VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modeliai
2011-09-20Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264
Maddala G.S., Kajal Lahiri Introduction to Econometrics., 2010 Chapter 12, psl.481-508
VU EF V.Karpuškienė
Paskaitos dalys
• ARIMA modelio struktūra
• Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra
• Stacionarumo užtikrinimas
• ARIMA modelio įvertinimas
• Modelio diagnostika
• Prognozavimas ARIMA modelio pagalba
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūra
• ARIMA modelių tikslas – prognozuoti nagrinėjamus ekonominius reiškinius
• Pagrindinė idėja – prognozės sudaromos panaudojant nagrinėjamo reiškinio pradinių duomenų ir modelio paklaidų pokyčių ypatumus.
VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modelio struktūra
• ARIMA –Autoregressive Integrated Moving Average Process
• ARIMA modelio struktūra:– autoregresinis (AR) procesas– Integravimo I procesas– slenkamųjų vidurkių (MA) procesas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA modelis
yt + 1yt-1 +...+ pyt-p + 1t-1 + ...+ qt-q + t,
AR procesas MA procesas
Gali būti:
yt + β٠t + 1yt-1 +...+ pyt-p + 1t-1 + ...+ qt-q + t,
yt 1yt-1 +...+ pyt-p + 1t-1 + ...+ qt-q + t,
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesas
AR(p)• Autoregresinis procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus
ankstesniaisiais stebėjimais:
Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t
yt –laiko eilutės stebėjimai
1...1 – autoregresinio proceso parametrai
t – atsitiktinės paklaidos,
p – autoregresinio proceso eilė.
p
ititit YY
1
VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesas
tp
pt LLLY )...1( 221
Kur L –lago operatorius
itti YYL
Lago operatoriaus savybė:
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesas
MA(q)
• Slenkamųjų vidurkių procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus Yt modelio paklaidomis:
Yt = t + 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q
q
jjtjttY
1
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesas
tq
qt LLLY )...1( 221
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio struktūra
ARMA (p,q) modelis
p
i
q
jjtjtitit YY
1 1
Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t + 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelį galima sudaryti
stacionarioms arba silpno stacionarumo laiko eilutėms !!!!!!!!!!!!!!!!!
Stacionarumas
• Griežtas stacionarumas
• Silpnas stacionarumas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio griežtas stacionarumas
1) laiko eilutės vidurkis pastovus:E(Yt) =y=const1;
(suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos grupės vidurkis turi būti toks pats)
2) laiko eilutės dispersija pastovi:E(Yt-y
)2=2
y=const2;(kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda)
3) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko:
E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k=const3;
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio silpnas stacionarumas
1) laiko eilutės vidurkis pastovus:
E(Yt) =y=const1; (suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos
grupės vidurkis turi būti toks pats)
(kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda)
2) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko:
E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k
VU EF V.Karpuškienė
Griežtai stacionari laiko eilutė
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
VU EF V.Karpuškienė
Nestacionari laiko eilutėNestacionarumas dėl trendo
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
VU EF V.Karpuškienė
Silpnai stacionari laiko eilutė(Nestacionarumas dėl dispersijos)
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
VU EF V.Karpuškienė
Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra
Pirmas žingsnis: ARMA proceso stacionarumo nustatymas
Antras žingsnis: Užtikrinamas stacionarumas integruojant laiko eilutę
Trečias žingsnis: ARMA proceso p ir q eilės nustatymas
Ketvirtas žingsnis: ARMA modelio ir jo alternatyvų vertinimas
Penktas žingsnis: Modelio diagnostika
VU EF V.Karpuškienė
Laiko eilutės stacionarumo nustatymas
• Grafinė analizė
• Autokoreliacijos funkcijų analizė
• Dispersijos pastovumo analizė
• Vienetinės šaknies testai (DF (Dickey Fuller) ir ADF
Grafinė analizė
VU EF V.Karpuškienė
600
800
1,000
1,200
1,400
1,600
1,800
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
DU_PRIV
400,000
450,000
500,000
550,000
600,000
650,000
700,000
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
DIRB_PRIV
VU EF V.Karpuškienė
Laiko eilutės stacionarumo nustatymas
ACF -Autokoreliacijos analizė
T
tt
T
ktktt
k
yy
yyyyr
1
2
1
)(
))((
kur rk – k-ojo lago autokoreliacijos koeficientas,
PAC -Dalinės autokoreliacijos funkcija
ktkttt yyyy ˆ...ˆˆˆ 22110
Dalinės koreliacijos koeficientai yra yt autoregresijos parametrų įverčiai ρi
VU EF V.Karpuškienė
Autokoreliacijos funkcijų analizė(ACF ir PACF)
Nestacionarus procesas pagal kovariaciją
Dirb_priv korelogramaDate: 09/24/13 Time: 12:56Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
1 0.952 0.952 51.677 0.0002 0.884 -0.22... 97.145 0.0003 0.798 -0.20... 134.95 0.0004 0.700 -0.13... 164.59 0.0005 0.596 -0.06... 186.54 0.0006 0.494 -0.01... 201.90 0.0007 0.397 0.003 212.03 0.0008 0.305 -0.02... 218.16 0.0009 0.216 -0.08... 221.31 0.000
1... 0.142 0.063 222.69 0.0001... 0.077 -0.00... 223.11 0.0001... 0.021 -0.01... 223.14 0.000
Du_priv korelograma
Date: 09/24/13 Time: 12:59Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
1 0.964 0.964 52.983 0.0002 0.922 -0.09... 102.37 0.0003 0.876 -0.06... 147.89 0.0004 0.828 -0.05... 189.37 0.0005 0.775 -0.08... 226.48 0.0006 0.720 -0.06... 259.10 0.0007 0.662 -0.04... 287.31 0.0008 0.605 -0.01... 311.40 0.0009 0.549 -0.03... 331.63 0.000
1... 0.492 -0.02... 348.29 0.0001... 0.437 -0.01... 361.73 0.0001... 0.383 -0.03... 372.28 0.000
VU EF V.Karpuškienė
EViews: View Correlogram
Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF)Stacionarus procesas pagal kovariaciją
Date: 09/24/13 Time: 14:18Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 52
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
1 -0.17... -0.17... 1.6876 0.1942 -0.13... -0.16... 2.6650 0.2643 0.008 -0.05... 2.6685 0.4464 0.229 0.211 5.7436 0.2195 -0.16... -0.09... 7.4003 0.1936 -0.15... -0.15... 8.7996 0.1857 -0.06... -0.17... 9.0695 0.2488 -0.04... -0.20... 9.1939 0.3269 -0.03... -0.06... 9.2601 0.414
1... -0.08... -0.10... 9.7153 0.4661... 0.180 0.163 11.941 0.3681... -0.10... -0.09... 12.773 0.386
Box – Pierce Q – statistika
VU EF V.Karpuškienė
Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF)
Box – Pierce Q – statistika – tai tiesinė kvadratinių autokoreliacijų kombinacija
m
kkm mXrTQ
1
22 )(~
Box – Pierce Q – statistika tikrinama jungtinė hipotezė, H0: Iki m-tojo lago reikšmingos autokoreliacijos nėra
HA: Iki m-tojo lago yra bent vienas koreliacijos koef yra
reikšmingas
Dispersijos pastovumo analizė
• Atliekame laiko eilutės pogrupių dispersijų lygybės testą. (statistika)
VU EF V.Karpuškienė
Test for Equality of Variances of DIRB_PRSACategorized by values of DIRB_PRSADate: 09/24/13 Time: 17:28Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54
Method df Value Probability
Bartlett 2 1.303051 0.5212Levene (2, 51) 1.843097 0.1687Brown-Forsythe (2, 51) 1.308886 0.2790
Category Statistics
Mean Abs. Mean Abs.DIRB_PRSA Count Std. Dev. Mean Diff. Median Diff.[400000, 50... 15 24646.85 20277.94 20254.52[500000, 60... 21 29670.16 25943.73 25408.09[600000, 70... 18 33275.57 29254.65 28981.61
All 54 83920.53 25473.54 25167.71
Test for Equality of Variances of DU_PRIVSACategorized by values of DU_PRIVSADate: 09/24/13 Time: 17:32Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54
Method df Value Probability
Bartlett 2 11.97584 0.0025Levene (2, 51) 7.832446 0.0011Brown-Forsythe (2, 51) 6.695240 0.0026
Category Statistics
Mean Abs. Mean Abs.DU_PRIVSA Count Std. Dev. Mean Diff. Median Diff.[500, 1000) 24 81.64915 67.74856 67.74856
[1000, 1500... 7 160.5155 126.9723 124.1720[1500, 2000... 23 59.02774 48.79887 48.49161
All 54 390.7584 67.35454 66.86067
VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modeliai
I(d) – integruotumo eilė– Nestacionari laiko eilutė turi būti transformuojama į
stacionarią. Tam paprastai naudojama integravimo procedūra:
yt= yt- yt-1.– Jei pirmos eilės skirtumai taip pat nestacionarūs,
taikomas antros eilės integravimas (ir t.t.):
yt= yt- yt-1= (yt- yt-1) – (yt-1- yt-2) = yt - 2yt-1 + yt-2.– Galima imti ir logaritmų skirtumines transformacijas
log(yt) = log(yt)- log(yt-1)
VU EF V.Karpuškienė
ARIMA modeliaiIntegruotumo eilės nustatymas
• Autokoreliacijos funkcijų analizė
• Mažiausios dispersijos testas
• Vienetinės šaknies testai: Dickey Fuller ir ADF testai
Autokoreliacijos funkcijų analizėintegruotumo eilei nustatyti
Date: 09/24/13 Time: 18:15Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
1 0.964 0.964 52.983 0.0002 0.922 -0.09... 102.37 0.0003 0.876 -0.06... 147.89 0.0004 0.828 -0.05... 189.37 0.0005 0.775 -0.08... 226.48 0.0006 0.720 -0.06... 259.10 0.0007 0.662 -0.04... 287.31 0.0008 0.605 -0.01... 311.40 0.0009 0.549 -0.03... 331.63 0.000
1... 0.492 -0.02... 348.29 0.0001... 0.437 -0.01... 361.73 0.0001... 0.383 -0.03... 372.28 0.000
Du_priv_pradinių duomenų korelograma
(d(Du_priv) pradinių duomenų skirtumų korelograma
Date: 09/24/13 Time: 18:17Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 53
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
1 0.514 0.514 14.782 0.0002 0.436 0.235 25.668 0.0003 0.269 -0.03... 29.871 0.0004 0.265 0.096 34.055 0.0005 0.126 -0.08... 35.023 0.0006 0.054 -0.08... 35.201 0.0007 -0.08... -0.13... 35.624 0.0008 -0.14... -0.10... 36.961 0.0009 -0.14... 0.019 38.350 0.000
1... -0.26... -0.18... 43.070 0.0001... -0.21... 0.039 46.153 0.0001... -0.29... -0.10... 52.134 0.000
Date: 09/24/13 Time: 18:25Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 52
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
1 -0.39... -0.39... 8.7348 0.0032 0.085 -0.08... 9.1421 0.0103 -0.18... -0.22... 11.161 0.0114 0.143 -0.01... 12.356 0.0155 -0.05... -0.02... 12.563 0.0286 0.067 0.023 12.841 0.0467 -0.09... -0.04... 13.388 0.0638 -0.05... -0.14... 13.592 0.0939 0.127 0.064 14.639 0.101
1... -0.17... -0.17... 16.764 0.0801... 0.134 -0.01... 17.993 0.0821... -0.24... -0.22... 22.025 0.037
(Du_privm2) pradinių duomenų antrųjų skirtumų korelograma
VU EF V.Karpuškienė
Mažiausios dispersijos testas
• Procedūra:– Sudarome tris laiko eilutes:
• Yt
Yt =dYt
Yt= d(Yt, 2)
– Integravimo eilei nustatyti išrenkame duomenų eilutę su mažiausia dispersija
VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai
• Integruotumo eilei nustatyti dažniausiai naudojami vienetinės šaknies testai – Išplėstinis Dickey-Fuller (augmented Dickey-
Fuller) (ADF) – Phillips-Perron testas (PP testas).
VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai ADF testas
• Taikant ADF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją:
DF -testas
• ADF -testas
• Ši regresija pertvarkoma į tokią:
t
k
jjtktt yycy
11
ttt ycy 11
ttt ycy 1
VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai DF testas
• Taikant DF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją:
• Ši regresija pertvarkoma į tokią:
ttt ycy 11
ttt ycy 1
ttt ycy 1
VU EF V.Karpuškienė
Vienetinės šaknies testai ADF testas
H0: (kintamasis Yt nėra stacionarus ir turi būti integruotas bent 1-a eile):
H1 : kintamasis Yt yra stacionarus
Testo statistika:
Išvada: galime atmesti hipotezę H0 , jeigu
0
0
)ˆ(
ˆ
Set
)ˆ(
ˆ
Set
VU EF V.Karpuškienė
ADF testas
• Jeigu laiko eilutė yra integruota pirma eile, tikrinama ar ji yra integruota antra eile
ttt YcY 12
ADF testas
VU EF V.Karpuškienė
Null Hypothesis: DU_PRIVSA has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic 1.375023 0.9559Test critical values: 1% level -2.610192
5% level -1.94724810% level -1.612797
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(DU_PRIVSA)Method: Least SquaresDate: 09/24/13 Time: 18:47Sample (adjusted): 2000Q3 2013Q2Included observations: 52 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
DU_PRIVSA(-1) 0.005552 0.004037 1.375023 0.1753D(DU_PRIVSA(-1)) 0.537277 0.122478 4.386730 0.0001
R-squared 0.251045 Mean dependent var 18.71730Adjusted R-squared 0.236066 S.D. dependent var 37.63006S.E. of regression 32.88992 Akaike info criterion 9.861912Sum squared resid 54087.33 Schwarz criterion 9.936959Log likelihood -254.4097 Hannan-Quinn criter. 9.890683Durbin-Watson stat 2.173218
Null Hypothesis: D(DU_PRIVSA) has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.509771 0.0007Test critical values: 1% level -2.610192
5% level -1.94724810% level -1.612797
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(DU_PRIVSA,2)Method: Least SquaresDate: 09/24/13 Time: 18:48Sample (adjusted): 2000Q3 2013Q2Included observations: 52 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(DU_PRIVSA(-1)) -0.386012 0.109982 -3.509771 0.0009
R-squared 0.194357 Mean dependent var -0.564083Adjusted R-squared 0.194357 S.D. dependent var 36.96162S.E. of regression 33.17587 Akaike info criterion 9.860566Sum squared resid 56132.57 Schwarz criterion 9.898090Log likelihood -255.3747 Hannan-Quinn criter. 9.874952Durbin-Watson stat 2.262367
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
Nustatyti AR ir MA procesus geriausiai aprašančius (generuojančius) nagrinėjamą reiškinį. Parenkamos kelios alternatyvos
• ADF testo pagalba nustatoma integravimo eilė (I)
• Nustatoma AR(p) proceso vėlavimo eilė p
• Nustatoma MA(q) proceso vėlavimo eilė q
VU EF V.Karpuškienė
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymas• AR(p) proceso eilė p nustatoma tiriant dalinės
autokoreliacijos koeficientus PAC – (dalinės autokoreliacijos koeficientas parodo yt koreliavimą (sąryšį) tik
su konkretaus lago (k) Yt-k reikšmėmis, t.y. eliminuojant kitų lagų Yt-i, ik įtaką).
• Dalinės koreliacijos koeficientai PAC yra Yt autoregresijos parametrų įverčiai
ktkttt yyyy ˆ...ˆˆˆ 22110
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymasAR procesui būdinga tai, jog dalinės
autokoreliacijos koeficientas PAC p vėlavimų yra didelis (1,..., p), o likusiuose vėlavimuose dalinė autokoreliacija (p+1,..., p) yra nebereikšminga.
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
AR(1) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
AR(2) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymas
• Didėjant vėlavimo periodui k AR(1) proceso autokoreliacijos koeficientas AC eksponentiškai mažėja
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
•MA proceso eilė nustatoma tiriant autokoreliacijos koeficientus AC
• rk koeficientas parodo Yt bendrą koreliaciją su visais Yt-1,..., Yt-k:
n
tt
kn
tktt
k
yy
yyyyr
1
2
1
)(
))((
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
• MA procesui būdinga tai, jog autokoreliacijos koeficientas AC yra didelis q vėlavimų (r1,..., rq).
• Likusiuose vėlavimuose autokoreliacija yra nebereikšminga (rq+1,...,rk).
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
MA(1) AC – Autokoreliacijos grafikas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
MA(2) AC – Autokoreliacijos grafikas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
Procesas Autokoreliacijos funkcija (ACF)
Dalinės autokoreliacijos funkcija (PACF)
AR (1) Eksponentiškai mažėja Po pirmo vėlavimo didelės reikšmės kituose tampa visiškai nežymi
AR (p) Mažėja eksponentiškai ar silpstančiais priešingų ženklų cikliniais svyravimais
p vėlavimų - didelės reikšmės, po to staiga krenta iki beveik nulio
MA (1) Po pirmo vėlavimo didelės reikšmės kituose tampa visiškai nežymi
Eksponentiškai mažėja
MA (q) p vėlavimų - didelės reikšmės, po to staiga krenta iki nulio
Mažėja eksponentiškai ar silpstančiais priešingų ženklų cikliniais svyravimais
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio parametrų (koeficientų) vertinimas
• Parametrų įvertinimas: kartu yra vertinami vėluojančių Yt-k kintamųjų ir paklaidų parametrai, todėl naudojamas maksimalaus tikėtinumo metodas, taikant iteracinę optimizavimo procedūrą.
• EViews: ls d(Y)=C ar(1) ma(1)
Regresijos parametrų vertinimo metodai
• MKM – rasti tokius parametrų β1, β2 įverčius, kurie minimizuoja modelio paklaidas, t.y atsitiktinę modelio dalį.
• MTM – rasti tokius parametrų įverčius β1, β2, kurie maksimizuoja sisteminės dalies ir Yi atitikimo tikimybę
Maksimalaus tikėtinumo metodas
Yt = β1 + β2Yt-1+ut
Tarkim nagrinėjame porinę priklausomybę, kurios Yt – atsitiktinis dydis pasiskirstęs N(, σ2)
MTM – esmė
max),ˆ,...ˆ,ˆ...,( 22121 nn YYYYYYf
Maksimalaus tikėtinumo metodas
),( 2121 tt YYf =
2
2121 )(
2
1exp
2
1
tt YY
)ln(2ln1(2
2
T
eTl
Maksimalaus tikėtinumo funkcija
max
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
• Vertinimo kriterijai – Modelio paklaidų autokoreliacijos AC grafiko
vertinimas– Ljung-Box testas (Q statistika)– R2, adj.R2, AIC ir Schwarz ir kt.
determinuotumo kriterijai
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Modelio paklaidų AC grafiko vertinimas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Nereikšmingos modelio paklaidos
EViews: View Correlogram
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
AC grafiko vertinimas
Reikšmingos modelio paklaidos
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ljung-Box testas (Q statistika)
qpkriTTQ i
k
ik
22
1
1
~2
H0: nėra paklaidų autokoreliacijos
H1: yra paklaidų autokoreliacija
kur T – stebėjimų skaičius, k – vėlavimo periodų skaičius, ri – i-ojo lago
autokoreliacijos įvertis, - reikšmingumo lygmuo, p – AR, o q – MA eilė.
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ljung-Box testas (Q statistika)
– Išvada:• Jei apskaičiuota Q - statistikos reikšmė yra mažesnė
už kritinę teorinio 2(k-p-q) skirstinio reikšmę (ar pagal Q-statistiką nustatyta reikšmingumo tikimybė yra didesnė už pasirinktą reikšmingumo lygmenį), daroma 1- reikšmingumo išvada, kad paklaidos neautokoreliuoja ir modelis sudarytas adekvačiai.
VU EF V.Karpuškienė
Paklaidų korelograma
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ką daryti, jeigu yra reikšmingų paklaidų?
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ką daryti, jeigu yra reikšmingų paklaidų?
• Išeitis:– Įtraukti į sudarytą modelį atitinkamo vėlavimo
skaičiaus kintamąjį. • Didinant AR ir MA eilę, visada gali būti užtikrintas likučių
nereikšmingumas
• Rizika: – Didinant AR ir MA eilę didėja tikimybė aprašyti ne
pagrindinį dinamikos ypatumą, o atsitiktinius nuokrypius
– Įtraukti ar ne? • Atsakymas: tikslinga apskaičiuoti AIC ir Schwarcz kriterijus
jie leidžia įvertinti papildomojo kintamojo įtraukimo į modelį pagrįstumą
Determinuotumo rodikliai
• R2 ir adjR2
• AIC – Akaike Information Criterion
• FPE – Finite Prediction Error
• SBC –Schwarz Bayesian Criterior
• HQC - Hannan and Quin Criterion
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba
• Prognozuojant ARMA modeliais– į identifikuoto ir įvertinto modelio vieno periodo
prognozės išraišką įstatomos žinomos (yt,..., yt-p+1) ir pagal modelio išraišką apskaičiuotos (t,..., t-q+1) reikšmės.
– Vienintelė laiko momentu t nežinoma reikšmė – laukiama ateities paklaida E(t+1) – yra lygi nuliui.
111111t ˆˆ...ˆˆˆ...ˆˆy tqtqtptpt yy
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba
Prognozuojant ARMA modeliais• Norint gauti tolesnę prognozę, naudojami ir prognozuojami dydžiai. Pavyzdžiui,
dviejų periodų prognozė:
• Todėl pirmiausia apskaičiuojama t+1 laikotarpio prognozė, toliau t+2, t+3 ir t.t.
2112112t ˆˆ...ˆˆˆ...ˆˆy qtqtptpt yy
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba
Prognozuojant ARIMA modeliais
•ARIMA modeliuose vietoje pirminių reikšmių įsistatome pirmos eilės skirtumų reikšmes. Prognozuojamos ne Yt reikšmės, o jų pirmos eilės skirtumų dydžiai (Yt)
•Prognozuojamos absoliutinės Yt reikšmės išskaičiuojame iš skirtuminės schemos: Yt+1Yt+1- yt Yt+1Yt+Yt+1.
VU EF V.Karpuškienė
Prognozių tikslumo rodikliaiABSOLIUTŪS TIKSLUMO RODIKLIAI
• ME - vidutinė paklaida: [ME 1/n (yt - yPt)]– Adekvačiai sudaryto modelio ME lygi ar labai artima
nuliui.
• MAE – vidutinė absoliutinė paklaida:
MAE 1/n |yt - yPt|– Kai lyginamas faktinės ir teorinės reikšmės atitikimas šis
rodiklis vadinamas vidutiniu absoliutiniu nuokrypiu
VU EF V.Karpuškienė
Prognozių tikslumo rodikliai
• SSE – prognozės likučių kvadratų suma:• SSE (yt - yPt)2.
• MSE – vidutinė kvadratinė paklaida:• MSE 1/(n-k ) (yt - yPt)2, kur n- stebėjimų, k –
modelio parametrų skaičius.• RMSE – šaknis iš vidutinės kvadratinės
paklaidos:
• AIC – Akaike’s informacijos kriterijus:• BIC (SBC) – Schwarz kriterijus:
21ptt yy
knRMSE
VU EF V.Karpuškienė
Prognozių tikslumo rodikliaiSantykiniai rodikliai
•MAPE – vidutinė absoliutinė procentinė paklaida:MAPE 100/n |(yt - yPt)/ yt|.
MPE – vidutinė procentinė paklaida:MPE 100/n [(yt - yPt)/ yt].
MAPE ir MPE yra mažai prasmingi, kai faktinė reikšmė yra artima nuliui (yt0), nes
rodiklių reikšmė tada artėja prie begalybės.R2 – determinacijos koeficientas
Adj. R2 – koreguotas determinacijos koeficientas
Box-Jenkins procedūros schema
Duomenų paruošimas: a )logarimavimas dispersijai stabilizuoti
b) integravimas trendui eliminuoti
Modelio sudarymas: a) analizuojami duomenų, ACF, PACF diagramos
Parametrų vertinimas : a ) modelio parametrų vertinimas
b) integravimas trendui eliminuoti
Modelio adekvatumo verinimas: a ) paklaidų ACF ir PACF b) Ljung-Box testas
Prognozavimas : a ) modelio naudojimas prognozėms
Ar paklaidos yra baltasis triukšmas? Ne
Taip
Nu
statymas
Vertin
imas ir
diagfn
ostika
Taikymas