Mathematische Modelle in der Biologie Biologische Wellen ... Gliederung 1 Ziele 2 Hintergrund 3 Ausbreitung 4 Fortschreitende Welle 5 Fisher-Kolmogoroff-Gleichung Asymptotische Lösung

Mathematische Modelle in der BiologieBiologische Wellen:

Einzelspeziesmodell - Teil 1

Andrea Schneider

05.02.2013Literatur: J.D. Murray: Mathematical Biology: I. An

Introduction, Third Edition, Springer

Gliederung

1 Ziele

2 Hintergrund

3 Ausbreitung

4 Fortschreitende Welle

5 Fisher-Kolmogoroff-GleichungAsymptotische LösungStabilität

6 Dichteabhängige DiffusionsreaktionExakte Lösungen

7 Fazit

Ziele

• Vorkommen von fortschreitenden Wellen.

• Beschreibung von fortschreitenden Wellen.

• Betrachtung von Simulationen fortschreitender Wellen.

• Anwendungsbereiche von Modellen fortschreitenderWellen.

Hintergrund

Fortschreitende Wellen sind an dem Entwicklungsprozess von• chemischen Konzentrationen• mechanischen Verformungen und• elektrischen Signalen

beteiligt.

Beispiele.:• wellenförmige Ereignisse im sich entwickelnden Embryo.• Ausbreitung von Ca2+-Wellen auf der Oberfläche von

Medaka-Eiern.

• chem. Konz.-Welle bei der Belousov-Zhabotinskij-Reaktion

AusbreitungBeispiel: Abläufe im sich entwickelnden Embryo

• Realer Wertebereich für Diffusionskoeffizienten:

D = 10−9cm2sec−1 − 10−11cm2sec−1

• Formale Betrachtung der Ausbreitung:

Standard-Diffusionsgleichung:

dudt

= Dd2udx2 D : Diffusionskoeffizient

Betrachte:O(L2/D), L = 1mm⇒ O(107 − 109 sec)→ zu lang.

→ Einfache Ausbreitung nicht Hauptmedium derInformationsübermittlung über eine bestimmte Distanz.

Fortschreitende Wellen

DefinitionEine fortschreitende Welle ist eine Welle, die sich ausbreitetohne ihre Form zu ändern.Formal:

u(x , t) = u(x − ct) = u(z), z = x − ct

c: Geschwindigkeitz: Wellenvariable

Fortschreitende Wellen

Standard-Diffusionsgleichung:

dudt

= Dd2udx2

• Beschreibt den Mechanismus der Ausbreitung.• Lösungsansatz:

Dd2udz2 + c

dudz

= 0⇒ u(z) = A + B · e(−czD )

u beschränkt für alle z ⇒ B = 0, da u →∞ für z → −∞.Somit ist u(z) = A = const.⇒ keine Wellenlösung

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Einfache Ausbreitung gekoppelt mit Bewegungsterm f (u):

dudt

= f (u) + Dd2udx2

Nichtlineare Reaktions-Diffusions-Gleichung:

dudt

= ku(1− u) + Dd2udx2

k ,D: positive Parameter

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Fakten:• Ursprünglich stochastisches Modell für die Ausbreitung

bevorzugter Gene in einer Population. (Fisher, 1937)• Ausführliche Diskussion der Gleichung durch Fife (1979),

Britton (1986) und Grindrod (1996)• Vereinigung von logistischem Wachstum mit

Diffusionsterm.• Analyse der Diffusionsausbreitung von Einzelspezies.• Erlaubt die Ermittlung von Wellenfrontenlösungen.

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

• Variablentransformation:

dudt

= u(1− u) +d2udx2

• u = 0 und u = 1 konstante Lösungen (stationäreZustände)

• Lösungen einer Wellenfront für 0≤ u ≤ 1?Wellenlösung:

u(x , t) = U(z), z = x − ct , c ≥ 0

c: Wellengeschwindigkeit• Substitution von U(z):

U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

• Wellenfrontlösungen für z →∞ und z → −∞Gleichgewichtszustände erreicht⇒ Bestimmung von c mit lim

z→∞U(z) = 0 und

limz→−∞

U(z) = 1.

• Setze:V = U ′, V ′ = −cV − U(1− U)

• Daraus ergeben sich zwei singuläre Punkte:

• (0/0) mit Eigenwert λ =12· (−c ±

√c2 − 4)

→ stabiler Knoten für c2 > 4 und stabile Spirale für c2 < 4

• (1/0) mit Eigenwert λ =12· (−c ±

√c2 + 4)

→ Sattelpunkt.

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Trajektorien der Gleichung U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0:

Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction

Bereich der Wellengeschwindigkeit: c ≥ cmin = 2√

kD

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Betrachtung der Wellengeschwindigkeit c:

• U(z) abhängig von c.• c abhängig von Anfangsbedingung u(x ,0) für x → ±∞.

• Für kleine u gilt:dudt

= u +d2udx2

• Betrachte Anfangsbedingung

u(x ,0) ∼ A · e−ax ; x →∞

⇒ u(x , t) = A · e−a(x−ct) für t > 0.

⇒ c = a +1a, 0 < a ≤ 1, c = 2, a ≥ 1.

⇒Wellengeschwindigkeit c ≥ 2.

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Abbildung : J.D.Murray,Mathematical Biology, An Introduction

Fisher-Kolmogoroff-Gleichung

Beispiele für die Anwendung derFisher-Kolmogoroff-Gleichung:(Verschiedene Modelle räumlicher Ausbreitung)• Das Fortschreiten von Genkultur-Wellen. (Aoki,1987)• Die Ausbreitung der frühen Landwirtschaft in Europa.

(Ammermann und Cavali-Sforza,1971,1983)• Modellierung einer Invasion von einer oder mehrerer

Spezies in ein neues Gebiet.(Bsp.: Kaninchenplage in Australien)

Asymptotische Lösung

• Keine analytische Lösung für allgemeines c für:

U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0

• Nährungslösung für ε =1c2 ≤ 0,25; 0 < ε << 1

• Aus U(z) = g(ξ) und ξ =zc= ε

12 z folgt:

εd2gdξ2 +

dgdξ

+ g(1− g) = 0; 0 < ε ≤ 1c2

min= 0,25

• Randbedingungen: g(−∞) = 1,g(∞) = 0

• Wahl von g(0) =12

ergibt eindeutige Lösung.

Asymptotische Lösung

• Ansatz:g(ξ, ε) = g0(ξ) + εg1(ξ) + ....

• Betrachte:

O(1) :dg0

dξ= −g0(1− g0)⇒ g0(ξ) =

11 + εξ

O(ε) :dg1

dξ+(1−2g0)g1 = −d2g0

dξ2 ⇒dg1

dξ−(

g′′0g′0

)g1 = −g′′0

...

mit Randbedingungen für gi(ξ) für i = 0,1,2...

• g0(−∞) = 1,g0(∞) = 0,go(0) =12

• gi(±∞) = 0,gi(0) = 0 für i = 1,2, ... .

Asymptotische Lösung

Durch Integration und aus den Randbedingungen folgt:

g1 = −g′0 · ln(4 |g′0|) = εξ1

(1 + εξ)2 · ln[

4εξ

(1 + εξ)2

]In Originalvariablen:

U(z; ε) = (1+ezc )−1+

1c2 ·e

zc (1+e

zc )−2 ln

[4e

zc

(1 + ezc )2

]+O

(1c4

);

c ≥ cmin = 2

→ Nährung nullter Ordnung weicht nur geringfügig von exakterLösung ab.

Asymptotische Lösung

Geschwindigkeit der Ausbreitung↔ Steilheit der Wellenfront:

• AusU ′′ = 0→Wendepunkt

folgt:g′′0(ξ) + εg′′1(ξ) + O(ε2) = 0

⇒ ξ = 0⇒ z = 0.• Mit s=Betrag des maximalen Gradienten U ′(z) ergibt sich

bei z = 0:

−U ′(0) = s =14c

+ O(

1c5

)⇒ Je höher die Geschwindigkeit der Ausbreitung destoniedriger die Steilheit der Wellenfront.

Asymptotische Lösung

Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction

Je flacher die Welle, desto schneller die Ausbreitung.

Stabilität

Bestimmung der Stabilität einer Front:

• Betrachte Bewegungsgleichung für die Front:

ut = u(1− u) + cuz + uzz

wobei u(x , t) = u(z, t) und z = x − ct

• uc(z) Lösung von U ′′ + cU + U(1− U) = 0

Stabilität

• Betrachte kleine Störung um die Front zur Geschwindigkeitc ≥ cmin = 2:

u(z, t) = uc(z) + ωv(z, t), 0 < ω << 1.

• Durch Substitution erhält man aus den ω- Termen diefolgende Gleichung:

vt = [1− 2uc(z)]v + cvz + vzz

• Front ist gegenüber Störung stabil für:

limt→∞

v(z, t) = 0 oder limt→∞

v(z, t) =duc(z)

dz

Stabilität

Lösung der Gleichung für vt :

• Ansatz: v(z, t) = g(z) · e−λt

• Substitution: g′′ + cg′ + [λ+ 1− uc(z)]g = 0wobei v = 0 außerhalb [−L,L]

• Mit g(z) = h(z) · e−cz

2 ergibt sich für h:

h′′ +[λ−

(2uc(z) +

c2

4− 1)]

h = 0, h(±L) = 0;

• Für c ≥ 2, uc(z) > 0 , −L 6= z 6= L gilt:

2uc(z) +c2

4− 1 ≥ 2uc(z) > 0

Stabilität

Auswertung:

• Alle Eigenwerte λ sind positiv.• v(z, t)→ 0 für t →∞

⇒ uc(z) stabil für Störungen in kleinen beschränktenBereichen.

⇒Numerische Simulationen der Fisher-Kolmogoroff-Gleichungresultieren in einer stabilen Wellenfrontlösung mit c = 2.

Dichteabhängige Diffusionsreaktion

Integration von dichteabhängiger Diffusion durch Betrachtungvon Gleichungen der Form:

dudt

= f (u) +ddx

[D(u)

dudx

]

• f (0) = 0, f (1) = 0, D(u) = D0um

• f (u) = kup(1− uq)

• Umskalierung von t und x :

dudt

= up(1− uq) +ddx

[um du

dx

]= up(1− uq) + mum−1

(dudx

)2

+ um d2udx2

Exakte Lösungen

1. Fall: m = 0,p = 1

dudt

= u(1− uq) +d2udx2 ,q > 0

• Betrachte L(U) = U ′′ + cU ′ + U(1− Uq) = 0mit u(x , t) = U(z), z = x − ct ,U(−∞) = 1,U(∞) = 0

U(z) =1

(1 + aebz)s

• L(U) = 0⇒ 2− sq = 0,1 oder 2⇒ s =2q,

1q

(oder sq = 0)

Exakte Lösungen

• s =1q⇒ b = 0→ nicht möglich, da b > 0

• s =2q⇒ b =

q

[2(q + 2)]12

, c =q + 4

[2(q + 2)]12

⇒ c steigt mit q an.

• q = 1⇒ s = 2, b =1√6

, c =5√6≈ 2.04

Für z = 0,a =√

2− 1 ergibt sich die Lösung:

U(z) =1

[1 + (√

2− 1)ez√6 ]2

• Problem von exakten Lösungen:• Nicht alle möglichen Lösungen werden ermittelt.• Quantitative Wellenform ist verschieden.

Exakte Lösungen

2. Fall: m = 0, p = q + 1, q > 0

dudt

= uq+1(1− uq) +d2udx2

⇒ U(z) =1

(1 + aebz)s , s =1q

, b =q

(q + 1)12

, c =1

(q + 1)12

Exakte Lösungen

3. Fall: p = q = 1,m = 1

dudt

= u(1− u) +ddx

[u

dudx

]

• Population verteilt sich schneller auf Regionen niedrigererDichte als eine Region überbevölkert ist.

• Betrachte: UU ′ + cU ′ + U(1− U) = 0 mit Phasenportrait:U ′ = V ,UV ′ = −cV − V 2 − U(1− U)

Entfernung der Singularität bei U = 0 führt zu:

dVdξ

= −cV − V 2 − U(1− U) mitdUdξ

= UV

• (1,0) und (0,−c)→ Sattelpunkte• (0,0)→ stabiler Knoten (nicht linear)

Exakte Lösungen

Trajektorien für variables c:

Abbildung : J.D.Murray, Mathematical Biology, An Introduction

Fazit

• Fortschreitende Wellen kommen in vielfältigenbiologischen Prozessen vor.

• Lösungen sind in kompaktem Bereich stabil.

• Es ex. eine Lösung einer fortschreitenden Wellenfront für

dudt

= f (u) +d2

dx2

mit best. Anfangsbedingungen; c ≥ cmin = 2(f ′(0))12

• Fisher-Kolmogoroff-Gleichung mit c∗ = 2[kD]12

→ Ausbreitungen im sich entwickelnden Embryo:O(5x102.5 − 103.5sec):Wesentlich kürzer als reine Diffusionszeit O(107 − 109).→ Modell beschreibt reale Werte.