OSNOVI RA ČUNARSKE TEHNIKE 1

OSNOVI RAOSNOVI RAČUNARSKE ČUNARSKE TEHNIKE 1TEHNIKE 1

ELEKTRONSKE OSNOVE RAČUNARA

5

Minimizacija loMinimizacija logičke funkcijegičke funkcije

Minimizacija logičkih funkcija je predstavljanje logičke funkcije sa što manje operatora i promenljivih, pri čemu funkcija zadržava isto značenjeIma isti skup vrednosti za iste kombinacije

vrednosti nezavisnih ulaznih promenljivih kao originalna funkcija

Minimizacijom se:Uprošćava realizacija kombinacione mrežeSmanjuje broj logičkih kola potrebnih za realizaciju

Minimizacija loMinimizacija logičke funkcijegičke funkcijeLogička funkcija može da se

minimizira: Analitički

primenom aksioma i teorema Bulove algebre

Primenom Karnoovih mapagrafičkim putem

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

Karnoova mapa je kao torus razvijen u ravan

Može da se smatra da se leva ivica naslanja na desnu i gornja ivica na donju

Broj polja u mapi mora da bude 2N, gde je N broj promenljivih u funkciji

Minimizacija se obavlja grupisanjem polja koja sadrže logičke 1 (MDF) ili 0 (MKF)

Broj grupisanih polja mora da bude stepen broja 2

Karnoova mapa se popunjava na isti način za funkcije u DNFDNF i KNFKNFPojedina polja se grupišu zaokruživanjem:

11 za DNFDNF 00 za KNFKNF

Na osnovu čega se određuje analitički izraz za funkcije u MDFMDF ili MKFMKF

MDF ima onoliko logičkih proizvoda koliko ima zaokruženih polja

MKF ima onoliko logičkih suma koliko ima zaokruženih polja

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE F(X, Y)

)()()3,2( 32 YXYXPPFDNF

X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X(

P1

P2

P3

X Yi P

0

1

0 0

0 1

P0 = X Y

2 1 0

3 1 1

P1 = X Y

P2 = X Y

P3 = X Y

F(X, Y)

1

0

1

0

X

P0

X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X(

1

X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X(

1

X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X(

1

1

X

Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa

FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE F(X, Y)

X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X(

S0

S1

S2

S3

X Yi S

0

1

0 0

0 1

S0 = X + Y

2 1 0

3 1 1

S1 = X + Y

S2 = X + Y

S3 = X + Y

F(X, Y)

1

0

1

0

X

X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X

0

0 0

0

XF

YXYXSSF

MKF

KNF

)()()1,0( 10

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

FUNKCIJA DVE PROMENLJIVE F(X, Y)

X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( XX

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X(

1

X

1

X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X

1

1 1 1

YXYXF XF YF

X

Y

Y

)1Y(

)1X( )0X( X X

Y

Y

)1Y(

)0Y(

)1X( )0X( X

1 1

1 1 1

1 1

YXF 1F

Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa

FUNKCIJA TRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z)

X Y Zi

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

P

P0 = X Y Z

P1 = X Y Z

P2 = X Y Z

P3 = X Y Z

P4 = X Y Z

P5= X Y Z

P6 = X Y Z

P7 = X Y Z

F

0

0

0

0

1

0

1

0

X X

Z Z

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)1X( )0X(

P6

46 PPFDNF

P7 P3 P2

P4 P5 P1 P0

ZXFMDF

Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa

FUNKCIJA TRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z)

XX

ZZ

Y

Y

Z

S6

46 SSFKNF

S7 S3 S2

S4 S5 S1 S0

ZXFMKF

X Y Zi

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

S = 0

S0 = X Y Z

S1 = X Y Z

S2 = X Y Z

S3 = X Y Z

S4 = X Y Z

S5= X Y Z

S6 = X Y Z

S7 = X Y Z

F = 1

0

0

0

0

1

0

1

0

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

FUNKCIJA TRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z)

X X

Z Z

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)1X( )0X( X X

Z Z

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)1X( )0X( X X

Z Z

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)1X( )0X(

1 1 1 1

1 1

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1FZXZXYF ZYXZYF

Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa

FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z, W)

X Y Z Wi P

0

1

2

3

4

14

15

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

P0 = X Y Z W

P1 = X Y Z W

P2 = X Y Z W

P3 = X Y Z W

P4 = X Y Z W

P14 = X Y Z W

P15 = X Y Z W

F

1

1

1

1

0

0

0

X X

Z Z

W

W

W

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)0W(

)0W(

)1W(

)1X( )0X(

P6P14P12

P9

P8

YXF

PPPPF

MDF

DNF

3210

P4

P13

P11

P10

P7 P5

P1

P0

P3

P2

P15=1

Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa

FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z, W)

X Y Z Wi

0

1

2

3

4

14

15

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

F

0

0

0

0

1

1

1

S

S0 = X Y Z W

S1 = X Y Z W

S2 = X Y Z W

S3 = X Y Z W

S4 = X Y Z W

S14 = X Y Z W

S15 = X Y Z W

XX

Z Z

W

W

W

Y

Y

Z

S6S14S12

S9

S8

YXF

SSSSF

MKF

KNF

3210

S4

S13

S11

S10

S7 S5

S1

S0

S3

S2

S15

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X, Y, Z, W)

X X

Z Z

W

W

W

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)0W(

)0W(

)1W(

)1X( )0X( X X

Z Z

W

W

W

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)0W(

)0W(

)1W(

)1X( )0X( X X

Z Z

W

W

W

Y

Y

Z

)1Y(

)0Y(

)1Z( )0Z( )0Z(

)0W(

)0W(

)1W(

)1X( )0X(

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

WZYXZXWXF WYXF WZF

Minimizacija primenomMinimizacija primenom Karnoovih mapa Karnoovih mapa

U praktičnim kombinacionim kolima određene kombinacije nezavisnih ulaznih promenljivih nikada se ne pojavljujuMesto u tabeli koje odgovara nedefinisanoj

kombinaciji “bilo šta”(npr. b ili x) može da se tretira kao logička 0 ili kao logička 1

Polje “bilo šta” pridružuje se susednim jedinicama (MDF) ili susednim nulama (MKF)

Minimizacija primenom Minimizacija primenom Karnoovih mapaKarnoovih mapa

FUNKCIJA ČETIRI PROMENLJIVE F(X,Y,Z,W)

X X

Z Z

W

W

W

Y

Y

Z

1

1 1

)WZY()WX()WZX()ZY(FMKF

XX

ZZ

W

W

Y

Y

W

Z

1

1

b

1

1 1

1

1

1

b

0

0

0

0

0 b

0

b 0

0 1

0

0

0

0

0

b

b

0

WZYXWYXWZZYXFMDF