Tema 6. Interferencias y difracción de ondasmudarra.cpd.uva.es/goya/Intranet/pages/programas/fisica2/2017-2018/... · Huygens. Ondas coherentes. ... denomina la figura de interferencia

Tema 6. Interferencias y difracción de ondas

Superposición de ondasOndas coherentesDispositivos de ondas coherentes. Interferencias debidas a dos fuentes sincrónicasInterferencias debidas a varias fuentes sincrónicas.Láminas delgadasDifracción de Fraunhofer por una rendija rectangularDifracción de Fraunhofer por varias rendijas Redes de difracciónDifracción de rayos X

Juan JiménezGdS OptronlabDto Física de la Materia CondensadaEIIUniversidad de Valladolid

Superposición de ondas armónicas

El resultado de la superposición de 2 ondas depende de la diferencia entre sus fases.Sean dos fuentes puntuales de ondas S1 y S2 que oscilan en fase con la mismafrecuencia y con amplitudes ξo1 y ξo2, dando lugar a ondas armónicas de la forma:

ξ= ξo1sen(k1 · r1-ωt)

ξ= ξo2sen(k2 · r2-ωt)

Al llegar a P hay un desfase entre ellas:

δ= k2 · r2- k1 · r1≈k·(r2-r1)==2π/λ (r2-r1)

S1

S2

Pr1

r2

r1, r2>>

Suma de ondas armónicas: Fasores

Las interferencias se forman como consecuencia de la superposición de 2 ó más ondas en un puntodel espacio. Estas ondas tienen fases diferentes.

Sus funciones de onda en ese punto son:E1 =A1 senαE2 =A2 sen(α+δ)

Para sumarlas recurrimos a la representación fasorial,en la que representamos las ondas como vectores (fasores),cuyo módulo es la amplitud y cuya fase es elángulo que forma con el eje x Al sumarlos nos dará otro fasor de módulo diferentey fase tambien diferente

A sen(α+δ’) =A1senα+A2 sen(α+δ)

α+δ

Representación fasorial

La amplitud en P es (th. del coseno):

ξo2=ξo1

2+ ξo22+2 ξo1 ξo2 cosδ

La amplitud resultante está comprendida entre ξo1+ ξo2 y ξo1- ξo2, según el valor que tome cos δ.

δ=2π/λ (r2-r1)=n2π máximo

(2n+1)π mínimo

(r2-r1)=nλ

(2n+1)λ/2

Para r2-r1 = +λ+2λ+3λ+... La amplitud alcanzamáximos.Para r2-r1 = +λ/2+3λ/2+5λ2+... La amplitudalcanza mínimos

kr1

kr2

δξ01

ξ02 ξ0

a2=b2+c2-2bccosα

Th coseno

Las interferencias aparecen cuando se superponen dos ondas provenientes dedistintas fuentes.

Ondas coherentes son ondas de la misma frecuencia y amplitud.

S1SS2

Biprisma de Fresnel

Doble rendija de Young

Principiode

Huygens

Ondas coherentes

Dispositivos para conseguir dos fuentes de ondas coherentes

Interferencias por una doble rendija de Young

S1 d S2

D

x

r1 r2

θ

θ

d<<D, las amplitudes y las frecuencias soniguales:

ξo2=ξ1o

2+ξ2o2+2ξ1oξ2ocosδ =

ξ1o2+ξ10

2+2ξ1oξ10cosδ = 2 ξ1o2+2 ξ1o

2 cosδ

2cos2cos1

2cos2)cos1(2

2

11

δδ

δξδξξ

=+

=+= ooo

θ<<, senθ≈tgθ=x/D

r1-r2=d senθ=dx/D

δ=(2π/λ) (r1-r2)= (2π/λ)d senθ=2π (dx/λD)

Como la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud:

Io es la intensidad para x=0, (θ=0), Io=ξ1o2+ξ1o

2+2ξ1oξ1o=4ξ1o2

Se produce un máximo de intensidad cuando cos(πdx/Dλ)=+1

(πdx/λD)=nπ, x=(nD/d)λ, ó (πd/λ)senθ=nπ d senθ=nλ

La separación entre dos franjas consecutivas es:

2 2o o

δ πdxI ( )cos cosI I2 λD= =

DλΔxd

=

Interferencias producidas por varias fuentes sincrónicas

d

S5S4S3S2S1 θ

Por cada 2 rayos hay un desfase

de δ=2π/λ (r1-r2)= (2π/λ) d senθ

La amplitud resultante la obtenemossumando los sucesivos desfases.

ξo

ξ1o

δ

Nδ Pρ

O

C

Q

2δsen 2ρξ

2Nδsen 2ρ2QPOPξ

1o

o

=

===

2δsen2

Nδsenξξ 1oo =

Para N=2 2δcosξ2

2δsen

2δcos

2δ2sen

ξ

2δsen

senδξξ 1o1o1oo ===

Para N fuentes la intensidad la intensidad resultante se puede poner como

22

0 02

Nπ d senθNδ sensen λ2I I Iδ πdsenθsen sen2 λ

= =

Ioα ξ102

Los máximos corresponden a los mínimos del denominador y aparecen para πd senθ/λ= nπ

Q

ξ1o

δ

Nδ Pρ

O

2

o2

Nsen 2I Isen 2

2π d senθλ

δ

δ

δ

=

=

senN2n π; N

2 sen2

δδ

δ= = ±Todos los ξ1o son paralelos

ξo=N ξ1o

Además, la intensidad se anula cuando el numerador se hace 0

Nδ/2=mπ;

m toma los valores 1, 2,3, 4 N-1, N+1, N+2, 2N-1, 2N+1...., se excluyen los valores N, 2N, 3N...,pues corresponden a los máximos

m π2 Nδ

=

La intensidad es proporcional a N2

ξo=N ξ1o

Láminas delgadasControl de calidad de lentes mediante el estudio de losanillos de Newton. El espacio entre los dos vidrios esuna película delgada de aire de espesor variable.Cuando la lente es iluminada desde arriba con luzmonocromática, en las cercanías del centro el espesorde la película de aire es casi nulo, no hay diferencia decamino entre los dos rayos, el rayo reflejado en lasuperficie inferior aire-vidrio sufre un desfase de πradianes que no ocurre en la superficie superior vidrio-aire, por tanto se produce interferencia destructiva y elcentro es un punto oscuro. A partir de ese punto,aparece un patrón de franjas claras y obscuras amedida que se van alternando las condiciones deinterferencia constructiva y destructiva. Los máximosse producen cuando la diferencia de camino es unmúltiplo de λ/2, pues así compensa el desfase de π quese produce en la reflexión aire/vidrio.

La lámina tiene espesor a e índice de refracción n.Las sucesivas reflexiones y refracciones sonequivalentes a un problema de N fuentes sincrónicas.Las interferencias se producen entre las onda reflejadasen la superficie superior y la inferior.Los máximos de interferencia ocurren cuando δ=2πn.

B’D=BD senθiBD=2a tgθt

B’D=2 a tgθt senθi,

B’D= 2 a n tgθt senθt= 2a n (sen2θt/ cosθt)

BCD= 2BC= 2a/cosθt

nθsenθsen

t

i =

Ley de Snell

t1= B’D/c= (2a n/c) (sen2θt/ cosθt)

t2=BCD/v= (2a n/c) (1/cosθt)

θcosc

2an)θsen(1θcos

1c

2antt tt

2

t12 =−=−

Al ser las velocidades de propagación diferentes en ambos medios, el tiempo que tarda en recorrer ambas distancias es:

θcosλan 4π

θcosc

2anω)ttω(δ tt12 ==−=

Además al pasar de un medio menos denso a uno más denso se produce un cambio de fase de π en la onda reflejada.

πθcosλan 4πδ t ±=

La condición de máximo es δ=2πl, siendo l un entero.

t

t

4 an2 l cos π;θλ4a n cos (2l 1)λθ

ππ = ±

= +

Se podría haber hecho lo mismo para los rayos transmitidos y se habría obtenido

2a n cosθt=lλ En la onda transmitida no hay desfase.

La luz reflejada y la transmitida no son iguales

En esta configuración el rayo 1 está desfasado πcon respecto al 2

En este caso los dos están desfasados π, Por consiguiente ese desfase no contribuye

El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson, permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente en dos haces para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina la figura de interferencia que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los haces. Este interferómetro fue usado por Michelson junto con Edward Morley para intentar probar la existencia del éter, en el famoso experimento de Michelson-Morley.

Demostró que el éter carecía de propiedades mesurables, resultando insostenible la hipótesis del éter.Se sugería un nuevo principio físico, la velocidad de la luz en el espacio libre es constante,independientemente de cualquier movimiento de la fuente o del observador.

( )

2 1 2 1 2 1

2 1

2 12 20 0

2 1

2 1

( ' 2 ) ( ' 2 ) 2( )2 4 ( )

2 ( )cos cos2

2 ( ):

2 ( )min : 2 12

r D d D dd d d dr rr d d

d dI I I

d dMax m

d d m

π πδλ λ

δ πλ

π πλ

π πλ

∆ = − = + + − + + = −∆ −

= =

− = =

−=

−= +

D

d’ d2d1

La difracción es un fenómeno de interferencia entre los rayos de un númeroinfinito de fuentes.

El fenómeno se produce cuando la onda se distorsiona por un obstáculo dedimensiones comparables a la longitud de onda, y se produce un cambio de dirección de la luz.

Difracción

Difracción por una rendija

Difracción por una abertura circular

Distribución de Airy

Difracción por un alambre Difracción por varios alambres cruzados

Richard Feynman:No-one has ever been able to define the difference between interference and diffraction satisfactorily. It is just a question of usage,and there is no specific important physical difference between them.

Difracción de Fraunhofer

En el caso general, la llamada difracción de Fresnel, la fuente y la pantalla de detección están a distancias finitas, por lo que ni los rayos incidentes ni los difractados son paralelos entre sí.

Esta situación es difícil de tratar, por ello se recurre a la difracción de Fraunhofer, que opera con rayos, paralelos, lo que permite hacer un estudio del fenómeno de la difracción mucho más sencillo.

Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular

Al variar el ángulo de observación se altera ladistribución de franjas claras y obscuras. Además la distribución depende de la dimensión de la rendija y de la longitud de onda.

La interferencia destructiva se producía cuando

r1-r2 =(2l+1)λ/2

Vamos a ver que sucede para los rayos que

provienen del extremo y del centro de la rendija.

θ

b

r1-r2 = b/2 senθ=(2l+1)λ/2 extinciónbsenθ=(2l+1) λ , (l=0, 1,2, 3, 4...)bsenθ=nλ; (n=1, 3, 5, 7..)

Entre los rayos que están separados una distancia b/4 podemos hacer algosimilar y buscar la correspondiente condición de extinción

r1-r2 = b/4 senθ=(2l+1)λ/2 extinciónbsenθ= 2(2l+1) λ , (l=0, 1,2, 3, 4...)bsenθ=nλ; (n=2, 6, 10, 14...)

Haciendo el mismo cálculo para rayos separados por otras distancias se llegana completar todos los enteros, de forma que la condición general se puede poner:

bsenθ=nλ, (n= 1, 2, 3, ...), n # 0

Cálculo de la intensidad

Dividimos la rendija en intervalos dx

A B C

x

dxEl desfase entre A y B viene dado por:

δ=2π/λ xsenθ,

El desfase entre A y C es

α=2πbsenθ/λ

)λ

πbsen( sen 2ρ2αsen 2ρ ϑξ ==

θ

θ=0; todos los vectores son paralelos y la amplitud es la suma de todos ellos

ξ

ξo es la amplitud para θ=0, por consiguiente nos permite poner ρ enfunción de los parámetros de la difracción

0

o

2π b senθarco OP ρα ρ λ

λ ρ2π b senθ

ξ

ξ = = =

=

λπb sen θ

λπb sen θsen

ξξ

= 0

λπbsenθ

=ϕ( )

ϕϕ

2

2

02

2

0senI

)λ

πb sen θ(

λπb sen θ

senII =

=

Los ceros de intensidad se producen cuando el numerador se anula

senϕ=nπ; bsenθ=nλ, n≠0

Los máximos se obtienen haciendo la derivada de la intensidad e igualando a cero

nπλ

πbsenθ=

λπbsenθ

λπbsenθ

λπbsenθcos

tg ;sencos ; 0senI

cosId

dI 0;ddI

2oo

sen=

===−== ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

Los sucesivos máximos se producenpara valores de ϕ cada vez mayores,

por consiguiente va disminuyendo la intensidad.

ϕ (senϕ/ϕ)2

0 1

1,43 0,047

2,459 0,017

3,471 0,008

4,477 0,005

5,482 0,003

b senθ=nλ,

Esta expresión nos da el poder separador de una rendija.

bλθsenθ ;

bλnsenθ ±=≈<<=

Se observan las dos fuentes cuando elmáximo de una fuente, coincidecon el mínimo de la otra

Poder separador de una rendija

Resolución en microscopía óptica Criterio de Rayleigh

r

d

Fórmula de Abbe

b b

1.22 λ 1.22 λ 1.22 λ 1.22 λd=r ;D/r 2sen 2nsen 2

dNA

αα α

= = = =

Apertura numérica, NA=n senαn Índice de refracción del medio

d

b/r

1.22 λ2

dNA

=

Difracción de Fraunhofer por dos rendijas

b

aCalculamos la amplitud debida acada una de las rendijas y luegolas sumamos

λθsen πb

λθsen πbsen

AA 01

=

Entre dos rayos equivalentes de las dos rendijas hay una diferencia de fase de

λsenθ a 2πβ =

cosβAA2AAA 2122

21

2 ++=

Si las dos rendijas son iguales

A1=A2

( ) 2βsA2cosβ2(1AA 1

21

1 ) co=+=

=λ

asenθ πcos

λπbsenθ

λπbsenθsen

A2A 0

( )

=

λ

asenθ cos

λπbsenθ

λπbsenθsen

II 2

2

0π

El primer factor es el que obtuvimos al estudiar una rendija, bsenθ=nλ, n≠0el segundo factor introduce ceros adicionales:

Y máximos:

2λ1)(2lasenθ ;

2π1)(2l

λπasenθ

+=+=

λn'asenθ ;πn'λ

πasenθ==

Superponemos el patrón de difracción y el de interferencias

Redes de difracción

Cuando hay más de tres rendijas decimos que hay una red de difracción.El ancho de las rendijas es b y la separación entre ellas a. Para el caso de N rendijas, la expresión de la intensidad viene dada por:

2 2

o

πbsenθ N senθsen( ) sen( )λ λI I πbsenθ senθsen

λ λ

πa

πa=

Difracción Interferencias

La diferencia con las interferencias por N rendijas, consiste en que en elestudio de las interferencias las rendijas no tenían anchura, eran focos puntuales.

a

Cuando sobre una red de difracción incide luz policromática se producen máximos de difracción a distintosángulos para las distintas longitudes de onda que componen la luz incidente, excepto para el orden ceroque es igual para todas.

Un monocromador no puede trabajar con el máximo principal (orden cero).El conjunto de los máximos para un orden dado constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda mayores la dispersión.

La dispersión de una red se define como:

asenθ=nλ; θDλ

dd

=

nλ dθ n nsenθ ; cosθ ; Da dλ a a cosθ

= = =

D aumenta cuando aumenta el orden n, pero la intensidad es menor. Tambien aumenta cuando disminuye a, es decir cuanto más próximas entre sí están las rendijas.Las redes de difracción son de 150, 300, 600, 1200, 1800, 2400, 3200 líneas /mm. A más líneas por mm más dispersión y más resolución espectral.

Dispersión angular de la red

Red de difracción por reflexión

Particle detection and measurement by diffraction

Difracción de rayos X por los cristales

La longitud de onda de los rayos X es muy corta, por consiguiente las redes de difracción convencionales no sirven, sin embargo las redes cristalinas constituyenredes de difracción naturales para los rayosX

Las distancias interatómicas son de unos pocos A, por lo que están en el ordende magnitud de la longitud de onda de los rayos X. Cuando éstos pasan a travésde un cristal se produce difracción por los átomos ó moléculas del mismo. Comopuede haber átomos ó moléculas de diferente naturaleza, la contribución de cadauno de ellos será diferente. Suponiendo que solo tenemos una clase de átomos:

AB

C

ABC=2d senθ;

El desfase es

La condición de interferencia constructiva es: δ=2πn

2dsenθ=nλ Ley de Bragg

2dsenθλ

2πABCλ

2πδ ==

Diagrama de LaueDiagrama de Laue

Difracción por varios alambres cruzados( se aprecia la similitud co n las figuras de difracción por un cristal)

Diagrama de cristales pulverizados: diagramas de Debye-Scherrer, anillos de difracción

X-ray key enzyme of common pathogen crystallised in living cells

Nanocristales de proteinas

Imágenes de difracción de rayos X de la molécula de ADN yestructura de doble hélice deducida a partir de ellos

Imagen de difracción de rayos X del ADN obtenida por Raymond Gosling yRosalind Franklin en Mayo 1952 en la que se basaron, Watson, Crick y Willkins paradesarrollar el modelo de doble hélice del ADN

The left image shows one plane through the three-dimensional diffraction pattern of a DNA crystal. Each spot has a characteristic intensity that is related to the distribution of electrons in the crystal. The view shows one base pair with a guanine and a bromocytosine. The blue contours enclose most of the electrons, and show the overall shape of the bases.the yellow contours enclose only regions with high electron density, such as the electron-dense bromine atom.

Moon coronas are due to diffraction.

When the moon looks a bit hazy, you’re seeing a corona. It’s a diffraction effect.