Negotovosti GPS lociranja
• 𝑛 ≥ 4 enačb
• 𝐾𝑘=(𝑋𝑘 ,𝑌𝑘 , 𝑍𝑘)𝑇
• pozicijski vektor k-tega satelita
• 𝑐𝑡 = 𝑐 𝑑𝑡𝑘 − 𝑑𝑡• popravek meritev• c – hitrost svetlobe• 𝑑𝑡𝑘- offset ure satelita• dt – offset ure sprejemnika
• δ𝑘 – pseudo-razdalja• poračunana iz trajanja potovanja signala
(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘
Satelit v orbiti nad Zemljo
Definirajmo:
• 𝑅 = (𝑋, 𝑌, 𝑍)𝑇
• pozicijski vektor sprejemnika
• 𝑓(𝑅)= (𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2
• e=ct• olajšamo se pretvorb
• e vrača v enakih enotah kot 𝑓(𝑅)
• δ𝑘= 𝑓(𝑅) + e
(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘
5 krogel brez skupnega sekališčain Zemlja v modri
Analogno Newtnovi metodi iskanja ničel
• 𝑓(𝑅) lineariziramo po Taylorju
• z MNK* minimiziramo vektor napake
• Začetno oceno iterativno izboljšujemo• Navadno ni razpoložljivih podatkov za ocenitev
• Kot izhodišče izberemo Zemljino središče (0,0,0)𝑇
(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘
*Metoda najmanjših kvadratov
5 krogel brez skupnega sekališčain Zemlja v modri
Definirajmo:
• 𝑅𝑖𝑡𝑟+1 = 𝑅𝑖𝑡𝑟 + Δ𝑅
• 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟+1)= 𝑓 𝑅𝑖𝑡𝑟 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅
•𝛿𝑓 𝑅𝑖𝑡𝑟
𝛿𝑥=−𝑋𝑘−𝑋𝑖𝑡𝑟
S𝑖𝑡𝑟𝑘 𝑅𝑖𝑡𝑟
• k oznacuje enacbo k-tega satelita
• S𝑖𝑡𝑟𝑘 (𝑅𝑖𝑡𝑟)= (𝑋
𝑘 − 𝑋𝑖𝑡𝑟)2+(𝑌𝑘 − 𝑌𝑖𝑡𝑟)
2+(𝑍𝑘 − 𝑍𝑖𝑡𝑟)2
(𝑋𝑘 − 𝑋)2+(𝑌𝑘 − 𝑌)2+(𝑍𝑘 − 𝑍)2 + ct = δ𝑘
Newtnova metoda iskanja ničel𝑆𝑖𝑡𝑟𝑘 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅 + e = δ𝑖𝑡𝑟
𝑘
Konstruiramo matriko:
𝑀𝑖𝑡𝑟 =∇ 𝑓1 (𝑅𝑖𝑡𝑟) 1
∇ 𝑓2 (𝑅𝑖𝑡𝑟) 1… …
; b = δ1
δ2
∇ 𝑓𝑘 (𝑅𝑖𝑡𝑟) 1…δ𝑘
Newtnova metoda iskanja ničel
𝑆𝑖𝑡𝑟𝑘 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅 + e =δ𝑘
𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅′ = b
• b !e C(M)• Iščemo 𝑝𝑟𝑜𝑗𝐶(𝑀) 𝑏
• 𝑀𝑖𝑡𝑟𝑇 (𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅′- b)=0• (𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅- b) ortogonalen C(M)
• Δ𝑅′=(𝑀𝑖𝑡𝑟𝑇 𝑀𝑖𝑡𝑟)
−1𝑀𝑖𝑡𝑟𝑇 b
Projekcija vektorja na podprostor
𝑆𝑖𝑡𝑟𝑘 + ∇ 𝑓(𝑅𝑖𝑡𝑟) * Δ𝑅′ + e =δ𝑘
𝑀𝑖𝑡𝑟Δ𝑅′ = b
𝑅 = (4343409.085333, −124936.356557, 4653478.556897 )𝑇
Predvidena lokacija sprejemnika
𝑅 = (4343409.085333, −124936.356557, 4653478.556897 )𝑇
Predvidena lokacija sprejemnika
Definirajmo:
• 𝑁 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
• n= (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝑇
• 𝐾′𝑘=𝐾𝑘 + 𝑛
• δ′𝑘=δ𝑘 + 𝑑
• 𝑃𝑑𝑖 ; 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑛𝑎𝑝𝑎𝑘𝑒 𝑑, i-te enačbe
• 𝑃𝑛𝑖; 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑛𝑎𝑝𝑎𝑘𝑒 𝑛, i−te enačbe
• 𝑃𝑖=𝑃𝑑𝑖 *𝑃𝑛𝑖; 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡 i-te enačbe
O 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑜𝑣
Primerjava dejanskih in podanih podatkov
• Negotovost pseudo-razdalj je omejena z
• δ′𝑘 = {n = δ𝑘 − δ′𝑘≤ 10}
• Negotovost lokacije je omejena z• 𝐾′𝑘={d=|𝐾𝑘 − 𝐾′𝑘| ≤ 2};
• Obe množici imata pripadajoči P.D.*
• Vpeljemo pojem teže• Vrjetnost služi kot gostota
O 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑜𝑣
Primerjava dejanskih in podanih podatkov
*Probability distribution
Konstruiramo matriko teže
• 𝑇 =𝑃1 0 00 𝑃2 00 0 𝑃3
………
… … … …
• 𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 = 𝑇𝑀𝑖𝑡𝑟 ; l – index samplanja
• 𝑏𝑙= 𝑇𝑏 𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇
O 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎ℎ 𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑖𝑡𝑜𝑣
Probability distribution
Δ𝑅′=(𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇𝑀𝑖𝑡𝑟
𝑙 ) −1𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇b
X Y Z
4343416.04 -124942.801582 4653487.04
4343410.62 -124937.204251 4653471.130752
4343411.62 -124935.538150 4653485.582995
4343406.08 -124926.964588 4653469.087675
𝑆𝑒𝑡 𝑟𝑒š𝑖𝑡𝑒𝑣
Probability distribution
Δ𝑅′=(𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇𝑀𝑖𝑡𝑟
𝑙 ) −1𝑀𝑖𝑡𝑟𝑙 𝑇b
Subset rešitev
𝑆𝑒𝑡 𝑟𝑒š𝑖𝑡𝑒𝑣
Subset rešitev
𝑆𝑒𝑡 𝑟𝑒š𝑖𝑡𝑒𝑣
Subset rešitev
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎
Začnemo s podmnožico, ki jo postopoma dopolnimo do polnosti doseženi v neskončnosti
Definirajmo:
• 𝑓(𝑥); funckija zaporednih razlik
• 𝑍; 𝑧𝑎č𝑒𝑡𝑛𝑎 𝑡𝑜č𝑘𝑎
Zaporedne razlike povprečja
𝐿 = 𝑍 + lim𝑛→∞
𝑖=0
𝑛
𝑓(𝑥)
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎
Zaporedne razlike povprečja
𝐿≈𝑍 + lim𝑛→∞ 𝑎
𝑛
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝐿 = 𝑍 + lim𝑛→∞ 𝑎−1𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖=1
𝑛 (𝐵 𝑖
𝑖!
𝑑𝑓𝑖−1
𝑑𝑥𝑖−1)𝑎
𝑛
𝐾𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑓 𝑥 𝑖𝑛
𝑖=𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 ↔ 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑛𝑜𝑠𝑡
𝐿 = 𝑍 + lim𝑛→∞
𝑖=0
𝑛
𝑓(𝑥)
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎
lim𝑛→∞
𝑖=𝑎
𝑛1
𝑥𝑘=
1
(𝑘 − 1)(𝑎 − 1)+ lim𝑛→∞(𝑥𝑘
2+𝑘𝑥𝑘−1
12+𝑘(𝑘 − 1)𝑥𝑘−2
720+ ….)
𝑎
𝑛
lim𝑛→∞
𝑖=1
𝑛
𝑐𝑒−𝑎𝑖sin(𝑡𝑖) =𝑐𝑡
𝑎2 + 𝑡2+ lim𝑛→∞
𝑗=1
𝑛
(𝐵 𝑗
𝑗!𝐼𝑚((𝑡𝑖 − 𝑎)𝑗)
1
𝑛
lim𝑛→∞
𝑖=𝑎
𝑛
𝑐𝑒−𝑎𝑖 =𝑒𝑎
𝑒𝑎 − 1
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑘𝑎𝑗 𝑝𝑜𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑗𝑎𝑣𝑙𝑗𝑖𝑣𝑖ℎ 𝑣𝑟𝑠𝑡
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎 90% 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖
Za prvi približek poiščemo najmanjšo kroglo s središčem v stabilni točki, ki vsebuje 90% rešitev
Zaporedne razlike polmera krogle
X Y Z
4343408.94 -124936.91 4653478.50
Stabilna točka seta
K={R;|R−st| ≤ 18 }
𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎
Definirajmo:
• V={v=st-R};
• P={{𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, 𝑣𝑖3};P⊂V&𝑣𝑖1 | ∗𝑣𝑖2 | ∗𝑣𝑖3};
• Poiščemo tiste 3 smeri, ki so najgosteje naseljene • dopustimo napako <ε
• *pseudo-ortogonalnost
• B(i)={𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, 𝑣𝑖3}; • baza pri moči i
• napenja elipsoid Zaporedne razlike polmera krogle
𝐷𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑘𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎
v x y z |v|
v1 16.75 10.08 -14.44 24.30
v2 -10.99 -0.73 8.93 22.04
v3 -3.16 39.44 -0.73 14.69
v x Y z |v|
v1 -18.85 -18.81 -14.07 23.75
v2 -5.14 -5.10 5.47 22.81
v3 -13.22 -13.27 -5.12 15.19
v x y z |v|
v1 -12.19 -12.21 -19.76 24.03
v2 -5.17 -5.13 5.11 24.09
v3 16.83 16.87 -5.18 15.27
Definirajmo:
• D={24,22,15}• P; {B(i),B(j),D} ⇒ {{𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑗𝑙,D(𝑛𝑘)},…; 𝑛𝑡! = 𝑛𝑘}
• |𝑣𝑗𝑙|=|𝑣𝑗𝑘| = 𝐷(𝑛𝑘); <ε
Preslikava P je injektivna⇒ za opis seta skozi polnjenje potrebna le ena baza+ funkcija spremembe
Konstruiramo:• B‘ 𝑖 = {𝑣𝑖𝑘, 𝑣𝑖𝑙; 𝑙! = 𝑘}• ∇ B‘ 𝑖
𝐾𝑜𝑛č𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎
X komponenta ∇ B‘ 𝑖
𝐸′ ≈ B 𝑎 + lim𝑛→∞
𝑖=𝑎
𝑛
∇ B‘ 𝑖 ∗ Δ𝑅
Y komponenta ∇ B‘ 𝑖 Z komponenta ∇ B‘ 𝑖
𝑆𝑡𝑟𝑜ž𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑗𝑎 𝑠𝑒𝑡𝑎 90% 𝑣𝑟𝑗𝑒𝑡𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖
Definiramo:
• E=𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑎 𝑛𝑎𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑧𝑜 𝐸′
K={R;|R−st| ≤ 18 }
𝐸′ ≈ B 𝑎 + lim𝑛→∞
𝑖=𝑎
𝑛
∇ B‘ 𝑖 ∗ Δ𝑅
S={𝐸∩K}
Set S
