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7. Interferencia y difracción

7-1

7. INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN

Fenómenos de singular importancia que distinguen las ondas de las partículas

son la interferencia y la difracción. La interferencia es la combinación por superposición de dos ó más ondas que se encuentran en un punto del espacio. La difracción es la desviación que sufren las ondas alrededor de los bordes y esquinas que se produce cuando una porción de un frente de ondas se ve cortado ó interrumpido por una barrera ó obstáculo. El esquema de la onda resultante puede calcularse considerando cada punto del frente de onda original como una fuente puntual de acuerdo con el principio de Huygens y calculando el diagrama de interferencia que resulta de todas estas fuentes. 7.1 Condiciones de interferencia

En el capítulo 2, movimiento ondulatorio, analizamos el fenómeno de

superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia pero de diferente fase en un punto del espacio llegando a la conclusión de que la onda resultante es una onda armónica cuya amplitud depende de la diferencia de fase según la ecuación

)21

()21

cos2( 0 δωδξξ +−= tkxsen [7.1]

Si la diferencia de fase es un número entero de veces 2π, las ondas están en fase y la interferencia es constructiva obteniéndose un máximo de amplitud. Si la diferencia de fase es un número entero impar de veces π, las ondas están desfasadas y la amplitud es un mínimo. Una causa común de diferencia de fase es la diferencia en la longitud de camino recorrido por las dos ondas. Otra causa de diferencia de fase es el cambio de fase en π que a veces sufre una onda cuando se refleja en una superficie límite determinada Siempre que se superponen dos ondas electromagnéticas, ondas luminosas, se producen fenómenos de interacción; pero para que estos fenómenos interferenciales sean permanentes, detectables y utilizables deben cumplirse ciertas condiciones:

a) Las ondas que se superponen deben ser coherentes, la diferencia de fase entre ellas debe ser constante e independiente del tiempo. Por ejemplo 2 bocinas próximas excitadas por un generador producen interferencia dado que responden de igual forma al amplificador. En cambio, una bombilla es una fuente de luz incoherente dado que existen variaciones al azar en la fase de la luz emitida. Si δ varía al azar, la intensidad resultante de la


7-2

superposición de 2 bombillas es simplemente la suma de las intensidades parciales. Para conseguir fuentes de luz coherentes en general se separan dos partes de un mismo frente de ondas (división del frente de ondas) para luego superponerlas ó se separa la amplitud de la onda incidente en reflejada y refractada (división de amplitudes) para posteriormente superponerlas.

b) Las ondas deben ser monocromáticas y tener la misma longitud de onda. Esta condición está asociada a la constancia en la diferencia de fase con el tiempo. Dos ondas de diferente frecuencia dan lugar a diferencias de fase que dependen del tiempo y por tanto a patrones de interferencia que dependen del tiempo con un periodo de variación del orden de la frecuencia de la luz y por tanto no detectable

7.2 Diagrama de interferencia de dos rendijas Este famoso experimento, ideado por Thomas Young en 1801, demostró la naturaleza ondulatoria de la luz. Consideremos dos rendijas de anchura muy

pequeña, paralelas, separadas una distancia d e iluminadas por una sola fuente tal y como se muestra en la figura 7.1. Cada rendija actuará como fuente puntual de ondas y además serán fuentes de luz coherentes, dado que estos focos secundarios son producidos por la onda original, dando lugar al fenómeno de interferencia observado en una pantalla alejada una distancia grande L. Si está distancia es grande, las líneas que van desde las rendijas hasta un punto P en la pantalla serán aproximadamente paralelas con lo que la diferencia de camino óptico como se observa en la figura 7.1 es

θdsenr =∆ [7.2] y la diferencia de fase

θλπ

λπ

δ dsenr22

=∆= [7.3]

Como vimos anteriormente, para tener interferencia constructiva se deberá cumplir que

Figura 7.1.a) Interferencia de dos rendijas y b) construcción geométrica


7-3

λθ ndsen = ,..2,1,0=n [7.4] y si se cumple esta condición observaremos sobre la pantalla un máximo de intensidad luminosa denominándose n número de orden interferencial. La interferencia destructiva se da para

2

)12(λ

θ += ndsen ,...2,1,0=n [7.5]

y observaremos en la pantalla un mínimo de intensidad. La distancia yn medida sobre la pantalla desde el punto central hasta la franja brillante n-esima está relacionada con la distancia L según la ecuación

Ly

tg n=θ [7.6]

y para ángulos pequeños donde tangente y seno son iguales obtenemos

dL

nynλ

= [7.7]

de forma que las franjas brillantes están igualmente separadas entre si sobre la pantalla. La amplitud de la onda resultante viene dada por la ecuación [7.1] con lo que la intensidad en el punto P, proporcional al cuadrado de la intensidad, es igual a

δ21

cos4 20II = [7.8]

en donde I0 es la intensidad de luz que se obtiene en la pantalla para cualquiera de las rendijas por separado. La figura 7.2 muestra el diagrama de intensidades tal y como se ve en la pantalla en un experimento de interferencia de doble rendija.

Figura 7.2.a) Intensidad y b) diagrama de intensidades en pantalla en el experimento de Young


7-4

7.3 Diagrama de interferencia de rendijas múltiples Consideremos ahora el caso del diagrama de interferencia de N rendijas igualmente separadas una distancia d como se ilustra en la figura 7.3. Cada rendija

es una fuente coherente de ondas luminosas al igual que en el caso anterior. Para simplificar el análisis consideramos de nuevo que observamos el movimiento ondulatorio resultante a una distancia muy alejada de las fuentes de modo que los rayos que interfieren se pueden considerar paralelos. Entre rayos sucesivos hay un defasaje constante, justificado en el apartado anterior, dado por

ϑλπ

δ dsen2

= [7.9]

Para obtener la amplitud resultante en la dirección de observación, dada por el ángulo θ, en el punto P de la pantalla debemos evaluar la suma de las ondas

ostérN

ttttP

min....

)2cos()cos()cos()( 101101101

+

−−+−−+−= δϕωξδϕωξϕωξξ [7.10]

Utilizando los vectores rotantes definidos en el capítulo 1, la amplitud resultante en el punto P vendrá dada por la suma de los N vectores rotantes, cada uno de longitud igual ξ01 y desfasados sucesivamente δ tal y como se indica en la figura 7.4. La suma vectorial da lugar a una amplitud resultante igual a

δρξ NsenQPOP21

220 === [7.11]

y del triángulo COR obtenemos

δρξ21

201 sen= [7.12]

Figura 7.3. Interferencia entre rendijas múltiples

Figura 7.4. Amplitud resultante del proceso de interferencia como suma de los vectores rotantes


7-5

Eliminando ρ entre ambas ecuaciones obtenemos

δ

δξξ

21

21

010

sen

Nsen= [7.13]

Para N=2 obtenemos )21

cos2( 010 δξξ = de conformidad con los resultados del

apartado anterior para dos rendijas. La intensidad resultante, proporcional a la amplitud al cuadrado vendrá dada por

2

0

2

0 /()/(

21

21

=

=λθπλθπ

δ

δ

dsensendsenNsen

Isen

NsenII [7.14]

donde I0 es la intensidad de cada fuente por separado. Evaluando la expresión [7.14] para diferentes situaciones

1. Se obtiene un máximo de intensidad, máximo principal, para

λθπδ

ndsenn=

= 2 0

2INI = [7.15]

recordando la identidad geométrica Nsen

senN±=

αα

para α=nπ. La posición de

estos máximos principales coincide con la del sistema de doble rendija. 2. Se obtiene un mínimo de intensidad para

Nn

dsen

nN

λθ

πδ

´

´

21

=

= 0=I [7.16]

donde n´ toma los valores 1 a N-1, N+1 a 2N-1, etc; los valores n´=0, N, 2N,.. se excluyen, ya que de lo contrario la ecuación [7.16] se convertiría en la [7.15]. Por tanto entre dos máximos principales existen N-1 mínimos y además, entre dos mínimos debe haber siempre un máximo, por consiguiente, concluimos que también hay N-2 máximos adicionales, entre los máximos principales dados por [7.15]. Sus amplitudes son, sin embargo, relativamente pequeñas, especialmente si N es grande


7-6

El gráfico de intensidades en función de δ se muestra en la figura 7.5 para N=2,4,8 y muy grande. Vemos que cuando N aumenta el sistema se hace altamente direccional, porque el movimiento ondulatorio resultante es importante solo para bandas estrechas de valores de δ, o lo que es lo mismo, para bandas estrechas de valores del ángulo θ. Este resultado es ampliamente utilizado en las estaciones de radiotransmisión ó recepción cuando se desea un efecto direccional. En este caso se agrupan varias antenas de tal forma que la intensidad de la radiación emitida (o recibida) sea máxima solo para ciertas direcciones dadas por [7.15].

Figura 7.5. Diagrama de intensidades en un proceso de interferencia de varias rendijas

7.4 Interferencia en películas delgadas Todos hemos observado las bandas coloreadas que aparecen en las pompas de jabón ó en las películas aceitosas que suelen cubrir el agua que se encuentra en una calle mojada. Estas bandas se deben a la interferencia producida por la luz reflejada en las superficies superior e inferior de la película y resultan diferentes colores debido a las variaciones que existen en el espesor de la película, que producen interferencias para distintas longitudes de onda, en diferentes puntos de la misma. Consideremos una película de espesor a y ondas planas incidentes sobre ella con un ángulo de incidencia θI, figura 7.6. Parte del rayo AB se refleja según BG y se refracta según BC. El rayo BC a su vez, se refleja parcialmente en C según CD y se transmite parcialmente según CH. El rayo CD de nuevo se refleja parcialmente en D según DK, superponiéndose con el rayo refractado en D del incidente FD. Este mismo rayo CD se refracta en D y el rayo refractado se superpone con el reflejado


7-7

de FD. Análogamente el rayo reflejado BG también contiene contribuciones de los varios rayos a su izquierda. Por lo tanto ocurrirán fenómenos de interferencia a lo largo de los rayos reflejados y refractados de una forma similar a lo analizado en el apartado anterior pero con la importante diferencia de que los rayos que interfieren no tienen todos la misma intensidad dado que en las sucesivas reflexiones y refracciones la intensidad va disminuyendo. No considerando este cambio de intensidad calculemos la diferencia de fase entre los

rayos AB y FD. El defasaje según DE se debe a que los caminos B´D y BCD seguidos por los rayos que interfieren son recorridos en diferentes tiempos. De la figura 7.6 se deduce que iBDsenDB θ=´ ratgBD θ2= [7.17]

r

rir

ansensenatgDB

θθ

θθcos

22´

2

== [7.18]

r

aBCD

θcos2

= [7.19]

Por tanto los tiempos empleados en recorrer estas distancias por los dos rayos serán

r

r

r

can

vBCD

t

cansen

cDB

t

θ

θθ

cos2cos

2´

2

2

1

==

== [7.20]

y la diferencia de tiempo es igual a

c

antt rθcos212 =− [7.21]

Esta diferencia de tiempo provoca una diferencia de fase dada por

Figura 7.6. Proceso de interferencia en una película delgada


7-8

λ

θπθωωδ rr an

can

ttcos4cos2

)( 12 ==−= [7.22]

Nos falta por considerar las posibles diferencias de fase introducidas por el fenómeno de reflexión. En capítulos pasados estudiamos como si la onda pasa de un medio donde su velocidad es mayor a otro donde es menor, la onda reflejada muestra una diferencia de fase de π. En el caso que nos ocupa, si n>1 hay un cambio de fase de π para el rayo FD cuando se refleja en D, pero no lo hay para el rayo BC cuando se refleja en C. De este modo podemos escribir que la diferencia de fase es igual a

πλ

θπδ += ran cos4

[7.23]

Tendremos por tanto interferencia constructiva (δ=2πN, con N entero) y por tanto reflexión máxima y transmisión mínima para

λθ )12(21

cos2 −= Nan r [7.24]

y mediante cálculos similares obtenemos para reflexión mínima (δ=(2N+1)π, con N entero) y transmisión máxima λθ Nan r =cos2 [7.25] Si la película delgada de por ejemplo agua (n≈1,33), estuviese sobre una superficie de vidrio (n≈1,5), el rayo que se refleja en la superficie inferior agua-vidrio sufriría también un cambio de fase de π. Esto implicaría que el cambio de fase total vendría dado por [7.22]. Es interesante notar que el color observado por reflexión no es el mismo que el observado por transmisión. Estos están determinados en cada caso por las longitudes de onda que satisfacen [7.24] y [7.25]. Además, si el haz incidente no es monocromático, las ecuaciones [7.24] y [7.25] dan diferentes valores de θr y por lo tanto de θI para cada λ. Esto explica los colores que observamos en las películas delgadas de aceite sobre agua. 7.4.1 Anillos de Newton. Cuando se observa con luz monocromática una película delgada de espesor variable se ve por reflexión bandas ó líneas alternativamente brillantes y oscuras denominadas franjas. Para el caso de incidencia normal, la distancia entre una franja brillante y otra oscura inmediata, es la distancia en que la película cambia de espesor de forma tal que la diferencia de caminos de la luz es λ/2. La figura 7.7.a ilustra el diagrama de interferencia observado cuando se refleja la luz en una película de aire encerrada entre una superficie de vidrio esférica y una superficie de vidrio plana en contacto. Estas


7-9

franjas de interferencia circulares se conocen como anillos de Newton. En la figura 7.7.b se muestran los típicos rayos reflejados en la superficie superior e inferior de la película de aire. Cerca del punto de contacto de las superficies, en donde la diferencia de camino entre el rayo reflejado en la superficie superior vidrio-aire y en la superficie inferior aire-vidrio es esencialmente cero, la interferencia es destructiva debido al cambio de fase π del rayo reflejado en la superficie inferior aire-vidrio. Por consiguiente la zona central es oscura. La primera franja brillante se presenta para un radio tal que la diferencia de camino es λ/2 que contribuye con una diferencia de fase π y por tanto la diferencia de fase total es 2π causando interferencia constructiva. La segunda región oscura se presenta para un radio para el que la diferencia de caminos es λ, y así sucesivamente. Siguiendo la figura 7.8, el espesor d de la película de aire en

un punto P de la lente que corresponde a uno de los anillos de Newton es igual a

R

rd

2

2

= [7.26]

siendo r el radio del anillo y R el radio de la lente. Si en el punto P se observa por reflexión una franja luminosa se debe cumplir [7.24] y por tanto

2)12(2 λRNr −= [7.27]

y para la franja oscura

λNRr =2 [7.28] La diferencia entre dos anillos, luminosos u oscuros, consecutivos será igual a

λRrr NN =−+

221 [7.29]

Figura 7.7.a) Anillos de Newton formados en la interferencia de luz al b) atravesar un vidrio esférico apoyado en uno plano

Figura 7.8. Construcción geométrica de los anillos de Newton


7-10

7.4.2 Láminas antirreflectantes. Para evitar la reflexión en superficies ópticas de medios transparentes, hecho de vital importancia para aumentar el rendimiento de ciertos instrumentos ópticos, se emplean los recubrimientos antirreflectantes. Estos recubrimientos se fabrican depositando sobre las superficies ópticas una delgada película de material transparente de índice n y espesor d, calculados de tal

forma que la luz de una determinada longitud de onda λ0 no sufra reflexión. Supongamos, tal y como se esquematiza en la figura 7.9, un vidrio, de índice nv, sobre el que tenemos una lámina, de índice n<nv y espesor d, con coeficientes de reflexión R en la interfase aire/lámina y Rv en la interfase lámina/vidrio y con coeficientes de transmisión T en la interfase aire/lámina y T´ en la interfase lámina/aire. Sobre el conjunto incide de forma normal a la superficie luz que se propaga en el aire, de amplitud unidad y de longitud de onda λ0, Para que la luz reflejada se

anule, en cuyo caso toda la incidente pasará a través de la lámina hacia el vidrio, bastará que los rayos 2,3,4,… salgan en oposición de fase con el 1, y que la suma de amplitudes de 2,3,4,… sea igual a la del 1. Vimos como para el caso esquematizado en 7.9 (n<nv , θr=0 y haciendo N=1 para obtener el espesor más delgado) la oposición de fase entre 1 y 2 obliga a que el espesor de la lámina sea

nd

40λ

= [7.30]

Bastará ahora que la amplitud reflejada sea nula, es decir que la amplitud del

rayo 1 sea igual a la suma de todos los demás. Esta condición obliga a que

vvvvv RR

RRRRRRRTTR−

−=+++=1

1)1(.....)1(´ 222

[7.31]

donde se ha hecho uso de que TT´=(1-R2), tal y como se demuestra a partir de las ecuaciones [5.48] y [5.49], y del resultado del sumatorio de la serie (1+xn) con x<1. De [7.31] resulta la condición R=Rv que junto a [5.48] nos permite obtener la relación que debe existir entre índices de refracción para anular la amplitud reflejada vnn = [7.32] Las ecuaciones [7.30] y [7.32] determinan las características de la lámina antirreflectante. Los instrumentos con óptica azul, diseñados para que la reflexión sea mínima en el centro del espectro visible, amarillo, presentan un color violáceo al reflejarse predominantemente el azul y el rojo.

Figura 7.9 Luz incidiendo sobre un sustrato de

vidrio con lámina antirreflectante


7-11

7.5 Condiciones de difracción La difracción se observa cuando se distorsiona una onda por un obstáculo cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda de aquella. Por la experiencia diaria sabemos que las ondas, al contrario que las partículas se extienden alrededor de los obstáculos interpuestos en su camino, caso de la luz y el sonido. Este efecto se hace más notable cuando las dimensiones de los obstáculos se aproximan a la longitud de onda de las ondas. En este apartado estudiaremos la difracción producida por ciertas aberturas y pantallas de geometría simple, en dos circunstancias especiales.

En la difracción de Fraunhofer suponemos que los rayos incidentes son paralelos, frente de ondas plano, y que observamos el patrón de difracción a una distancia lo suficientemente grande como para que se reciban únicamente rayos difractados paralelos. En la difracción de Fresnel, bien los rayos incidentes se originan en una fuente puntual, bien se observan los rayos difractados cerca del obstáculo y no pueden ser considerados paralelos. 7.6 Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular Consideremos una rendija rectangular estrecha, de anchura b, y larga, de modo que podamos ignorar los efectos de los bordes, sobre la que inciden ondas normales al plano de la rendija de longitud de onda λ. De acuerdo con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija todos los puntos de su plano se convierten en fuentes de ondas secundarias emitiendo nuevas ondas que en este caso reciben el nombre de ondas difractadas. Observando las ondas difractadas a diferentes ángulos θ respecto a la dirección de incidencia, figura 7.10, encontramos que para ciertas direcciones su intensidad es nula.

Figura 7.10.a) Rendija rectangular estrecha donde tiene lugar b) la difracción de la onda luminosa


7-12

Estas direcciones de intensidad nula están dadas por la relación

bn

sen

nbsenλ

θ

λθ

=

= 0≠n [7.33]

La figura 7.11 se representa el diagrama de difracción de una sola rendija

observado y la intensidad de las ondas difractadas en función del ángulo θ. Obsérvese que el máximo central tiene un ancho doble del de los demás máximos secundarios. Calculemos la distribución de intensidades que aparece en la figura anterior. Para ello dividimos la rendija en bandas muy estrechas de ancho dx, tal y como se muestra en la figura 7.12.a y cada banda es una fuente secundaria de ondas de amplitud dξ0 muy pequeña. Si consideramos los rayos emitidos en la dirección correspondiente al ángulo θ, figura 7.12.b, el defasaje entre el rayo CC´

y el AA´ tomado como referencia es

λ

θπλπ

δxsen

CD22

== [7.34]

y por lo tanto aumenta gradualmente con x.

Figura 7.12.a) Se divide la rendija en bandas estrechas de espesor dx y b) cada banda es una fuente

secundaria de ondas desfasada con las demás bandas

Figura 7.11 Diagrama de difracción de una sola rendija


7-13

Para obtener la amplitud correspondiente al ángulo θ, debemos representar los vectores rotantes correspondientes a las ondas que provienen de todas las

bandas entre A y B. Como todas son de amplitud infinitesimal y como el ángulo de fase δ aumenta proporcionalmente a x, los vectores yacen sobre un arco de circunferencia OP cuyo centro está en C y cuyo radio es ρ, figura 7.13. La amplitud resultante A es la cuerda OP. La pendiente en cualquier punto del arco entre O y P es justamente el ángulo δ dado por la ecuación [7.34]. En P, que corresponde a x=b, la inclinación de la tangente es

λθπ

αbsen2

= [7.35]

Este es también el ángulo formado por los radios CO y CP. Por consiguiente la amplitud resultante es

)(221

22λ

θπραρ

bsensensenQPA === [7.36]

Para observación normal, todos los vectores dξ0 son paralelos y su resultante es la suma de sus longitudes, que es igual a la longitud del arco OP. Llamando A0 la amplitud resultante para observación normal tenemos

)2

(0 λθπ

ρραbsen

A == [7.37]

y dividiendo ambas ecuaciones llegamos a

=

λθπ

λθπ

bsen

bsensen

AA 0 [7.38]

y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de la amplitudes obtenemos

Figura 7.13. Suma de vectores rotantes en el proceso de difracción en una rendija


7-14

2

0

=

λθπ

λθπ

bsen

bsensen

II [7.39]

Los ceros de intensidad tienen lugar para bsenθ=nλ de acuerdo con la ecuación [7.33]. Para obtener los máximos de intensidad debemos hallar los valores de θ que satisfacen que 0/ =θddI resultando el diagrama de difracción mostrado en la figura 7.11.

Cuando λ es muy pequeña respecto a b, los primeros ceros de intensidad a ambos lados del máximo central corresponden al ángulo

b

senλ

θθ ±=≈ [7.40]

Este hecho nos permite definir el poder de resolución de una rendija como el ángulo mínimo que subtienden dos ondas incidentes provenientes de dos fuentes puntuales distantes S1 y S2 que permita distinguir sus respectivos diagramas de difracción. Cuando las ondas provenientes de las dos fuentes pasan a través de la misma rendija en dos direcciones que forman un ángulo θ, figura 7.14, los diagramas de difracción están superpuestos y se pueden comenzar a distinguir cuando el máximo central de uno cae en el primer cero del otro, criterio de resolución de Rayleigh, y esto ocurre a partir de un ángulo θc

bcλ

θ = [7.41]

que da el poder de resolución de la rendija, es decir, da la separación angular mínima entre dos puntos de un objeto para que se pueden reconocer como diferentes al observar el objeto a través de la rendija. En caso de que la abertura sea circular, en lugar de una rendija rectangular, se obtiene un diagrama de difracción consistente en un disco brillante rodeado de anillos alternativamente oscuros y brillantes tal y como se muestra en la figura 7.15. Omitiendo el análisis matemático se llega a que el ángulo θ correspondiente al primer disco oscuro está dado por la condición

8317,32

=λ

θπRsen [7.42]

ó


7-15

DR

senλλ

θθ 22,12

22,1 ==≈ [7.43]

siendo D=2R el diámetro de la abertura y θ expresado en radianes. Está ecuación da a su vez el poder de resolución de una abertura circular. Una lente es en realidad una abertura circular, por lo que la imagen de un punto, que se supuso que era otro punto en el capítulo 6, es en realidad un diagrama de difracción. Por tanto el poder de resolución de un instrumento óptico basado en lentes, por ejemplo microscopios y telescopios, vendrá dado por la ecuación [7.43] y lo aumentaremos incrementando el diámetro de las lentes ó disminuyendo la longitud de onda empleada. Sin embargo, el radio de una lente es en general tan grande respecto a la λ de la luz que en la mayoría de los casos se pueden ignorar los efectos de la difracción.

Figura 7.14. Poder de resolución de una rendija rectangular siguiendo el criterio de Rayleigh; dos

objetos con una separación angular θ son distinguibles a partir de que el primer cero del diagrama de

difracción de uno caiga sobre el máximo central del otro

Figura 7.15.Poder de resolución de una apertura circular


7-16

7.7 Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas Consideremos ahora dos rendijas, ambas de ancho b, separadas una distancia a, figura 7.16.

Figura 7.16. Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas

Para la dirección correspondiente al

ángulo θ, tenemos ahora dos conjuntos de ondas difractadas provenientes de cada rendija, es decir tendremos una combinación de difracción e interferencia. Utilizando la suma de vectores rotatorios, figura 7.17, tenemos para la amplitud A1 resultante de la rendija 1

λθπ

λθπ

bsen

bsensen

AA

= 01 [7.44]

Como las dos rendijas tienen el mismo ancho, la amplitud resultante para la rendija 2 tiene el mismo valor A1 pero su fase es diferente. En la figura 7.16 observamos que entre los rayos correspondientes de las rendijas 1 y 2 hay una diferencia de fase constante dada por

λ

θπλπ

βasen

CE22

== [7.45]

y en consecuencia las amplitudes ó vectores correspondientes de las dos rendijas forman un ángulo igual a β. De acuerdo con esto, la línea OQ=A2 correspondiente a la rendija 2 se obtiene rotando en un ángulo β la línea OP=A1 correspondiente a la rendija 1. La amplitud A resultante de ambas es entonces

Figura 7.17. Suma de vectores rotantes en el proceso de difracción


7-17

βcos2 2122

21 AAAAA ++= [7.46]

y haciendo A1=A2 y utilizando la identidad ββ21

cos2)cos1(2 =+ obtenemos junto a

las ecuaciones anteriores

λ

θπ

λθπ

λθπ

asenbsen

bsensen

AA cos2 0

= [7.47]

y para la intensidad

λ

θπ

λθπ

λθπ

asenbsen

bsensen

II 2

2

0 cos4

= [7.48]

Si comparamos esta ecuación con las obtenidas anteriormente para los fenómenos de interferencia y difracción observamos como el diagrama de difracción total de dos rendijas es la expresión que describe el diagrama de interferencia de dos fuentes modulado por la expresión del diagrama de difracción de una sola rendija ta l y como se muestra en la figura 7.18 y en la fotografía 7.19. Nótese que los máximos del diagrama de interferencia se dan para a

nsen λθ = mientras que los

ceros del diagrama de difracción son bnsen λθ = . Como a>b, los ceros del diagrama

de difracción están más espaciados que los máximos del diagrama de interferencia. En consecuencia, cuando hay dos rendijas, las franjas brillantes son mucho más estrechas y están más juntas que las producidas por una sola rendija.

Figura 7.18. Diagrama de intensidades en un proceso de interferencia-difracción en doble rendija


7-18

Figura 7.19. Intensidad en pantalla en un proceso de interferencia-difracción en doble rendija

7.8 Redes de difracción El paso siguiente consiste en considerar el diagrama de difracción producida por N rendijas paralelas de igual ancho b y espaciadas regularmente una distancia a, sistema conocido como red de difracción y esquematizado en la figura 7.20.

Figura 7.20. Vista frontal (a) y en corte de una red de difracción (b)

Por analogía con lo analizado hasta ahora, la distribución de intensidades en

la dirección θ vendrá dada por la ecuación del diagrama de interferencia producida por N fuentes modulada por el diagrama de difracción de una sola rendija

22

0

=

λθπ

λθπ

λθπ

λθπ

asensen

asenNsen

bsen

bsensen

II [7.49]


7-19

Si el número N de rendijas es muy grande, el diagrama consistirá en una serie de franjas brillantes angostas correspondientes a los máximos principales del diagrama de interferencia dados por

a

nsen

λθ = ,....2,1,0 ±±=n [7.50]

con una intensidades moduladas por el diagrama de difracción tal y como se muestra en la figura 7.21 para el caso de 8 rendijas. Según el valor de n, los máximos principales reciben el nombre de 1º, 2º,… orden de difracción.

Se demuestra que la anchura angular de cada franja presente en el diagrama de difracción es igual a

ϑλ

ϑcos

22

Ndd = [7.51]

y por tanto es inversamente proporcional al número de rendijas N. Esto implica que cuanto mayor sea el número de rendijas N de la red de difracción, más agudos son los máximos de difracción obtenidos y con mayor exactitud se podrá determinar su posición.

Figura 7.21. Diagrama de interferencia-difracción para 8 rendijas

Las redes de difracción son muy utilizadas como espectroscopios para analizar las longitudes de onda que componen un haz de luz proveniente de un foco que pasa a través de una rendija colimadora, figura 7.22. En la dirección θ=0 se observará el máximo central correspondiente a todas las longitudes de onda que compongan el haz, orden cero. Para diferentes ángulos, cada longitud de onda producirá una imagen dada por [7.50], con n=1 para el 1º orden de difracción, permitiéndonos conocer el espectro, longitudes de onda, de la radiación incidente.


7-20

Una característica importante de un espectroscopio es su capacidad para medir longitudes de onda muy próximas. Para ello se define el poder de resolución R de una red de difracción como λ

λ∆=R en donde ∆λ es la diferencia más pequeña

entre dos longitudes de onda en torno a λ que pueden ser resueltas. Se demuestra que el poder de resolución es igual a

nNR =∆

=λ

λ [7.52]

siendo n el orden de difracción y N el número de rendijas. Por tanto un aumento del número de rendijas incrementa el poder de resolución de una red de difracción. Valores entre 10.000 y 20.000 rendijas por cm son habituales en las redes de los espectroscopios.

Figura 7.22. Espectroscopio basado en una red de difracción

7.9 Difracción de Fresnel Cuando el diagrama de difracción se observa cerca de la abertura ú obstáculo se denomina difracción de Fresnel. Debido a que los rayos procedentes de la abertura no pueden considerarse ya paralelos, este fenómeno es más difícil de analizar matemáticamente y nos ceñiremos a aspectos meramente cualitativos del mismo. La figura 7.23 ilustra la diferencia existente entre los diagramas de Fresnel y de Fraunhofer en el caso de una sola rendija.

En la figura 7.24 se muestran los diagramas de difracción de Fresnel de un disco opaco y de una abertura circular iluminados por luz procedente de un foco puntual situado sobre sus ejes pudiéndose ver como ambos diagramas son complementarios entre si. Obsérvese el punto brillante en el centro del diagrama del disco opaco causado por la interferencia constructiva de las ondas luminosas difractadas desde el borde del disco. Este hecho, desde el punto de vista


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corpuscular para la propagación de la luz totalmente contradictorio, sirvió de fuerte apoyo para la teoría ondulatoria de la luz.

La figura 7.25 muestra el diagrama de difracción de Fresnel de un borde

rectilíneo iluminado por luz procedente de un foco puntual y el gráfico de intensidades en función de la distancia según una línea perpendicular al borde. La intensidad de la luz no cae abruptamente a cero en la sombra geométrica sino que disminuye rápidamente y es despreciable al cabo de unas pocas longitudes de onda del borde.

Figura 7.23. Paso del diagrama de Fraunhofer al

de Fresnel al acercar la pantalla

Figura 7.24. Difracción de Fresnel de a) un disco

opaco y b) una abertura circular

Figura 7.25. Difracción de Fresnel de un borde rectilíneo


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Problemas

1. Dos rendijas estrechas distantes entre si 1,5 mm se iluminan con la luz amarilla de una lámpara de sodio de 589 nm de longitud de onda. Las franjas de interferencia se observan sobre una pantalla situada a 3 m de distancia. Hallar la separación de las franjas sobre la pantalla. Repetir los cálculos si la distancia entre rendijas es de 0,8 mm, λ=590 nm y la pantalla está a 0,5 m.

2. Discutir el diagrama de interferencia producido por dos fuentes no coherentes de la misma frecuencia.

3. Con el objetivo de determinar la longitud de onda de una fuente desconocida se realiza un experimento de interferencia de Young con una separación entre rendijas de 1 mm y la pantalla situada a 1 m. Sobre la pantalla se forman franjas brillantes consecutivas que distan 0,546 mm. ¿Cuál es la longitud de onda?

4. Hallar la distribución angular de intensidad emitida por una batería lineal de 4 antenas separadas una distancia igual a la mitad de la longitud de onda de emisión.

5. Se utiliza una capa muy fina de un material transparente con un índice de refracción n = 1,3 como recubrimiento antirreflectante sobre la superficie de un vidrio de índice de refracción n = 1,5. ¿Cuál deberá ser el espesor mínimo de la película para que ésta no refleje la luz de 600 nm de longitud de onda (en el aire) que incide casi normalmente sobre el sistema?

6. Las placas solares se suelen recubrir con una delgada película transparente de óxido de silicio (n = 1,45) para evitar la reflexión de la luz solar en su superficie. Una placa solar de Si (n = 3,5) se cubre con una película de óxido con este fin. Determínese, para radiación de longitud de onda λ = 550 nm, el espesor mínimo de la película de óxido de manera que los rayos reflejados sufran interferencia destructiva. ¿Es el óxido de silicio el material ideal para actuar como recubrimiento antirreflectante ó se podría utilizar otro material con mejores resultados?

7. Calcular el espesor de una película de jabón que al ser iluminada por luz natural se ve roja por reflexión y verde por transmisión cuando se mira normal a la superficie. Tomar como índice de refracción del agua jabonosa n=4/3, longitud de onda del rojo λ=667 nm y longitud de onda del verde λ=500 nm.

8. Obtenemos una película de aire en forma de cuña situando un pequeño trozo de papel entre los bordes de dos piezas planas de vidrio. Se hace incidir luz de 500 nm normalmente a las superficies de vidrio y se observan las franjas de interferencia por reflexión. Si el ángulo que forman las dos superficies es de θ=3x10-4 rad, ¿cuántas franjas de interferencia se observan por unidad de longitud?

9. Una lente plano-convexa de 2 dioptrías y n=1,5 se sitúa sobre una lámina de vidrio plana apoyándola sobre su cara convexa. El conjunto se ilumina por encima de la cara plana con luz de 700 nm. Calcular el radio de la séptima circunferencia que presenta máximo de interferencia considerando que se observa por reflexión.


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10. Se hace pasar el haz de un láser de 700 nm de longitud de onda a través de una rendija vertical de 0,2 mm de ancho que luego incide sobre una pantalla a 6 m de distancia. Hallar la anchura del máximo de difracción central sobre la pantalla.

11. Estimar la magnitud de los máximos sucesivos en el diagrama de difracción de una rendija.

12. Una lente de 2 cm de diámetro tiene una distancia focal de 40 cm. Está iluminada con un haz paralelo de luz monocromática de 590 nm. Hallar el radio del disco central del patrón de difracción observado en un plano que pasa por el foco y el poder de resolución de la lente.

13. Dos rendijas de anchura a=0,015 mm están separadas por una distancia d=0,06 mm y se encuentran iluminadas por luz de longitud de onda λ=650 nm. ¿Cuántas franjas brillantes se ven en el máximo central de difracción?

14. ¿Qué separación angular mínima deben tener dos objetos puntuales si han de ser resueltos justamente por el ojo?¿A qué distancia mutua deben estar si se encuentran alejados ambos 100 m? Suponer que el diámetro de la pupila del ojo es 5 mm y que la longitud de onda es de 600 nm

15. Una red de difracción de 20.000 líneas tiene una longitud de 5 cm. Hallar la separación angular de todo el espectro visible, desde 390 nm (violeta) hasta 770 nm (rojo), para el primero y segundo orden.

16. Sobre una red de difracción de 12.000 rayas por cm incide luz de una lámpara de sodio ¿A qué ángulos se verán las dos líneas amarillas de longitudes de onda de 589 nm y 589,59 nm en el primer orden?

17. Consideremos una red de difracción de 20.000 líneas y longitud 4 cm. ¿Es capaz esta red de resolver las dos líneas amarillas del sodio dadas en el problema anterior?

18. Demostrar que el poder de resolución de una red de difracción de N rendijas viene dado por la ecuación [7.49].

Interferencia y difracciónfisica.ru/.../archivos/Interferencia_y_difraccion.pdf7. Interferencia y difracción 7-2 superposición de 2 bombillas es simplemente la suma de las intensidades

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