es decir, en general: sen sen sen cos cos cos tan tan tan Concretamente, las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, y , se calculan con las siguientes fórmulas: Demostración: Consideremos la siguiente figura: En el triángulo rectángulo OCD se observa que: OD CD sen sen OD CD OD OC cos cos OD OC Notemos que F D E D O C ˆ ˆ . Por tanto, también se tiene: DF EF sen sen DF EF DF DE cos cos DF DE Por otro lado, las razones trigonométricas de son: DF DF 1 sen y OD OD 1 cos Así, finalmente: sen cos cos sen cos sen 1 sen DF OD DE CD CE BF BF sen cos 1 cos DF OD EF OC BC OC OB OB cos sen sen cos sen cos cos sen sen sen sen cos cos cos tan tan 1 tan tan tan
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TEMA 2: TRIGONOMETRÍA II · Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas - 5 - 2.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Se denominan ecuaciones trigonométricas a aquéllas en las
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Alonso Fernández Galián
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TEMA 2: TRIGONOMETRÍA II: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría está presente en muchas ramas de las matemáticas, más allá de la geometría
elemental. Aquí abandonaremos el punto de vista geométrico para centrarnos en las propiedades
algebraicas de las razones trigonométricas.
2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LAS OPERACIONES CON ÁNGULOS
Veamos cómo calcular las razones trigonométricas de las operaciones entre ángulos.
I. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos. El seno de la suma de dos ángulos no
es igual a la suma de los senos, y lo mismo ocurre para el resto de las razones trigonométricas.
Es decir, en general:
sen sen sen coscos cos tantan tan
Concretamente, las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, y , se calculan con
las siguientes fórmulas:
Demostración: Consideremos la siguiente figura:
En el triángulo rectángulo OCD se observa que:
OD
CDsen sen ODCD
OD
OCcos cosODOC
Notemos que FDEDOC ˆˆ . Por tanto, también se tiene:
DF
EFsen sen DFEF
DF
DEcos cosDFDE
Por otro lado, las razones trigonométricas de son:
DFDF
1
sen y ODOD
1
cos
Así, finalmente:
sen coscossen cossen 1
sen DFODDECDCEBFBF
sen cos1
cos DFODEFOCBCOCOBOB
cossen sen cos
sen coscossen sen
sen sen coscos cos
tantan1
tantan tan
Matemáticas I
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La tangente se obtiene dividiendo el seno entre el coseno:
coscos
sen sen
coscos
coscos
coscos
sen cos
coscos
cossen
sen sen coscos
sen coscossen
cos
sen tan
(*)
tantan1
tantan
donde en el paso (*) hemos dividido el numerador y el denominador entre coscos .
II. Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos. Se tiene:
Demostración: Basta escribir la resta como la suma del ángulo opuesto:
sen coscossen sen coscossen sen sen
sen sen coscossen sen coscos cos cos
tantan1
tantan
tantan1
tantan tan tan
sen coscossen sen
sen sen coscos cos
tantan1
tantan tan
•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 15º.
4
26
2
1
2
2
2
3
2
230ºsen º45cosº30cosº45sen º30º45sen º51sen
[…]
•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 75º.
4
62
2
2
2
3
2
2
2
145ºsen º30cosº45cosº30sen º45º30sen º75sen
4
26
2
2
2
1
2
2
2
35º4sen º30sen º45cosº30cosº45º30cosº75cos
322
324
13
31
13
11
13
1
º45tanº30tan1
º45tanº30tanº45º30 tanº75tan
Nota: También podíamos haber calculado la tangente dividiendo el seno entre el coseno.
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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III. Razones trigonométricas del ángulo doble. Se tiene:
Demostración: Notemos que 2 . Así:
cossen 2sen coscossen sen 2sen
22 sencossen sen coscos cos2 cos
2tan1
tan2
tantan1
tantan tan2tan
IV. Razones trigonométricas del ángulo mitad. Se tiene:
Demostración: La clave de la demostración es observar que es el ángulo doble de 2/ , y
despejar el seno y el coseno de 2/ a partir de las fórmulas siguientes:
-Relación fundamental de trigonometría: 12
sen2
cos 22
-Coseno del ángulo doble:
cos2
2cos2
sen2
cos 22
Para verlo más claro, hacemos el siguiente cambio de variable:
2
2/
[…]
4
26
2
1
2
2
2
3
2
20º3sen º54sen º30cosº45cosº30º45cosº15cos
322
324
13
31
13
11
13
1
º45tanº30tan1
º45tanº30tanº30º45 tanº15tan
2
cos1
2sen
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tan
cossen 22sen
22 sencos2 cos
2tan1
tan22 tan
Matemáticas I
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Ahora, sumamos y restamos las dos expresiones anteriores:
2
cos1
2cos
2
2cos1cos2cos1cos2
2cossencos
1sencos
2
22
22
2
cos1
2sen
2
2cos1sen 2cos1sen 2
2cossencos
1sencos
2
22
22
Finalmente, dividiendo el seno entre el coseno obtenemos la fórmula para la tangente.
Nota (productos de senos y cosenos): Veamos otras fórmulas, deducibles de las anteriores, que
aparecen con frecuencia al trabajar con las funciones trigonométricas.
Recordemos las fórmulas del seno y el coseno de la suma y la diferencia de ángulos:
[1] sen coscossen sen [2] sen sen coscos cos
[3] sen coscossen sen [4] sen sen coscos cos
Sumando [1] y [3] se deduce:
cossen 2sen sen sen sen 2
1cossen
Restando [1] y [3] se deduce:
sen cos2sen sen sen sen 2
1sen cos
Sumando [2] y [4] se deduce:
coscos2 cos cos cos cos2
1coscos
Restando [2] y [4] se deduce:
sen sen 2 cos cos
cos cos2
1sen sen
•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 22,5º.
383,02
22
4
22
2
2/21
2
º45cos1
2
º45sen 22,5ºsen
923,02
22
4
22
2
2/21
2
º45cos1
2
º45cosº5,22cos
414,022
22
2/21
2/21
º45cos1
º45cos1
2
º45tanº5,22tan
Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas
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2.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se denominan ecuaciones trigonométricas a aquéllas en las que la incógnita está afectada por
alguna razón trigonométrica. Por ejemplo, xx 2sen 4cos45 .
Soluciones. Al resolver una ecuación trigonométrica debemos tratar de llegar a una igualdad de
los tipos “ ax sen ”, “ ax cos ” ó “ ax tan ” para luego calcular el ángulo x. Además,
contando el número de vueltas en la circunferencia tenemos:
ax sen kax º360arcsen , para algún k ℤ.
ax cos kax º360arccos , para algún k ℤ.
ax tan kax º360arctan , para algún k ℤ.
Así, en general, una ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones: una o varias por cada
giro en la circunferencia goniométrica.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas. Las ecuaciones trigonométricas pueden ser muy
diferentes unas de otras, y no existe un método que sirva para resolverlas todas. Veamos
algunos ejemplos que recogen las principales estrategias de resolución.
En caso de que aparezcan varias razones trigonométricas, conviene utilizar la relación entre las
distintas razones para expresarlas todas en función de una de ellas. Además, podemos tener que
emplear las fórmulas de las operaciones con ángulos.