1/27 DIFERENCIAS FINITAS PROBLEMA ELIPTICOS Análisis Numérico II Diferencias finitas – Problemas Elípticos • Esquema de los cinco puntos • Métodos Seudoevolucionarios • Dominios Arbitrarios • Ecuación Autoadjunta • Esquema de integración en caja • Derivadas cruzadas • Estabilidad
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DIFERENCIAS FINITAS
PROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico II
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
• Esquema de los cinco puntos
• Métodos Seudoevolucionarios
• Dominios Arbitrarios
• Ecuación Autoadjunta
• Esquema de integración en caja
• Derivadas cruzadas
• Estabilidad
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Problema Base
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
2 2
2 20, 0 , 0x y
u ux L y L
x y
1( , 0) ( )u x y f x
1( 0, ) ( )u x y g y
2( , ) ( )yu x y L f x
2( , ) ( )xu x L y g y
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Discretización
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
1 1 1 1
2 2
2 20,
0 , 0
i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u u
x y
i N j N
0 1( )i iu f x
0 1( )j ju g y
2 ( )yiN iu f x
2( )xN j ju g y
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Condición de Borde de Neumann
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
2( , ) ( )y
ux y L f x
y
1 1
22
y yiN iN
i
u uf x
y
1 1 1 1
2 2
2 20,
0 , 0
i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u u
x y
i N j N
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Solución
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
Sistema algebraico lineal:
•Métodos directos (Eliminación Gauss)
•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)
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Problema Parabólico
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Métodos Seudoevolucionarios
2 2
2 2, 0 , 0 , 0x y
u u ux L y L t
x y t
1( , 0, ) ( )u x y t f x
1( 0, , ) ( )u x y t g y
2( , , ) ( )yu x y L t f x
2( , , ) ( )xu x L y t g y
( , , 0) ( , )u x y t h x y
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Relación
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Métodos Seudoevolucionarios
( , , ) :
u x y t
solucion del problema eliptico
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Solución Numérica
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Métodos Seudoevolucionarios
• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física
• No interesa precisión t grande métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento