OSNOVI RAOSNOVI RAČUNARSKE ČUNARSKE TEHNIKE 1TEHNIKE 1
ELEKTRONSKE OSNOVE RAČUNARA
5
Minimizacija loMinimizacija logičke funkcijegičke funkcije
Minimizacija logičkih funkcija je predstavljanje logičke funkcije sa što manje operatora i promenljivih, pri čemu funkcija zadržava isto značenjeIma isti skup vrednosti za iste kombinacije
vrednosti nezavisnih ulaznih promenljivih kao originalna funkcija
Minimizacijom se:Uprošćava realizacija kombinacione mrežeSmanjuje broj logičkih kola potrebnih za realizaciju
Minimizacija loMinimizacija logičke funkcijegičke funkcijeLogička funkcija može da se
minimizira: Analitički
primenom aksioma i teorema Bulove algebre
Primenom Karnoovih mapagrafičkim putem
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
Karnoova mapa je kao torus razvijen u ravan
Može da se smatra da se leva ivica naslanja na desnu i gornja ivica na donju
Broj polja u mapi mora da bude 2N, gde je N broj promenljivih u funkciji
Minimizacija se obavlja grupisanjem polja koja sadrže logičke 1 (MDF) ili 0 (MKF)
Broj grupisanih polja mora da bude stepen broja 2
Karnoova mapa se popunjava na isti način za funkcije u DNFDNF i KNFKNFPojedina polja se grupišu zaokruživanjem:
11 za DNFDNF 00 za KNFKNF
Na osnovu čega se određuje analitički izraz za funkcije u MDFMDF ili MKFMKF
MDF ima onoliko logičkih proizvoda koliko ima zaokruženih polja
MKF ima onoliko logičkih suma koliko ima zaokruženih polja
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE F(X, Y)
)()()3,2( 32 YXYXPPFDNF
X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X(
P1
P2
P3
X Yi P
0
1
0 0
0 1
P0 = X Y
2 1 0
3 1 1
P1 = X Y
P2 = X Y
P3 = X Y
F(X, Y)
1
0
1
0
X
P0
X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X(
1
X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X(
1
X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X(
1
1
X
Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa
FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE F(X, Y)
X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X(
S0
S1
S2
S3
X Yi S
0
1
0 0
0 1
S0 = X + Y
2 1 0
3 1 1
S1 = X + Y
S2 = X + Y
S3 = X + Y
F(X, Y)
1
0
1
0
X
X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X
0
0 0
0
XF
YXYXSSF
MKF
KNF
)()()1,0( 10
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE F(X, Y)
X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( XX
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X(
1
X
1
X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X
1
1 1 1
YXYXF XF YF
X
Y
Y
)1Y(
)1X( )0X( X X
Y
Y
)1Y(
)0Y(
)1X( )0X( X
1 1
1 1 1
1 1
YXF 1F
Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa
FUNKCIJA TRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z)
X Y Zi
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
P
P0 = X Y Z
P1 = X Y Z
P2 = X Y Z
P3 = X Y Z
P4 = X Y Z
P5= X Y Z
P6 = X Y Z
P7 = X Y Z
F
0
0
0
0
1
0
1
0
X X
Z Z
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)1X( )0X(
P6
46 PPFDNF
P7 P3 P2
P4 P5 P1 P0
ZXFMDF
Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa
FUNKCIJA TRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z)
XX
ZZ
Y
Y
Z
S6
46 SSFKNF
S7 S3 S2
S4 S5 S1 S0
ZXFMKF
X Y Zi
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
S = 0
S0 = X Y Z
S1 = X Y Z
S2 = X Y Z
S3 = X Y Z
S4 = X Y Z
S5= X Y Z
S6 = X Y Z
S7 = X Y Z
F = 1
0
0
0
0
1
0
1
0
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
FUNKCIJA TRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z)
X X
Z Z
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)1X( )0X( X X
Z Z
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)1X( )0X( X X
Z Z
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)1X( )0X(
1 1 1 1
1 1
1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1FZXZXYF ZYXZYF
Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa
FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z, W)
X Y Z Wi P
0
1
2
3
4
14
15
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
P0 = X Y Z W
P1 = X Y Z W
P2 = X Y Z W
P3 = X Y Z W
P4 = X Y Z W
P14 = X Y Z W
P15 = X Y Z W
F
1
1
1
1
0
0
0
X X
Z Z
W
W
W
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)0W(
)0W(
)1W(
)1X( )0X(
P6P14P12
P9
P8
YXF
PPPPF
MDF
DNF
3210
P4
P13
P11
P10
P7 P5
P1
P0
P3
P2
P15=1
Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa
FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z, W)
X Y Z Wi
0
1
2
3
4
14
15
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
F
0
0
0
0
1
1
1
S
S0 = X Y Z W
S1 = X Y Z W
S2 = X Y Z W
S3 = X Y Z W
S4 = X Y Z W
S14 = X Y Z W
S15 = X Y Z W
XX
Z Z
W
W
W
Y
Y
Z
S6S14S12
S9
S8
YXF
SSSSF
MKF
KNF
3210
S4
S13
S11
S10
S7 S5
S1
S0
S3
S2
S15
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z, W)
X X
Z Z
W
W
W
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)0W(
)0W(
)1W(
)1X( )0X( X X
Z Z
W
W
W
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)0W(
)0W(
)1W(
)1X( )0X( X X
Z Z
W
W
W
Y
Y
Z
)1Y(
)0Y(
)1Z( )0Z( )0Z(
)0W(
)0W(
)1W(
)1X( )0X(
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
WZYXZXWXF WYXF WZF
Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa
U praktičnim kombinacionim kolima određene kombinacije nezavisnih ulaznih promenljivih nikada se ne pojavljujuMesto u tabeli koje odgovara nedefinisanoj
kombinaciji “bilo šta”(npr. b ili x) može da se tretira kao logička 0 ili kao logička 1
Polje “bilo šta” pridružuje se susednim jedinicama (MDF) ili susednim nulama (MKF)
Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa
FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X,Y,Z,W)
X X
Z Z
W
W
W
Y
Y
Z
1
1 1
)WZY()WX()WZX()ZY(FMKF
XX
ZZ
W
W
Y
Y
W
Z
1
1
b
1
1 1
1
1
1
b
0
0
0
0
0 b
0
b 0
0 1
0
0
0
0
0
b
b
0
WZYXWYXWZZYXFMDF