Difracción e interferencia

DIFRACCION E INTERFERENCIA

LLANOS Sebastian1,MUNOZ Melissa2, OSPINA Ana Marıa3,TORO [email protected],[email protected],[email protected],[email protected]

1Universidad, EAFIT Escuela de Ciencias y Humanidades,Departamento de Ciencias Basicas, Ingenierıa fısica,Laboratorio de Optica

Medellın Octubre 2014

Resumen

En el presente artıculo se ilustrara de que manera se trataron y estudiaron los fenomenos opticosde la difraccion e interferencia a partir de la experimentacion. La obtencion de diferentes patronesvariara segun la instrumentacion, como rendijas, distancias,lentes, entre otros, los cuales son de granutilidad en diferentes campos como

Palabras Claves: Lentes convergente y divergentes, diafragmas, imagenes, iluminador de Kohler.

I. INTRODUCCION

La difraccion y la interferencia son fenomenos ondula-torios cuyo estudio ha sido de gran interes desde su des-cubrimiento por Thomas Young en el siglo XVIII; esto sedebe a que es una de las ramas de la optica que presentamayor cantidad de aplicaciones y tecnologıas para el usocotidiano como para el investigativo. [1]La interferencia da explicacion a lo sucedido cuando 2 on-das diferentes recorren un mismo espacio en un tiempodeterminado, es decir, se superponen generando una irra-diancia resultante. Esto depende de la fase relativa entreambas ondas, lo cual puede generar que se de interfer-encia constructiva, si la diferencia de fase entre ambasondas es un multiplo entero de 2π; o destructiva, si estandesfasadas por multiplos impares de π. Esto se deducede la ecuacion de irradiancia 1 para 2 ondas 1 y 2 [2]:

I = I1 + I2 + 2√I1I2 (1)

En la irradiancia de la onda resultante se pueden ob-servar maximos y mınimos para diferentes valores de δ,lo cual genera un patron de lıneas claras y oscuras gen-eralmente conocido como franjas de interferencia. Paraque esto suceda y el fenomeno sea observable con fa-cilidad ambas ondas deben tener frecuencias cercanas yser coherentes tanto espacial como temporalmente. Losmaximos se dan en valores de δ = 2πm, siendo m unnumero entero; mientras que los mınimos se dan paraδ = πn, siendo n un numero impar. Este fenomeno seobserva en la figura, donde las franjas blancas son el re-sultado de valores maximos de la irradiancia y las negras,de los mınimos [2]: La difraccion es una propiedad queposeen las ondas de generar nuevos frentes de onda concaracterısticas equivalentes a la onda original al pasarpor una rendija o agujero de un tamano similar al dela longitud de onda. Este fenomeno esta estrechamenterelacionado con la interferencia, hasta el punto en que sudistincion depende del tamano del objeto.En el principio de Huygens se afirma que cada uno de lospuntos que conforman un frente de onda actuan como laonda general en sı y guardan informacion de esta. Poresto se hace posible que al tomar solo una fraccion de la

Figure 1. Franjas de interferencia.[3]

onda se pueda retomar la onda inicial.La difraccion de Fresnel es uno de los tipos mas utilizadosde este fenomeno. Consiste en que la fuente de luz debeestar en un lugar cercano a la rendija que generara ladifraccion, por esto se conoce tambien como la de campocercano. La difraccion de Fraunhaufer se da en cambiocuando la fuente de luz se encuentra en un lugar lo su-ficientemente lejano como para considerarse el infinito ypercibir unicamente una onda plana.Para hacer interferir 2 haces de luz distintos se utiliza uninterferometro, cuyo principal mecanismo es tomar luzde la misma longitud de onda y someterla a un caminooptico diferente. El interferometro de Michelson se car-acteriza por tomar un haz de luz y dividirlo en 2 paraque recorran diferentes caminos, una vez vuelven a con-verger se genera interferencia entre estos. Este montajese puede observar en la siguiente figura:

II. METODOLOGIA

A. Difraccion

2.1 Difraccion de FresnelSe realizo un montaje optico con un laser y un lente con-

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Figure 2. Interferometro de Michelson.[4]

vergente de distancia focal 20mm con el fin de expandir elrayo, el cual fue obstaculizado por la punta de un lapiceropara observar y analizar el fenomeno. Se ubico un di-afragma de abertura circular de diametro 1mm entre elrayo de luz expandido y la pantalla, se observaron pa-trones de difraccion mostrados en la figura 3. Se alejo lapantalla, debido a que al cambiar esta distancia, se ob-servaron cambios en los patrones de difraccion que serandescritos posteriormente.

2.2 Difraccion de Fraunhofer Se cambio el portalentesa un portafilminas giratorio con aberturas circulares dediversos diametros y se alineo con el laser de maneraque este incidiera perpendicularmente sobre una de lasaberturas, como se ilustra en la figura 3. Una vez seestablecio un patron de difraccion definido, se midieronla distancia D entre la abertura y la pantalla y los radiosr1, r2 y r3 de los tres primeros cırculos obtenidos en elpatron de difraccion. A partir de esto y mediante laecuacion (2) se determino el radio b de la abertura deldiafragma por el cual paso el rayo, con los cuales halloun promedio y se obtuvo un porcentaje de error a partirdel valor dado por el fabricante.

r1 = (1.22)Dλ

b; r2 = (2.23)

Dλ

b; r3 = (3.23)

Dλ

b. (2)

De la ecuacion (2) tambien se calcularon los valoresteoricos y experimentales de los cocientes r3/r2, r3/r1,r2/r1 que fueron comparados y posteriormente analiza-dos. Se retiro el diafragma con las aberturas circu-lares y se reemplazo por una abertura lineal graduable,mostrado en la figura 4. Por tener un ancho casi de-spreciable debido a su largo, el laser solo ilumina unaparte de esta, obteniendo un patron de difraccion que nocorresponde a franjas paralelas uniformes, sino una lıneaperpendicular a la direccion de la rendija, cuyas franjasevidencian diferencias de intensidad a lo largo de esta.

Se roto la rendija sobre el eje del laser gracias al brazogiratorio de su portador para observar de que manera seafectaba el patron obtenido por el diafragma una vez ellaser no incidiera de manera perpendicular a este, comose ilustra en la figura 5:

Figure 3. Difraccion a partir de un diafragma de aberturacircular.

Figure 4. Difraccion a partir de una rendija.

Un diafragma con diferentes rendijas fue posicionadoen lugar de la rendija de ancho variable, alineando ellaser de modo que este incida perpendicularmente sobreuna de las rendijas. A partir del patron de difraccionobtenido, se midio la distancia D entre la pantalla y eldiafragma y C, el maximo central del patron. A partir deestos datos y de la ecuacion (3), se pudo hallar el ancho

Figure 5. Rotaciones de la rendija.

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b de la rendija. Con este dato experimental y el teoricosuministrado por el fabricante, se obtuvo un porcentajede error.

C = 2Dλ

b. (3)

Se hizo incidir el laser sobre una de las lıneas de igualancho que la rendija utilizada. Se calculo el patron dedifraccion y se comparo con los datos obtenidos previa-mente. Luego, se hizo pasar el rayo por una doble rendija,cuyo ancho de cada una era igual al de la rendija usadaanteriormente. Los datos obtenidos fueron comparadoscon el valor inicial, es decir, el que corresponde al de larendija simple. Se midio ∆y, es decir, la distancia entrelos maximos de interferencia o entre cada franja oscura;C, el maximo central del patron de difraccion y D, la dis-tancia entre la pantalla y la doble rendija. Estas medidaspueden ilustrarse claramente en la figura 6.

Figure 6. Difraccion a partir del montaje de la doble rendija.

A partir de los datos obtenidos mediante el montajeanterior y con las ecuaciones (3) y (4), se hallaron losvalores de a, la distancia entre las rendijas y b, el anchode cada una de ellas, los cuales fueron comparados conlos datos teoricos dados por el fabricante.

∆y =D

aλ. (4)

B. Interferencia

Se monta un interferometro de Michelson teniendo es-pecial cuidado en ubicar los espejos de tal manera que elrayo los atraviese por el centro y sin posicionar las lentesen los portalentes, como se muestra en la figura 7.

Los puntos que deben observarse en la pantalla fueronreorientados mediante manipulacion del espejo E1. Seprocedio a ubicar un lente de distancia focal 20mm en

Figure 7. Montaje del interferometro de Michelson.

el portalentes y se ajusta la distancia entre esta y el in-terferometro de tal manera que se ilumine el area pre-dominante de los espejos. Al no obtener un patron deinterferencia circular definido, se reoriento el espejo E1hasta obtener el patron deseado en la pantalla. Se giro eltornillo micrometrico con el fin de observar los cambiosen el centro del patron. Se modifico la distancia entreel interferometro y la pantalla, y a partir de la ecuacion(5) se pudo establecer una explicacion a la variacion delfenomeno.

a = L(2 −mλ

d)

12 . (5)

El lente de 20mm de distancia focal, fue reemplazadopor un doblete de dos lentas con 20mm de distancia focalcada uno y se procedio a realizar la primera parte descritapreviamente, comparando los patrones obtenidos en am-bas etapas.

En la segunda etapa, se ubico el tornillo micrometricode modo que correspondiera al patron que se estuvieramostrando en ese momento. Se roto lentamente en elmismo sentido hasta que el centro del patron hubo com-pleta 52 ciclos y se midio la distancia recorrida por E2para que el numero de ciclos pudiese efectuarse. A partirde que cada desplazamiento de media longitud de ondaen el espejo, es decir, un ciclo ”brillante-oscuro” del cen-tro del patron, y mediante la ecuacion (6) se pudo hallarla longitud de onda del laser.

2d = mλ. (6)

Se modificaron algunos parametros del interferometro,como la separacion entre la pantalla y el interferometro,

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el sistema optico con otras distancias focales, entre otros,con la finalidad de obtener otros resultados con los cualesse hicieron analisis y comparaciones para mejores conclu-siones.

III. RESULTADOS Y ANALISIS

A. Difraccion

Para la difraccion de Fresnel, se hizo incidir un rayode un laser de longitud de onda de 671 nm en una lentede focal +200 mm, para luego observar la difraccion delrayo sobre una pantalla a 30 cm de la lente al interponerun objeto o una abertura.

Cuando se interpuso un objeto opaco, en este casouna llave Allen se observo que la sombra proyectadasobre la pantalla no coincidıa con un contorno perfectoigual al objeto, cuando este estaba alejado de la pantalla(a 25 cm), sino una sobra difusa producto del fenomenode la difraccion (figura 8 (a)). Tambien se pudo notarque cuando el objeto estaba mas cerca de la pantalla(a 5 cm), la difraccion del rayo era mucho menor y elcontorno mas nıtido (figura 8 (b)).

Figure 8. Difraccion de la sombra de un objeto (a) cercano ala pantalla, (b) lejano a la pantalla.

Luego se coloco una abertura de 1mm de diametro detal forma que el rayo incidıa sobre esta y ası poder verlos patrones de difraccion (figura 9).

Para la difraccion de Fresnel que es en un campocercano, los rayos incidentes no se pueden considerarcomo paralelos debido a que la distancia entre la fuentede luz y la pantalla no es lo suficientemente grande comopara despreciar el angulo de salida del frente de ondapor la abertura. Es decir la curvatura de los frentes deonda importa. Entonces el patron de difraccion se veafectado cuando la distancia entre la pantalla y la fuentede luz cambia, (figura 10).

Figure 9. Difraccion de Fresnel.

Figure 10. Difraccion de Fresnel (a) a una distancia de 30 cm(b)a una distancia de 1 m.

Para la difraccion de Fraunhofer se hizo incidir el rayodel laser directamente sobre una rendija de diferentesdiametros, y se escogio para la practica una aberturade 0,25 mm, que es la b teorica del experimento. Semidio la distancia entre la fuente y la pantalla (D=92,5cm) y los radios de los tres primeros anillos oscuros delpatron (r1=3; r2=5; r3=7).y se calculo b experimentalcon la ecuacion (2), sabiendo que la longitud de onda dela fuente de luz es 0,671 mm. Entonces se tiene el valorde b experimental promedio como se muestra en la tabla1.

Table I. b teorica y experimental para cada radio

El error relativo del valor experimental de b usando laecuacion (2) es del 20.56% . Este error se debe, principal-mente, por el instrumento usado para la toma de medidasde los radios de los anillos del patron. Los error relativosde los cocientes mostrados en la tabla 2, tambien son al-tos esto tambien es debido a la toma de medida de los

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radios de los anillos oscuros, en parte por la ambiguedadpara medir el radio y en el instrumento usado.

Table II. Cocientes entre los radios del patron teoricos y ex-perimentales con su respectivo error

Para la difraccion de Fraunhofer se puede apreciar ladiferencia con la de Fresnel, en cuanto a que para estapractica los rayos incidentes se pueden considerar par-alelos y no afecta el patron de difraccion a medida queD cambia, esto se debe a que se esta considerando uncampo lejano por lo que se puede despreciar la amplitudθ. Pero si es notorio el cambio de tamano de los discos amedida que se cambia D.Cuando se inclina la abertura se alcanza a ver una per-turbacion con el mismo esquema que los anillos de Airy,pero sin una forma definida (figura 11). La difraccion

Figure 11. Difraccion en una abertura posicionada oblicua-mente (a) posicion de la abertura (b) patron de difraccion.

debida a una abertura tipo rendija, se pudo observar nocomo franjas, sino como una lınea recta con maximos ymınimos (figura 12).

Figure 12. Patron de difraccion en una rendija.

Esto se debe a que la longitud de la rendija es muchomayor al haz de luz que incide sobre esta (figura 13), por

lo que se ve una variacion de la intensidad sobre una lınea

Figure 13. Rendija usada.

En la figura 14, se aprecia como el tamano de losmaximos de difraccion disminuye cuando se aumente laabertura de la rendija, lo contrario que ocurre cuandose disminuye la abertura. Esto es debido a que en laecuacion (3) que define el ancho de un maximo, la am-plitud de la rendija b esta en el denominador.

Figure 14. Comportamiento del patron de difraccion cuandose modifica el tamano de la abertura (a) cerrado, (b) cerrado-abieto, (c) abierto.

A continuacion se hizo incidir el rayo sobre una rendijade menor tamano de tal forma que el patron de difraccionobservado si fuera el de lıneas paralelas en la pantalla,como se muestra en la figura 15.

Figure 15. Comportamiento del patron de difraccion cuandose modifica el tamano de la abertura (a) cerrado, (b) cerrado-abieto, (c) abierto.

A continuacion se hizo incidir el rayo sobre una rendijade menor tamano de tal forma que el patron de difraccionobservado si fuera el de lıneas paralelas en la pantalla,como se muestra en la figura 15.

Se calculo la distancia D entre la rendija y el patron(D=1000 mm) y el ancho del maximo central (C=6,5mm) para calcular, a partir de la ecuacion (3), el ancho de

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Figure 16. Patron de difraccion para una rendija doble.

la rendija (bexp=0.22 mm), esto nos da un error relativo(con b teorico=0,2mm) del 10%. Al igual que en lasexperiencias anteriores este error puede ser causa de unerror en la toma de la medida del ancho del maximocentral, puede ser por la poca precision del instrumentousado. Para una rendija doble se obtuvo el patron que semuestra en la figura 16. Se midio la distancia D entre la

Figure 17. Patron de difraccion para una rendija doble.

rendija y el patron (D=1000 mm), el ancho del maximocentral (C=6,3 mm), la separacion entre los maximos deinterferencia (δy = 0, 5mm). Usando las ecuaciones (3) y(4) se tiene que b experimental = 0,22 mm, con un errorrelativo del 10%, si b teorico = 0.2 mm y la separacionentre las rendijas a experimental=0,13 mm, con un errorrelativo del 35% siendo a teorico= 0,2mm. Estos erroresson alto, pero se debe tener en cuenta que la escala enla que se miden los patrones es pequena compara con laprecision del instrumento usado para medir.

B. interferometro de Michelson

La determinacion de la longitud de onda del laser serealizo a partir de la ecuacion (7), en esta se relacionan

el numero de ciclos (m), y la distancia asociada a estosciclos con la longitud de onda en cuestion.

2d = mλ (7)

Teniendo en cuenta que el interferometro viene asociadocon un piezoelectrico que transforma voltaje en fuerzamecanica para mover el tornillo micrometrico, y portanto en distancia, tenemos la siguiente relacion: 75Vgeneran un desplazamiento de 20 /mum.

En el desarrollo de la practica los datos que seutilizaron para el calculo de la longitud de onda fueron52 ciclos (m) y un voltaje de 65.9V, lo que equivale endistancia a 17.573 /mum. Ahora con base en estos datosy la relacion descrita en la ecuacion (7), la longitud deonda experimental es de aproximadamente 675.9 nm.

El error relativo porcentual de la longitud de onda ex-perimental con respecto a una longitud de onda teoricade 632 nm es aproximadamente 6.9%.Una causa de error importante en este metodo de contarciclos (esto es que haya pasado de brillante a brillante ode oscuro a oscuro) y medir la distancia asociada parael calculo de la longitud de onda es el hecho de que demover muy rapidamente se puede dejar de contar un ci-clo o varios y esto afectarıa la medicion. Sin embargoeste inconveniente es de facil solucion, pues basta con-tar un numero de ciclos alto de manera en que si se dejade contar un ciclo no sea tan significativo a la hora delcalculo.

IV. CONCLUSIONES

Los fenomenos de interferencia y difraccion no tienenexplicacion bajo la teorıa corpuscular de la luz (opticageometrica), por lo tanto se ve la necesidad de tratar es-tos bajo los principios de la teorıa ondulatoria.Los efectos de la difraccion modulan los efectos de la in-terferencia dado el caso de haber mas de una abertura orendija y esto se corrobora con los resultados de la sumade las contribuciones en terminos de intensidad que se ob-servan en la pantalla. Es necesario aclarar que todo estoes bajo el supuesto de que la distancia abertura-pantallaes mucho mas grande que la distancia o el ancho de larendija, es decir, difraccion de campo lejano o difraccionde Fraunhofer.Los efectos de la difraccion son independientes delnumero de rendijas o aberturas presentes.En el patron de difraccion se pueden diferenciar tres com-ponentes: un maximo principal, maximos secundarios ymınimos. La suma de contribuciones en terminos de in-tensidad en determinado punto (lo que define si es unode los dos tipos de maximo o un mınimo) es ta dada porla distancia desde el eje optico y el punto, la distanciapantalla-abertura, el ancho de la abertura y la longitudde onda.El interferometro de Michelson tiene una alta precision

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siempre y cuando se tomen un numero de ciclos alto, parahacer menos significativo el error asociado al observador.

V. REFERENCIAS

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