Diferencias Finitas (Newton Oficial)

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INTERPOLACIÓN

DIFERENCIA-FINITA(NEWTON)

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NEWTON

Nació el 25 de diciembre de 1642 (según elcalendario juliano vigente entonces; el 4 de enerode 1643, según el calendario gregoriano vigente en

la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire.matemático y físico británico, considerado uno delos más grandes científicos de la historia, que hizoimportantes aportaciones en muchos campos de laciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron debase a la mayor parte de los avances científicosdesarrollados desde su época.

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Cuando los datos están tabulados de forma que ladiferencia entre dos valores consecutivos del vector deabscisas es constante, o sea, sus valores son

equidistantes. Quiere decir cuando la distancia h entredos argumentos consecutivos cualesquiera, es lamisma a lo largo de la tabla, el polinomio de Newton endiferencias divididas puede expresarse con mas

sencillez.

INTERPOLACIÓN-NEWTON

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Aproximación polinomio de Newton, el cual se expresa como:

=0

( )−

=0

−

=0 

Para este propósito se introduce un parámetro , “s”

definido en:

0 + ;  . 

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¿CÓMO SABER QUE ES INTERPOLACIÓN DENEWTON FINITAS?

Cuando la distancia h entre dosargumentos (  −)

consecutivos cualesquiera, es la mismaa lo largo de la tabla

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ANÁLISIS DE ECUACIÓN

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0 + 0 + ( 1)2!   0 + ⋯+ 1 2 … ( 1 )

! 

0 

INTERPOLACIÓN DE NEWTON ENDIFERENCIAS FINITAS 

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DEMOSTRACION DE LA ECUACIONLa ecuación de polinomios de forma general lineal es:

Luego dependiendo del orden cada uno de los coeficientesy las incógnitas se hacen cero 0:

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.

Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

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La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primerasdiferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cualesse sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:

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  , ∆− 

∆ ∆− 

 [2] ∆2! 

  , , . . ∆0!  

De forma general con el delta obtenemos

Para dos índices

De forma general para cada indice

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LA FORMULA GENERAL ES:

0!ℎ + (−)

!ℎ + (−)(−)

!ℎ +… 

….. + − − …(−)!ℎ  

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Tabla de calculo de cada uno de los índices

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Aplicando la formula General

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Estructura y Algoritmo del

Programa

PROGRAMA DIFERENCIAS FINITAS(NEWTON)

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CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA

x y

60 0.63

40 1.36

80 2.18

…  … 

X X

, ; 1,2 ,3 ,… 

TablaMATLAB

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y ∆  ∆  ∆  ∆4  …  ∆ 

0.63 0.73 0.09 -0.09 0.2

1.36 0.82 0 0.11 1.142.18 0.82 0.11 1.26 -2.53

….  …  …  …  … 

x X X X X

Tabla Delta

MATLAB

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INTERFAZ GRAFICA MATLAB NEWTON (FINITAS)