Konstrukce trojúhelníku

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Konstrukce trojúhelníku

Trojúhelníková nerovnost.Kdy lze a kdy nelze sestrojit trojúhelník

podle věty sss.


Trojúhelník a jeho vlastnostiTrojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

Zopakujeme si nejdříve základní údaje, které už o trojúhelnících víme.


Budeme-li chtít být ještě přesnější, řekneme, že trojúhelník ABC je průnikem tří polorovin ABC, BCA, CAB. Přitom však musí platit, že body A, B a C jsou různé a neleží v jedné přímce.




Trojúhelník a jeho vlastnostiZopakujeme si nejdříve základní vlastnosti, které už o trojúhelnících víme.



Trojúhelník - označováníPozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku.Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C.Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy ve směru proti pohybu hodinových ručiček.


Konstrukce trojúhelníku

Z jakých částí se skládá naše činnost prováděná před, během a po konstrukci?1. Je dobré zjistit, pokud to jde už ze zadání konstrukce, zda trojúhelník lze vůbec sestrojit, abychom zbytečně neztráceli čas. Jak?Např. pomocí trojúhelníkové nerovnosti, velikosti

úhlů apod.2. Načrtnout si obrázek, v němž si vyznačíme zadané údaje. Udělat si náčrt konstruované situace.

3. Rozebrat si postup, podle kterého budeme trojúhelník rýsovat. To znamená určit si, které znalosti nám při konstrukci trojúhelníku pomohou a jak.

Např. vlastnosti trojúhelníku a jiných známých geometrických útvarů nebo množiny bodů dané vlastnosti.4. Zapsat postup konstrukce, stanovený na základě

provedeného rozboru.

5. Podle zapsaného postupu uskutečnit konstrukci a narýsovat zadaný trojúhelník.

6. Zapsat počet všech možných řešení zadané úlohy.

Obdobně si zopakujeme standardní postup při konstrukčních úlohách.


Náčrt:

Konstrukce trojúhelníku podle věty sssPř.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm.

c = 8 cm

a = 5 cm

b = 7 cm

Všechny kroky kromě prvního, tj. určení, zda lze trojúhelník o zadaných stranách vůbec sestrojit, jsme se už naučili. Tak si je nyní rychle zopakujeme a podíváme se právě na trojúhelníkovou nerovnost.


1. AB; AB = c = 8 cm

Postup a konstrukce:2. k; k(B; a = 5 cm)

4. C; C k l 5. Trojúhelník ABC

3. l; l(A; a = 7 cm)

p

l k

A B

C

Úloha má jedno řešení.


Vyvození trojúhelníkové nerovnosti

Pokusíme se nyní podle předcházejícího „návodu“ narýsovat čtyři následující trojúhelníky a rozebrat situace, které při jejich konstrukcích nastanou.Příklad č. 1: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm.

1. AB; AB = c = 8 cm2. k; k(B; a = 4 cm)


3. l; l(A; b = 6 cm)

Postup:

Konstrukce:





1. AB; AB = c = 8 cm2. k; k(B; a = 4 cm)


3. l; l(A; b = 5 cm)

Postup:

Konstrukce:





1. AB; AB = c = 8 cm2. k; k(B; a = 4 cm)


3. l; l(A; b = 4 cm)

Postup:

Konstrukce:

Úloha nemá řešení, protože body ABC leží v jedné přímce.




1. AB; AB = c = 8 cm2. k; k(B; a = 4 cm)

4. C; C k l

3. l; l(A; b = 3 cm)

Postup:

Konstrukce:

Úloha nemá řešení, protože kružnice k a l se neprotínají, bod C nevzniká.


Trojúhelníková nerovnostNyní si vše shrneme a pokusíme se sami vyvodit, kdy lze trojúhelník sestrojit.

1.) a=4 cm, b=6 cm, c=8 cm

2.) a=4 cm, b=5 cm, c=8 cm

3.) a=4 cm, b=4 cm, c=8 cm

4.) a=4 cm, b=3 cm, c=8 cm

a + b = 10 cm a + b = 9 cm

a + b = 8 cm a + b = 7 cm

a + b > c

a + b > c

a + b = c

a + b < c

Trojúhelník jde sestrojit.

Trojúhelník nejde sestrojit.


Trojúhelníková nerovnostTrojúhelník jde sestrojit, je-

li součet dvou kratších stran vetší než strana

nejdelší.Častěji se setkáme s definicí a matematickým vyjádřením následujícím:

V každém trojúhelníku je součet délek libovolných

dvou stran větší než délka třetí strany.a + b >

ca + c > bb + c > a


Trojúhelníková nerovnost

Pokud jsem vás ještě zcela nepřesvědčil o platnosti znění

trojúhelníkové nerovnosti, tak si otevřete níže uvedený odkaz a

měňte zadané délky stran a, b a c pohybem krajních bodů úseček v horní části rysu. Pozorujte, kdy

trojúhelník vzniká a kdy ne. A pak mi řeknete, jestli už trojúhelníkové

nerovnosti věříte.

http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/cabri/cabrijava.php?FigFileName=kapitoly/trojuhelniky/delkystran.fig&Trace=&Spring=&Step=&Loop=&Width=550&Height=400


Konstrukce trojúhelníku podle věty sss

Ještě jednou si platnost trojúhelníkové nerovnosti můžete

vyzkoušet u konstrukce trojúhelníku podle věty sss. Můžete myší měnit

polohu bodů A, B a poloměry kružnic u konstrukce na níže

uvedeném odkazu. Zkoumejte, kdy bude mít úloha 1, 0 nebo 2 řešení.

http://www.horackova.cz/cabri/vyklad/631.htm


Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1Určete, zda jde sestrojit trojúhelník ABC, a pokud ano, sestrojte jej: a = 1 dm, b = 35 mm, c = 5,5 cm.

Pro ukázku řešení, klikni.


Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1Určete, zda jde sestrojit trojúhelník ABC, a pokud ano, sestrojte jej: a = 1 dm, b = 35 mm, c = 5,5 cm.

a = 1 dm = 100 mm b = 35 mm c = 5,5 cm = 55 mm

a + b > c

a + c > b

b + c > a

… 100 + 35 > 55 … 135 > 55 … 100 + 55 > 35 … 155 > 35

… 35 + 55 > 100… 90 > 100

Trojúhelník nejde sestrojit!

Rychlejší by samozřejmě bylo sečíst rovnou dvě nejkratší

strany a zjistit, zda jejich součet je větší než strana nejdelší. Rovnou bychom zjistili, že trojúhelník nelze

sestrojit, a nemuseli bychom kontrolovat další dvě

nerovnosti.


Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2Určete, zda jde sestrojit trojúhelník XYZ, a pokud ano, sestrojte jej: x = 75 mm, y = 1,05 dm, z = 3 cm.



Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2Určete, zda jde sestrojit trojúhelník XYZ, a pokud ano, sestrojte jej: x = 75 mm, y = 1,05 dm, z = 3 cm.

x = 75 mm y = 1,05 dm = 105 mm z = 3 cm = 30 mm

Ověříme, zda součet kratších stran je větší než strana nejdelší.

x + z > y … 75 + 30 > 105… 105 > 105

Trojúhelník nejde sestrojit!


Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3Určete, zda jde sestrojit trojúhelník CDE, a pokud ano, sestrojte jej: c = 45 mm, d = 1 dm, e = 8 cm.




c = 45 mm

d = 1 dm = 100 mm

e = 8 cm = 80 mm

Ověříme, zda součet kratších stran je větší než strana nejdelší.

c + e > d… 45 + 80 > 100… 125 > 100

Trojúhelník jde sestrojit!



1. CD; CD = e = 8 cm2. k; k(D; c = 4,5 cm)

4. E; E k l 5. Trojúhelník CDE

3. l; l(C; d = 10 cm)

Postup:

Konstrukce:



Tak přesnou ruku při rýsování!

Konstrukce trojúhelníku

Documents