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Tema 6: Interferencia y difracción de ondas

* Diferencia de fase y coherencia.

* Interferencia en películas delgadas.

* Diagrama de interferencias de dos rendijas.

* Diagrama de difracción de una rendija.

* Suma de ondas armónicas mediante fasores.

* Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.

* Difracción y resolución.

* Redes de difracción.Tipler – Mosca: 33Alonso – Finn: 34-35

Diferencia de fase y coherencia

La combinación de dos ondas armónicas de la misma frecuencia y amplitud pero diferente fase, producirá una onda armónica de la misma frecuencia, pero cuya amplitud dependerá del desfase entre ambas:Amplitud máxima: δ = n2π. Interferencia constructivaAmplitud mínima: δ = (2n+1)π. Interferencia destructivaLa causa más habitual por la que dos ondas interfieren con desfase es que hayan recorrido distintas distancias (caminos ópticos) desde sus respectivas fuentes hasta alcanzar el punto de interferencia.

La interferencia y la difracción son fenómenos genuinamente ondulatorios. La interferencia es el resultado de la superposición de dos o más ondas que inciden en el mismo punto del espacio en el mismo instante.La difracción es la deformación del frente de ondas cuando este se encuentra con un obstáculo.

Otro fenómeno corriente que causa desfases es la reflexión bajo determinadas condiciones. Estas se resumen en una incidencia desde un medio de mayor velocidad de propagación a otro de menor. En esta situación la onda reflejada sufre un desfase de π en el mismo momento de su reflexión.Este fenómeno es general para cualquier onda y se puede encontrar también, por ejemplo, en ondas mecánicas que se propagan por una cuerda.

Sólo cuando una diferencia de caminos ópticos equivale a un número entero de longitudes de onda no se producen desfases.La relación entre diferencias de caminos y desfases se puede calcular a partir de:

Diferencia de fase y coherencia

λ∆π=δ r2

Diferencia de fase y coherencia

Un requisito fundamental para la observación nítida de los fenómenos de interferencia es la coherencia de las ondas que interfieren.

Los procesos estocásticos que generan OEMs en las fuentes de luz convencionales generan una mezcla de ondas compleja, con diferencias de longitud de onda y de fase entre los componentes individuales. Se dice que estas fuentes no son coherentes. La única fuente de luz que evita en gran medida la presencia de esos procesos estocásticos es la luz láser.

Se pueden observar fenómenos de interferencia en fuentes no coherentes sólo cuando un haz de luz proveniente de una única fuente se divide en dos y posteriormente se hacen confluir esos dos «subhaces». A pesar de ser haces no coherentes en términos absolutos, estos presentan coherencia relativa uno respecto del otro al ser virtualmente idénticos.

Las formas más habituales de dividir un haz en dos para este propósito son:•Reflexión en las dos superficies de una película delgada•Difracción en dos rendijas•Fuente e imagen reflejada en un espejo

La luz ideal es una onda sinusoidal infinitamente larga. Sólo la luz láser se aproxima a este ideal. En fuentes convencionales, incluso en las monocromáticas, las ondas se presentan en forma de paquetes de onda en los que en el fenómeno ondulatorio de los componentes individuales se identifica un principio y un fin.

Esos paquetes suelen tener la misma longitud («longitud de coherencia»). Las longitudes de coherencia de una típica fuente de luz monocromática es de unos pocos milímetros. Por el contrario algunos láseres llegan a longitudes de coherencia de varios kilómetros.

Diferencia de fase y coherencia

Interferencia en películas delgadas

La interferencia en películas delgadas se observa en muchas situaciones cotidianas.

Los patrones coloreados de las figuras se producen por las distintas condiciones de interferencia que se dan para los diversos colores que forman la luz blanca reflejada.

Consideremos la observación a ángulos bajos (respecto a la normal) de una película de agua en aire.

λ’ es la longitud de la onda dentro de la película, que se relaciona con la de la onda en aire (λ) a través del índice de refracción:

Interferencia en películas delgadas

Entre el rayo 1 (reflexión directa) y el rayo 2 (reflexión interna) existirán diferencias de fase causadas por (1) la diferencia de caminos ópticos y (2) la existencia de desfase de δreflex= π por reflexión en la onda 1 (la luz se propaga más despacio en el agua que en el aire – no hay desfase en la reflexión interna de la onda 2).En esa incidencia casi normal, la diferencia de camino óptico corresponde a 2t que equivale a un desfase de:

( )( )

λ=⇒π+=δ

λ+=⇒π=δ→π+

λπ=δ→

λπ=δ ∆

adestructiv.Int'nt21n2si

vaconstructi.Int2'1n2t2n2si

't22

't22 netar

22

1

1

2

2

1

n'

nn

vv'

'vv λ≈λ→==

λλ

νλ=λ ν=

Interferencia en películas delgadas

En el caso de una película de agua entre aire y vidrio, el cálculo del desfase debe ajustarse pues en esta caso tanto la onda 1 como la 2 sufrirán una inversión de fase.

( ) ( )

λ+=⇒π+=δ

λ=⇒π=δ→

λπ=δ

adestructiv.Int2'1n2t21n2si

vaconstructi.Int'nt2n2si

't22neta

Una aplicación de este fenómeno se da en el control de calidad de lentes mediante el estudio de los anillos de Newton. Cuando una lente descansa sobre una superficie plana, entre la lente y esa superficie se produce una película de aire de espesor variable que da lugar a un patrón de franjas claras y obscuras (condiciones de interferencia constructiva y destructiva).

Este experimento fue ideado por T. Young en 1801 para probar la naturaleza ondulatoria de la luz.

La idea consiste en producir dos fuentes coherentes mediante la iluminación de dos rendijas paralelas por una única fuente de luz convencional.

En virtud del principio de Huygens, los puntos de esas aperturas se convierten en fuentes secundarias de radiación. La luz emergente tiene coherencia por provenir realmente de una única fuente.

Diagrama de interferencia de dos rendijas

El diagrama de interferencia se observa sobre una pantalla suficientemente alejada de las rendijas, y, como veremos a continuación, consiste en una sucesión de franjas claras y oscuras equidistantes.

Diagrama de interferencia de dos rendijas

A distancias suficientemente grandes los rayos que inciden en el punto P son prácticamente paralelos, por lo que la diferencia de caminos que recorren es aproximadamente d senθ, de manera que se llega a las condiciones:

( ) ( )

λ+=θ⇒π+=δ

λ=θ⇒π=δ→

λθπ=δ

adestructiv.Int2

1n2send1n2si

vaconstructi.Intnsendn2sisend2

La distancia de la n-ésima franja brillante respecto al centro de la pantalla, yn, será:

Y, por tanto, la distancia entre dos franjas consecutivas vendrá dada por:

Diagrama de interferencia de dos rendijas

dLny

nsendLysentg

n

n

nnn λ=⇒

λ=θ

=θ≈θ

dLy λ=∆

Diagrama de interferencia de dos rendijas

La intensidad en un punto cualquiera de la pantalla corresponderá a la resultante de la combinación de las dos ondas que en él inciden.Dada la lejanía de la pantalla, podemos asumir que las dos ondas son paralelas y por tanto sus magnitudes vectoriales se suman como escalares.Los caminos ópticos son muy parecidos y por tanto las amplitudes (E0) serán prácticamente iguales:

δ+ω=ω=

)t(senEEtsenEE

02

01

( )

δ+ωδ=δ+ω+ω=+=

2tsen

2cosE2)t(sentsenEEEE 0021

En caso de incoherencia de las fuentes, sobre la pantalla se observaría una iluminación bastante uniforme cuya intensidad equivaldría a 2 I0.

2cosI4I 2

0δ=

Diagrama de difracción de una rendija

Cuando observamos la luz que atraviesa una rendija, bajo determinadas condiciones se puede apreciar un patrón de franjas claras y oscuras.La mayor parte de la intensidad lumínica se concentra en el área central aunque existen máximos relativos (secundarios) a cada lado del máximo principal.

http://www.walter-fendt.de/ph14e/singleslit.htm

Diagrama de difracción de una rendija

Los primeros ceros de intensidad aparecen en la posiciones:

donde a es la anchura de la rendija. Así, para a<λ no se producirá difracción y para valores de a>>λ, la difracción es imperceptible pues las franjas claras y oscuras son muy estrechas. Por tanto, el fenómeno de difracción será más discernible para rendijas cuyo tamaño sea del orden de la longitud de onda lumínica, pero mayor que ésta.

A pesar de tener una única fuente, la difracción tiene evidentes reminiscencias de un fenómeno interferencial:•Patrón en franjas claras y oscuras.•Coincidencia de las expresiones de los mínimos con condiciones de interferencia destructiva. •Aplicabilidad del principio de Huygens a cada punto de la rendija.

asen λ=θ

Diagrama de difracción de una rendija

2sena

21

asen λ=θ⇒λ=θ

La expresión ½ a senθ coincide con la diferencia de caminos de dos rayos para los cuales la distancia entre sus fuentes secundarias en la rendija es a/2. Puesto que esta diferencia de caminos ópticos corresponde a un desfase de λ/2, se tiene interferencia destructiva. El mínimo obtenido a ese ángulo se asocia a todas las parejas de rayos cuyas fuentes distan a/2.El segundo mínimo aparece para:

2sen

4a

a2sen λ=θ⇒λ=θ

caso en que las fuentes secundarias distan a/4. Por iteración, para el resto de los mínimos de difracción se obtiene:

2sen

m2a

amsen λ=θ⇒λ=θ

Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas

Cuando tenemos 2 rendijas de las dimensiones adecuadas, la difracción en cada una de ellas junto con la interferencia del conjunto dan lugar a la aparición de un patrón más complejo que los anteriores.Los dos fenómenos de superponen de forma clara. La interferencia de las dos rendijas da lugar a una distribución uniforme de franjas claras y obscuras. La difracción en las rendijas modula la intensidad de las franjas según el patrón de difracción. Así en aquellos puntos en los que se de un mínimo de difracción la intensidad en la pantalla será cero aunque esa posición corresponda a un máximo de interferencia y, al revés, si un máximo de difracción coincide con un mínimo de interferencia, tendremos un valor nulo de intensidad.

Obviamente la distancia entre rendijas (d) siempre será mayor que su anchura (a). Puesto que el primer mínimo de interferencia está en:

Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas

dsen i1

λ=θ

y el primer mínimo de difracción en:

asen d1

λ=θ

se tendrá que dentro del máximo central de difracción se observarán varios órdenes interferenciales, tantos más cuanto mayor sea la relación d/a.

Suma de ondas armónicas mediante fasores

La determinación del resultado de un proceso interferencial implica la suma de funciones armónicas de la misma frecuencia pero desfasadas. El cálculo directo mediante sumas de las funciones seno o coseno puede llegar a ser tedioso en el caso de múltiples fuentes. Para solventar esta circunstancia se puede recurrir a la representación fasorial de las ondas.Sean dos ondas E1 y E2 que interfieren, en términos generales podemos poner:

( )δ+α+α=+ senAsenAEE 2121

Las funciones E1 y E2 equivalen a las proyecciones sobre el eje Y de dos vectores (“fasores”) A1 y A2 que forman ángulos α y α+δ con el eje X, respectivamente.

Geométricamente, la suma de E1 y E2 coincide con la proyección sobre el eje Y del fasor A=A1+A2.

Suma de ondas armónicas mediante fasores

De forma general los fasores se consideran elementos que giran en torno al eje a una velocidad angular que coincide con la frecuencia angular ω. Cuando se calcula la amplitud de la onda resultante, esta circunstancia adquiere especial relevancia en el caso de que las ondas tengan distinta frecuencia. En el caso contrario, la amplitud resultante es independiente del tiempo.

Utilizaremos este procedimiento a continuación para analizar fenómenos de interferencia y difracción.

Como ilustra la figura, la diferencia de caminos entre la 1ª y 2ª fuentes es de d senθ, al igual que en el caso de dos fuentes. Esta diferencia de caminos coincide con la que existe entre la 2ª y la 3ª. Analíticamente podemos escribir:

Para θ=0 tendremos δ=0 y A=3A0. (I=9I0). Esta posición corresponde a un máximo. Recurrimos a la representación mediante fasores para analizar la variación de la amplitud en función del desfase.

Patrón interferencial de tres fuentes sincrónicas equiespaciadas

( )( ) L

yd2send2

2senAEsenAEsenAE

03

02

01

λπ≈θ

λπ=δ

δ+α=δ+α=

α=

Patrón interferencial de tres fuentes sincrónicas equiespaciadas

Estas observaciones se pueden generalizar. Para un número N de fuentes equiespaciadas, entre dos máximos principales existen N-2 máximos secundarios y N-1 mínimos

Cuando θ aumenta la amplitud resultante se va reduciendo hasta que se anula para δ=120º. A partir de 120º la amplitud vuelve a aumentar de nuevo hasta δ=180º, desfase para el cual aparece un máximo secundario. De nuevo decrece hasta alcanzar un nuevo mínimo para δ=240º. Tras este crece y se alcanza un nuevo máximo principal para δ=360º.

Por tanto, los máximos principales se producen para los mismos ángulos que en un sistema de dos fuentes.

λ=θ msend m

Patrón interferencial de fuentes sincrónicas equiespaciadas

Determinación del patrón de difracción de una rendija mediante fasores

En virtud del principio de Huygens, se puede considerar la rendija como un conjunto muy grande (infinito en el límite) de fuentes sincronizadas e idénticas. La aplicación del método fasorial resulta especialmente útil en esta situación.La separación, d, entre cada una de esas N fuentes de la rendija se puede poner como d=a/N con un diferencia de caminos entre dos consecutivas de valor d senθ.

Amax es la amplitud en el punto central de la pantalla, θ=0. A partir de ese ángulo la amplitud empieza a disminuir hasta que se hace cero cuando los N fasores dibujan un polígono cerrado. Esto se producirá la primera vez cuando

asen

N2sen

Na2send2 λ=θ⇒π=θ

λπ=θ

λπ=δ

Para un punto cualquiera sobre la pantalla, tendremos que, en el límite, la figura de fasores correspondientes a infinitas fuentes infinitesimales dibuja un arco de circunferencia. La amplitud se corresponderá con la cuerda de ese arco y su valor será función del desfase φ entre las fuentes de los extremos de la rendija. Según se ve en la figura:

Determinación del patrón de difracción de una rendija mediante fasores

2senr2A

r2/A

2sen φ=⇒=φ

La longitud del arco es Amax=NA0, luego el ángulo φ que subtiende es:

rAmax=φ

Si sustituimos en la expresión anterior, se obtiene:

( ) ( ) 2

2max

2

0max

max

2/2/sen

AA

II

2/2/senA

2senA2A

φ

φ==⇒φ

φ=φφ

=

θλπ=δ=φ sena2N

Conocida ya la forma analítica de la difracción de una rendija, podemos escribir la expresión que da cuenta de la intensidad de la onda sobre la pantalla como el producto de las intensidades de difracción e interferencia (interferencia modulada por la intensidad de la difracción).

Determinación del patrón de interferencia-difracción de dos rendijas

( )2

cos2/

2/senI4I 22

0δ

φ

φ=

donde, como en el apartado anterior,

θλπ=φ sena2

es la diferencia de fase entre los rayos extremos una misma rendija, y

θλπ=δ send2

la diferencia de fase entre dos rayos equivalentes de cada rendija.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/mulslid.html#c3

Difracción y resolución

La difracción causa una importante limitación en la resolución de los instrumentos ópticos. En éstos, la forma de las rendijas suele ser circular, y el ángulo subtendido por el primer mínimo de difracción se relaciona con el diámetro D según:

Si la luz procedente de dos ondas separadas un ángulo α atraviesan simultáneamente la rendija, sus patrones de difracción se solapan en la pantalla. Si la separación no es muy grande, las figuras solapadas pueden ser difíciles de identificar como causadas como dos fuentes y no una sola.

D22,1sen λ=θ≈θ

Se conoce como «Criterio de resolución de Rayleigh» al valor de la separación angular crítica que permite la resolución de las dos fuentes. Se estima que dos fuentes se pueden considerar claramente distinguibles a partir del momento en que el máximo de una cae sobre el primer mínimo de la otra.

Difracción y resolución

D22,1c

λ=α

Así, el poder de resolución puede aumentarse bien incrementando el diámetro de las rendijas, bien disminuyendo la longitud de onda de operación.

Redes de difracción

Una red de difracción es un sistema formado por N rendijas paralelas de igual ancho b, espaciadas regularmente una distancia a. Estos dispositivos tienen una importancia fundamental en el análisis de espectros.

En transmisión tendremos la interferencia debida a N fuentes sincrónicas modulada por el diagrama de difracción de una rendija.

22

0

senasen

senaNsen

senb

senbsenII

θ

λπ

θ

λπ

θλ

π

θ

λπ

=

DIFRACCIÓN INTERFERENCIA

Redes de difracción

Si N es grande, el diagrama consistirá en una serie de franjas brillantes angostas correspondientes a los máximos principales del diagrama de interferencia:

ansen λ=θ

Este patrón corresponde a una configuración tipo transmisión, si bien las redes pueden operar también en modo reflexión.

Así, cuanto mayor es el orden de difracción, mayor es la dispersión.

Cuando sobre una red incide luz de diversas longitudes de onda, éstas producen máximos de difracción a ángulos diferentes, excepto para el orden cero, que es el mismo para todas. El conjunto de máximos de un orden dado para todas las longitudes de onda constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda, mayor es la desviación para un orden dado del espectro.La dispersión de una red se define como:

Redes de difracción

λθ=

ddD

Recordemos que para N grande

θ=⇒=

λθθ→λ=θ

cosanD

an

ddcos

ansen