Diferencias Finitas - Solucion Stommel

7/23/2019 Diferencias Finitas - Solucion Stommel

http://slidepdf.com/reader/full/diferencias-finitas-solucion-stommel 1/15

DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL

TRABAJO Nº 04PROBLEMA LAGO

STOMMEL

Profesor: Carlos A. A. Carbonel Huaman

Alumno: Edison André Auccapiña Pérez

Código: 06130124

Octubre 2015

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad Ciencias Físicas – E.A.P. Ingeniería Mecánica de

Fluidos



TRABAJO Nº 04 PROBLEMA LAGO STOMMEL UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DEFLUIDOS

1

RESUMEN

El presente trabajo consiste en calcular la función de corriente en un mar interior, el cual está bajo

ciertas condiciones de viento. Para ello se usara el método numérico de diferencias finitas para

solucionar la ecuación en derivada parcial con condiciones de frontera que describe el problema de

circulación en 2D en el mar interior presentado en este problema.




2

DESCRICPIÓN DEL PROBLEMA

Resolver numéricamente el problema de circulación en un mar interior de dominio espacial Ω y

fronteras costeras Γ

contornoel en

dominioel en x

Dn

0

2

Calcular la distribución de la función de corriente Ψ en el mar interior de forma rectangular de

dimensiones Lx = 50 km, Ly = 100 km, con profundidad constante D = 100 m., ρ = 1000 kg/m3,

β = 10-11. Lx x Fmaxn

y /1 , con Fmax = 1 dyn/cm2 =0.1 N/m2. El mar está bajo la acción del

viento Considerar γ = 0.1.

ECUACIONES

La ecuación que gobierna la distribución de corriente Ψ en el dominio espacial Ω en el mar interior

presentado en este problema es:

x D

n

2 .......................................................... (1)

Expresada de otra forma, la ecuación (1) puede ser expresada de la siguiente forma:

x y x D y x

n

yn

x

2

2

2

2

................................ (2)




3

De (2) y de las condiciones del problema se tiene:

Lx

max F

x

Lx

x1max F

n

yn

y

.................................. (2.a)

0 y

0n xn

x

....................................................................... (2.b)

Reemplazando (2.a) y (2.b) en la ecuación (2) se tiene lo siguiente:

Lx

max F

x D

y x2

2

2

2

.......................................... (3)

Por diferencias finitas la ecuación (3) tiene la siguiente forma:

Lx

max F

x D

y

2

x

2

2

j ,1i j ,1i

2

1 j ,i j ,i1 j ,i

2

j ,1i j ,i j ,1i

........... (4)

Asumiendo que y x y ordenando la ecuación (4):

2

j ,i1 j ,i1 j ,i j ,1i j ,1i Lx

max F 4

2

D

2

D

Es decir:

cb4bbaa j ,i1 j ,i1 j ,i j ,1i j ,1i

....................................................... (5)

Donde:

2

Lx

max F c y b ,

2

Da

RESULTADOS

Escogiendo una variación m5000 y x , obtendríamos la siguiente distribución espacial

de corriente Ψ [m3/s]:




4

Figura 1.

nj = 9 columnas

ni = 19 ilas




5

Donde, por diferencias finitas tendríamos el siguiente de sistema de 171 (19 x 9) ecuaciones lineales:

cbab4: Para1 ,22 ,11 ,11 ,1

cbab4a: Para

2 ,23 ,12 ,11 ,12 ,1

cbab4a: Para3 ,24 ,13 ,12 ,13 ,1

cbb4a: Para9 ,29 ,18 ,19 ,1

cbbab4: Para1 ,31 ,12 ,21 ,21 ,2

cbbab4a: Para2 ,32 ,13 ,22 ,21 ,22 ,2

cbbab4a: Para4 ,34 ,14 ,23 ,22 ,23 ,2

cbbb4a: Para9 ,39 ,19 ,28 ,29 ,2

cbab4: Para1 ,182 ,191 ,191 ,19

cbab4a: Para2 ,183 ,192 ,191 ,192 ,19

cbab4a: Para3 ,184 ,193 ,192 ,193 ,19

cbb4a: Para9 ,189 ,198 ,199 ,19

Matricialmente:




6

- 4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,1 c

a - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,2 c

0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,3 c

0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,4 c

0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,5 c

0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,6 c

0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,7 c

0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,8 c

0 0 0 0 0 0 0 a - 4b 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 1,9 c

b 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,1 c

0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,2 c

0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ

2,3 c0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,4 c

0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,5 c

0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,6 c

0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,7 c

0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 2,8 c

0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a - 4b 0 0 0 0 0 0 0 0 b …. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X Ψ 2,9 = c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 …. b 0 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 3,1 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 0 …. 0 b 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 3,2 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 0 …. 0 0 b 0 0 0 0 0 0 Ψ 3,3 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 0 …. 0 0 0 b 0 0 0 0 0 Ψ 3,4 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 0 …. 0 0 0 0 b 0 0 0 0 Ψ 3,5 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 0 …. 0 0 0 0 0 b 0 0 0 Ψ 3,6 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a 0 …. 0 0 0 0 0 0 b 0 0 Ψ 3,7 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b a …. 0 0 0 0 0 0 0 b 0 Ψ 3,8 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 0 a -4b …. 0 0 0 0 0 0 0 0 b Ψ 3,9 c

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞…. ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. - 4b a 0 0 0 0 0 0 0 Ψ 19,1 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. a -4b a 0 0 0 0 0 0 Ψ 19,2 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 a -4b a 0 0 0 0 0 Ψ 19,3 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 a -4b a 0 0 0 0 Ψ 19,4 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 a -4b a 0 0 0 Ψ 19,5 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 a -4b a 0 0 Ψ 19,6 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 a -4b a 0 Ψ 19,7 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 a -4b a Ψ 19,8 c

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 0 0 0 a - 4b Ψ 19,9 c

171 columnas

171filas

[A] [X] [B]




7

Es decir,

B X A

Donde:

B A X 1

................................................................. (6)

Para resolver este problema se usará el programa Borland C++ 5.02 el cual maneja el lenguaje de

programación C++.

Primero se declararan las variables usadas en el problema:

Figura 2.

Dependiendo del valor de var (Δ = 5 000 m.) podemos calcular el valor el valor de ni = 19 (ver figura 1) y

nj = 9 (ver figura 1) y por ende determinar cuántos valores tendrá la matriz A, B y X. En este caso la matriz

A será de orden (19x9) X (19x9), es decir, 171 X 171; la matriz B, será de orden 171 X 1 y la matriz X (de

resultados), de orden 171 X 1.

Calculando los valores de a , b y c

Figura 3.

Donde con los datos del problema se tiene:

50

1.0

1025.0

c

b

a

Luego se programará los valores de la matriz [A]. Añadiendo primero el valor de a en la matriz [A] teniendo en cuenta el número de filas y columnas así como se muestra en el código mostrado en la fig. 4.

Figura 4.




8

Posteriormente se hará lo mismo con el valor de b como se muestra en la figura 5.

Figura 5.

Por último, se añadirá el valor de -4b en la diagonal de la matriz [A] mediante un código mostrado en la

figura 6.

Figura 6.

Para llenar los valores en la matriz [B] se usara el código mostrado en la figura 7.

Figura 7.

Llenando los valores iniciales del vector [Xo] con un valor aproximado, es decir: -1000. Ver figura 8.

Figura 8.

Las líneas de código mostrados anteriormente son útiles para cualquier valor de ya que solo depende

de distribución espacial con la que queramos trabajar (Ver figura 1), es decir solo depende del valor de ni

y nj

Luego para hallar los valores de la matriz [X] se usara el método de Gauss – Seidel. Ver figura 9.




9

Figura 9

Se presentaran los resultados, es decir los valores de la matriz [X] de acuerdo a su lugar en la distribuciónespacial en el mar interior descrito en este problema (Ver figura 1). Los resultados de la matriz [X] son

los siguientes (Ver figura 10):




10

Figura 10.

-921.379 -1563.4 -1998.32 -2252.87 -2336.89 -2252.87 -1998.32 -1563.4 -921.379

-1583.03 -2760.91 -3581.59 -4067.89 -4229.17 -4067.89 -3581.59 -2760.91 -1583.03

-2080.83 -3686.48 -4828.54 -5512.67 -5740.62 -5512.67 -4828.54 -3686.48 -2080.83

-2461.63 -4402.92 -5803.44 -6649.39 -6932.33 -6649.39 -5803.44 -4402.92 -2461.63

-2752.69 -4953.5 -6556.6 -7530.73 -7857.47 -7530.73 -6556.6 -4953.5 -2752.69

-2971.81 -5369.06 -7126.63 -8199.09 -8559.55 -8199.09 -7126.63 -5369.06 -2971.81

-3131.25 -5671.84 -7542.56 -8687.31 -9072.6 -8687.31 -7542.56 -5671.84 -3131.25

-3239.55 -5877.64 -7825.49 -9019.6 -9421.87 -9019.6 -7825.49 -5877.64 -3239.55

-3302.38 -5997.07 -7989.73 -9212.55 -9624.7 -9212.55 -7989.73 -5997.07 -3302.38

-3322.97 -6036.21 -8043.57 -9275.81 -9691.2 -9275.81 -8043.57 -6036.21 -3322.97

-3302.38 -5997.07 -7989.73 -9212.55 -9624.7 -9212.55 -7989.73 -5997.07 -3302.38

-3239.55 -5877.64 -7825.49 -9019.6 -9421.87 -9019.6 -7825.49 -5877.65 -3239.55

-3131.25 -5671.84 -7542.56 -8687.31 -9072.6 -8687.31 -7542.56 -5671.84 -3131.25

-2971.81 -5369.06 -7126.63 -8199.09 -8559.55 -8199.09 -7126.63 -5369.06 -2971.81

-2752.69 -4953.5 -6556.6 -7530.73 -7857.47 -7530.73 -6556.6 -4953.5 -2752.69

-2461.63 -4402.92 -5803.44 -6649.39 -6932.34 -6649.39 -5803.44 -4402.92 -2461.63

-2080.83 -3686.48 -4828.54 -5512.67 -5740.62 -5512.67 -4828.54 -3686.48 -2080.83

-1583.03 -2760.91 -3581.59 -4067.89 -4229.17 -4067.89 -3581.59 -2760.91 -1583.03

-921.379 -1563.4 -1998.32 -2252.87 -2336.89 -2252.87 -1998.32 -1563.4 -921.379

Ψ = 0

Ψ=

0

Ψ = 0

Ψ

=0




11

CONCLUSIONES

Encontramos que cuanto más alejado estemos del contorno r veremos valores más altos de la

línea de corriente. Siendo el valor más altos el de -9691.2 m3/s situado en el centro de la

distribución espacial de las función de corriente, exactamente en la posición 4,9 de la matriz

[X].

La figura 10 nos muestra visualmente como está distribuido espacialmente la función corriente

del mar interior bajo los parámetros especificados en este problema.

De la distribución espacial de la función corriente mostrado en la figura 10 se puede ver

cuantitativamente como a medida que nos alejamos de las orillas del mar interior (Ψ = 0) se

presentan una mayor circulación de agua en m3/s.

El método de Gauss – Seidel funciono correctamente a lo hora de hallar los valores de la

distribución espacial de la función de corriente.

LITERATURA

Métodos Numéricos para Ingenieros. Steven Chapra. 2007. Quinta edición.

Apuntes de clase




12

APENDICE

Adjunto el código en C++ hecho en el programa Borland C++ hecho para resolver este problema

#include<iostream.h>

#include<windows.h>#include<conio.h>

#include<math.h>

void main ()

int ni=19,nj=9,i,j,k; /*ni:#filas, nj:#columnas*/

double es=0.000001,ea;

double A[171][171],B[171],M[19][9];

double X[171],Xo[171];

double Lx=50000,D=100,p=1000,var=5000;

double y=0.1,beta=pow(10,-11),Fmax=0.1,s=0;

/*Establecimiento de a,b y c*/

double a=y+p*D*beta*var/2;

double b=y;

double c=Fmax/Lx*pow(var,2);

/*Calculo de la matriz A*/

for(i=0;i<ni*nj;i++)

for(j=0;j<ni*nj;j++)

A[i][j]=0;

B[i]=c;

Xo[i]=0.5;

/*Poner el valor de b en la matriz [A]*/

for(i=0;i<(ni-1)*nj;i++)

j=i+nj;

A[i][j]=b;

A[j][i]=b;

/*Poner el valor de a en la matriz [A]*/


j=i+1;

if(i%nj!=0)

A[i-1][j-1]=a;

A[j-1][i-1]=a;

/*Poner el valor de -4b en la diagonal de la matriz [A]*/




13


A[i][i]=-4*b;

cout<<"a = "<<a<<"\n";

cout<<"b = "<<b<<"\n";

cout<<"c = "<<c<<"\n";

/*Llenado de la matriz B*/


B[i]=c;

/*Calculo de la matriz inicial de x: Xo*/for(i=0;i<ni*nj;i++)

Xo[i]=-1000;

X[i]=0;

/*Calculo de valores de la linea de corriente (X)*/

do

for (i=0;i<ni*nj;i++)

s=B[i];

for (j=0;j<ni*nj;j++)

if (i!=j)

s=-A[i][j]*Xo[j]+s;

X[i]=1/A[i][i]*s;

ea=(X[i]-Xo[i])/X[i]*100;

if (ea>0)

ea=ea;

else

ea=-ea;

s=0;

Xo[i]=X[i];

while (ea>es);




14

/*Presentacion de la matriz [X]*/

cout<<"Presentacion de [X]\n";

cout<<"X = \n [\n";

for (k=0;k<ni*nj;k++)

cout<<" "<<X[k]<<"\n";

cout<<" ]\n";

/*[M] representa al distribucion espacial de funcion corriente */

/*Hallando los valores de la matriz [M]*/

for (i=0;i<ni;i++)

for (j=0;j<nj;j++)

M[i][j]=X[nj*i+j];

/*Presentando la matriz [M]*/

cout<<"Distribucion espacial de funcion corriente\n\n";

for(i=0;i<ni;i++)

for(j=0;j<nj;j++)

cout<<M[i][j]<<" ";

cout<<"\n";

system("pause");

Diferencias Finitas - Solucion Stommel

Documents