SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS curso...La solución de diferencias finitas es ocupada en los análisis numéricos porLa solución de diferencias finitas es ocupada

SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS

Hernández Cruz G. Berenice.

SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS

La solución de diferencias finitas es ocupada en los análisis numéricos porLa solución de diferencias finitas es ocupada en los análisis numéricos, por ejemplo:

1 1 11 1

n n nj j j j j j ja C b C c C f+ + +

− +′ ′ ′ ′+ + =j j j j j j j

La forma para poder solucionar ecuaciones de diferencia finita se presenta mediante dos categorías:

•De manera iterativa•De manera directaDe manera directa.

Método iterativoMétodo iterativo

En principio se da una estimación de los valores que son determinados y perfeccionados por una estimación numérica sucesiva. (serie de Taylor)La sucesión numérica se presentará hasta que exista una p qdiscrepancia mínima entre las estimaciones consecutivas.Los procesos iterativos toman los puntos que seanLos procesos iterativos toman los puntos que sean necesarios dependiendo de la tolerancia de error, para llegar a la soluciónllegar a la solución.Requiere menos memoria en la computadora

Método directoMétodo directo

Ejecuta un número fijo de operaciones y se obtiene una solución exacta para el sistema de ecuaciones, por lo tanto no hay implicación de tolerancia.

El ét d di t l l á fi i t lEl método directo es por lo general más eficiente que el método iterativo.

Ejemplo del método iterativoEjemplo del método iterativo

U j l i d G S id l li dUn ejemplo proporcionado por Gauss-Seidel , aplicado en una dimensión .En una sola dimensión, la iteración es aplicada nodo por nodo. La , p pconcentración del primer nodo es establecida por el límite de concentración constante.

1, 1 1, 1 1,1 1

1n m n m n mj j j j j jC f a C c C

b+ + + + +

− +⎡ ⎤= − −⎣ ⎦1 1j j j j j jj

fb +⎣ ⎦

Se introduce el término “m” el cual representa la iteración dentro de la ecuación. Se resuelve cada nodo de j y el tiempo se estima

+1 con n+1

El valor absoluto en la discrepancia entre la concentracióncalculada y dos iteraciones consecutivas en el nodo j es designadocalculada y dos iteraciones consecutivas en el nodo j es designadocon ε:

1, 1 1,n m n mj jC Cε + + += −

El primer término de la ecuación es Cj (valor inicial de la concentración ),el calculo y la secuencia de la iteración es repetido hasta llegar a un valorel calculo y la secuencia de la iteración es repetido hasta llegar a un valormas pequeño que el error de tolerancia.Después de cada iteración la máxima discrepancia se restringe alvalor que se asigna al error de tolerancia al aproximarse al valorvalor que se asigna al error de tolerancia, al aproximarse al valorde tolerancia se llega a la solución.

Ejemplo del método directoEjemplo del método directo

Para poder resolver la ecuación por método directo primero se escribe el sistema como notación de matriz.

[ ]{ } { }1nA C f+ =

A Es el coeficiente de la matriz con elementosconocidos.

C Es una columna que contiene last i d idconcentraciones desconocidas.

f Es una columna que contiene los términosconocidos.

Posteriormente se utiliza implícitamente el esquema (ω=1) en el espacio central se escribe el termino advectivo ( α=0.5). Se escribe en conjunto los parámetros de discretización D= /día Δx= 1 m y21men conjunto los parámetros de discretización. D= /día, Δx= 1 m y Δt= 1 día.

1m

Se utiliza la discretización que implica a 6 nodos, tomando el límited l d d l lí d l d h lde la izquierda como primer nodo y el límite de la derecha como elsexto nodo, se escribe una ecuación de diferencias finitas para cadanodo salvo el primero La concentración es conocida de tal forma

El ejemplo de una dimensión no se puede utilizar para cuando se tienen una gran cantidad de nodos.

Oscilación artificial y dispersión numéricaOscilación artificial y dispersión numérica

Métodos aplicados al transporte advectivo dominante.Para utilizar el sistema de discretización en el espacio central para la aproximación en el nodo J, utilizamos la p p J,siguientes fórmulas:

Usando la termino dispersión se utiliza:p

Estos términos también pueden ser utilizados por las series de Taylor.

Añadiendo la ecuación 7 32 a la 7 35 obtenemos:Añadiendo la ecuación 7.32 a la 7.35 obtenemos:

Donde O representa un error de truncación de la diferencia finita dela ecuación 7 30 o 7 31 el término de error es = ΔX Lala ecuación 7.30 o 7.31. el término de error es = ΔX. Laaproximación es precisa al segundo orden con respecto a ladiscretización espacial.p

En la fórmula 7.34 ó 7.35 no hay dispersión no numérica asociadacon la discretización espacial, cuando se usa el sistema central.p

El método de discretización espacial no está libre de errores. Sinembargo es muy utilizada para una oscilación artifical.

La forma de concentración de frontera dominado por el transporteadvectivo es medido mediante la malla del número de Peclet (Pe).

Con una forma en una dimensión el flujo está dado por la siguientefórmula:

Para problemas advectivo Pe tiende a infinito.El número de Pe llega a ser muy pequeño y llega a ser dependiente en el espaciado de malla ΔX disminuye de la p p ymisma forma que el número de Pe.

La oscilación artificial puede ser reducido mediante laLa oscilación artificial puede ser reducido mediante la malla de Pe, siendo evidente en la siguiente figura:

Dependencia entre la oscilaciónArtifical y el número de Pe.y

El número de Pe siendo 10 la oscilación numérica es significativa, cuando este valor se reduce a 2 es muy semejante a la solución analítica.Para mantener el número de Pe en un valor menor, el espaciado de la malla ΔX debe también ser pequeño y p p q yesto es un problema para el espacio de memoria de las computadoras.pEl problema de la oscilación artificial asume en un valor unidimensional que la v es positiva así J puede serunidimensional que la v es positiva, así J puede ser descrito bajo la siguiente fórmula:

Si a la ecuación 7.33 la multiplicamos por la velocidad, lafó l fi l d ífórmula final quedaría:

La segunda derivada representa el error de truncación,mismo que se utilizó para el término de dispersiónmismo que se utilizó para el término de dispersiónD∂2C/∂x2

E l i d l d d i d l té i dEn la ausencia de la segunda derivada, el término de errortiende a reducir la dispersión numérica bajo el espacio

t lcentralParticularmente donde la dispersión física es pequeña lad ó é d b l ldispersión numérica puede generar cambios espaciales en laconcentración.

Para un campo de flujo unidimensional una formula general puedeser derivada para el coeficiente de dispersión asociado con laser derivada para el coeficiente de dispersión asociado con ladispersión numérica, bajo la siguiente fórmula:

Cr es definido por:

Cr puede ser interpretado como el número de celdas donde lapartícula es advectiva en un solo paso de tiempopartícula es advectiva en un solo paso de tiempo.

La dependencia de la dispersión numérica en el número de Courantes un requerimiento para la solución de diferencias finitas en laes un requerimiento para la solución de diferencias finitas en laecuación de advección-dispersión.

El tamaño del paso en el tiempo nunca es limitado, debido a que elEl tamaño del paso en el tiempo nunca es limitado, debido a que elnúmero de Courant es más pequeño para la ecuación uno

Para poder calcular el aparente coeficiente de dispersióni d l di ió é iasociado con la dispersión numérica para esquemas

computacionales en una sola dimensión.

Aproximación explicita con velocidadPositiva.

Aproximación explicita en el centro deespacio

Aproximación de Crank- Nicolson

espacio

pCon velocidad positiva.

Aproximación implicita con velocidad positiva.

En todas las aproximaciones se establecen bajo condicionesde transporte simple y un flujo unidimensional

Los cuatro esquemas de discretización pueden ser representados mediante las siguienes figuras:

Corriente de agua superficialImplícita.Implícita central

Corriente de agua superficial De Crank-NicolsonCorriente de agua superficialgExplicita.