ARMA/ARIMA modeliai. 2011-09-20. Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264 - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modeliai
2011-09-20Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264
su konkretaus lago (k) Yt-k reikšmėmis, t.y. eliminuojant kitų lagų Yt-i, ik įtaką).
• Dalinės koreliacijos koeficientai PAC yra Yt autoregresijos parametrų įverčiai
ktkttt yyyy ˆ...ˆˆˆ 22110
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymasAR procesui būdinga tai, jog dalinės
autokoreliacijos koeficientas PAC p vėlavimų yra didelis (1,..., p), o likusiuose vėlavimuose dalinė autokoreliacija (p+1,..., p) yra nebereikšminga.
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
AR(1) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
AR(2) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
AR(p) nustatymas
• Didėjant vėlavimo periodui k AR(1) proceso autokoreliacijos koeficientas AC eksponentiškai mažėja
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
•MA proceso eilė nustatoma tiriant autokoreliacijos koeficientus AC
• rk koeficientas parodo Yt bendrą koreliaciją su visais Yt-1,..., Yt-k:
n
tt
kn
tktt
k
yy
yyyyr
1
2
1
)(
))((
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
• MA procesui būdinga tai, jog autokoreliacijos koeficientas AC yra didelis q vėlavimų (r1,..., rq).
• Likusiuose vėlavimuose autokoreliacija yra nebereikšminga (rq+1,...,rk).
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
MA(1) AC – Autokoreliacijos grafikas
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
MA(q) nustatymas
MA(2) AC – Autokoreliacijos grafikas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas
Procesas Autokoreliacijos funkcija (ACF)
Dalinės autokoreliacijos funkcija (PACF)
AR (1) Eksponentiškai mažėja Po pirmo vėlavimo didelės reikšmės kituose tampa visiškai nežymi
AR (p) Mažėja eksponentiškai ar silpstančiais priešingų ženklų cikliniais svyravimais
p vėlavimų - didelės reikšmės, po to staiga krenta iki beveik nulio
MA (1) Po pirmo vėlavimo didelės reikšmės kituose tampa visiškai nežymi
Eksponentiškai mažėja
MA (q) p vėlavimų - didelės reikšmės, po to staiga krenta iki nulio
Mažėja eksponentiškai ar silpstančiais priešingų ženklų cikliniais svyravimais
VU EF V.Karpuškienė
ARMA/ARIMA modelio parametrų (koeficientų) vertinimas
• Parametrų įvertinimas: kartu yra vertinami vėluojančių Yt-k kintamųjų ir paklaidų parametrai, todėl naudojamas maksimalaus tikėtinumo metodas, taikant iteracinę optimizavimo procedūrą.
• EViews: ls d(Y)=C ar(1) ma(1)
Regresijos parametrų vertinimo metodai
• MKM – rasti tokius parametrų β1, β2 įverčius, kurie minimizuoja modelio paklaidas, t.y atsitiktinę modelio dalį.
• MTM – rasti tokius parametrų įverčius β1, β2, kurie maksimizuoja sisteminės dalies ir Yi atitikimo tikimybę
Maksimalaus tikėtinumo metodas
Yt = β1 + β2Yt-1+ut
Tarkim nagrinėjame porinę priklausomybę, kurios Yt – atsitiktinis dydis pasiskirstęs N(, σ2)
MTM – esmė
max),ˆ,...ˆ,ˆ...,( 22121 nn YYYYYYf
Maksimalaus tikėtinumo metodas
),( 2121 tt YYf =
2
2121 )(
2
1exp
2
1
tt YY
)ln(2ln1(2
2
T
eTl
Maksimalaus tikėtinumo funkcija
max
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
• Vertinimo kriterijai – Modelio paklaidų autokoreliacijos AC grafiko
vertinimas– Ljung-Box testas (Q statistika)– R2, adj.R2, AIC ir Schwarz ir kt.
determinuotumo kriterijai
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Modelio paklaidų AC grafiko vertinimas
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Nereikšmingos modelio paklaidos
EViews: View Correlogram
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
AC grafiko vertinimas
Reikšmingos modelio paklaidos
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ljung-Box testas (Q statistika)
qpkriTTQ i
k
ik
22
1
1
~2
H0: nėra paklaidų autokoreliacijos
H1: yra paklaidų autokoreliacija
kur T – stebėjimų skaičius, k – vėlavimo periodų skaičius, ri – i-ojo lago
autokoreliacijos įvertis, - reikšmingumo lygmuo, p – AR, o q – MA eilė.
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ljung-Box testas (Q statistika)
– Išvada:• Jei apskaičiuota Q - statistikos reikšmė yra mažesnė
už kritinę teorinio 2(k-p-q) skirstinio reikšmę (ar pagal Q-statistiką nustatyta reikšmingumo tikimybė yra didesnė už pasirinktą reikšmingumo lygmenį), daroma 1- reikšmingumo išvada, kad paklaidos neautokoreliuoja ir modelis sudarytas adekvačiai.
VU EF V.Karpuškienė
Paklaidų korelograma
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ką daryti, jeigu yra reikšmingų paklaidų?
VU EF V.Karpuškienė
Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas
Ką daryti, jeigu yra reikšmingų paklaidų?
• Išeitis:– Įtraukti į sudarytą modelį atitinkamo vėlavimo
skaičiaus kintamąjį. • Didinant AR ir MA eilę, visada gali būti užtikrintas likučių
nereikšmingumas
• Rizika: – Didinant AR ir MA eilę didėja tikimybė aprašyti ne
pagrindinį dinamikos ypatumą, o atsitiktinius nuokrypius
– Įtraukti ar ne? • Atsakymas: tikslinga apskaičiuoti AIC ir Schwarcz kriterijus
jie leidžia įvertinti papildomojo kintamojo įtraukimo į modelį pagrįstumą
Determinuotumo rodikliai
• R2 ir adjR2
• AIC – Akaike Information Criterion
• FPE – Finite Prediction Error
• SBC –Schwarz Bayesian Criterior
• HQC - Hannan and Quin Criterion
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba
• Prognozuojant ARMA modeliais– į identifikuoto ir įvertinto modelio vieno periodo
prognozės išraišką įstatomos žinomos (yt,..., yt-p+1) ir pagal modelio išraišką apskaičiuotos (t,..., t-q+1) reikšmės.
– Vienintelė laiko momentu t nežinoma reikšmė – laukiama ateities paklaida E(t+1) – yra lygi nuliui.
111111t ˆˆ...ˆˆˆ...ˆˆy tqtqtptpt yy
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba
Prognozuojant ARMA modeliais• Norint gauti tolesnę prognozę, naudojami ir prognozuojami dydžiai. Pavyzdžiui,
dviejų periodų prognozė:
• Todėl pirmiausia apskaičiuojama t+1 laikotarpio prognozė, toliau t+2, t+3 ir t.t.
2112112t ˆˆ...ˆˆˆ...ˆˆy qtqtptpt yy
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba
Prognozuojant ARIMA modeliais
•ARIMA modeliuose vietoje pirminių reikšmių įsistatome pirmos eilės skirtumų reikšmes. Prognozuojamos ne Yt reikšmės, o jų pirmos eilės skirtumų dydžiai (Yt)
•Prognozuojamos absoliutinės Yt reikšmės išskaičiuojame iš skirtuminės schemos: Yt+1Yt+1- yt Yt+1Yt+Yt+1.