1ºParte Transf. de LAPLACE

Integrales ImpropiasExisten casos y definiciones diferentes según sea el valor que a o b.

Si a = - Si b = + Si a = - , b = +

Definición 1:

Si es continua x a, entonces

Si el limite existe, observe la figura

Si es continua x b, entonces

Si el limite existe, observe la figura

Definición 2:

Si es continua x , y c entonces

Si los limistes existen, este caso se aplica por ser funciones continuas, generalmente se le coloca a la variable c = 0

Definición 3:

Si es continua en todo numero de [a,b], excepto en c y a <c< b, y si además

Entonces

NOTA

Si los limites de las definiciones anteriores existen, esto quiere decir que dichos limites serán convergentes, en el caso de que no existan los limites se dirá que la integral es divergente.

Ejemplos

Ejemplo

2.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La operación de linealidad de la derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión tomemos por ejemplo las siguientes:

IntroduccionEntonces estamos interesados en

una integral impropia que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s, al cual se le llamara la Transformada de Laplace, es decir, que la transformada de Laplace es una operación que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s.

Definición:Sea F: [0,> , una función

definida para t 0, entonces a la función f definida por:

F(s) =

Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el limite exista.

Simbólicamente a la Transformada de Laplace de F se denota por L{F(t)}, es decir.

Ejemplo:Calcular L{F(t)}, donde F(t)=tL{F(t)

=

=

=

PROPIEDADESPropiedad de Linealidad

Sean F,G: [0,> , funciones continuas por tramos y orden exponencial entonces

L{aF(t)+bG(t)} = aL{F(t)} + bL{ G(t)}

PROPIEDADES Primera Propiedad de

TraslaciónSi F: : [0,> ,es una función

continua por tramos y de orden exponencial y si

L{F(t)} = f(s) entonces para a 0 se tiene que L{} = f(s-a) , s>a

Tabla de Funciones Elementales

DemostracionEXPLICACION EN LAS IMÁGENES

POR COMODIDAD DE EXPOSICION

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRALES

Teorema .- Consideremos una función F: : [0,> , continua por tramos y de orden exponencial, entonces

Si L{F(t)} = f(s) L{}=

=

EJERCICIOSEXPLICACION EN LA IMÁGENES

POR COMODIDAD.