Tujuan Instruksional Khusus (1)
mendeskripsikan kecenderungan (naik, turun, mencapai
maksimum/minimum) dari grafik fungsi
mencari titik kritis dan menggunakannya untuk
menentukan lokasi maksimum dan minimum
Setelah mengikuti pemelajaran tentang penggunaan
turunan, mahasiswa diharapkan mampu:
Tujuan Instruksional Khusus (2)
menggunakan titik kritis dan tanda dari turunan pertama
dan kedua untuk membuat sketsa dari grafik fungsi
menggunakan turunan pertama untuk menentukan
interval dimana fungsi naik dan turun
menggunakan turunan kedua untuk menentukan
kekonkafan dan titik belok
menggunakan turunan pertama dan kedua untuk
mengklasifikasi titik kritis
menggunakan turunan untuk menyelesaikan masalah-
masalah optimisasi secara manual dan dengan bantuan
TIK
Setelah mengikuti pemelajaran tentang penggunaan
turunan, mahasiswa diharapkan mampu:
Subtopik
Mendeskripikan grafik-grafik fungsi-fungsi
Aturan turunan pertama dan kedua
Masalah optimisasi
Penggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomi
Menggambar grafik dan asimtot
Teorema nilai rata-rata
Ada 6 subtopik dalam modul ini:
Aplikasi turunan: garis singgung,
linearisasi
Pada pembahasan sebelumnya turunan fungsi
dipergunakan untuk menentukan garis singgung pada di
kurva . f’(a) turunan fungsi di x = a adalah gradien garis
garis singgung pada kurva y = f(x) di titik x = a.
Fungsi naik/ turun
x < c x > c
grafik turun grafik naik
garis singgung miring ke kiri garis singgung miring ke kanan
gradien garis singgung negatif gradien garis singgung positif
f ’(x) < 0 f ’(x) > 0
c
Titik-titik ekstrem lokal
Fungsi mencapai maksimum lokal di a, c, f
Fungsi mencapai nilai minimum lokal di ……..
a b c d
e
f g
Titik-titik ekstrem global
(a, f(a) ) titik maksimum global
f(a) nilai maksimum global
(b, f(b)) titik minimum global
f(b) nilai minimum global
a b
Titik-titik ekstrem lokal
Titik ekstrem terjadi pada:
Titik kritis
Titik stasiuner: titik x dengan f ’(c) = 0
Titik singular: titik dimana dengan f ’(x) tidak ada
Titik batas interval
a b c d
e
f g
Titik stasiuner
titik stasiuner adalah titik x dengan f ’(x) = 0 (garis
singgung di titik tersebut horisontal)
x = a dan x = b titik ekstrem
x = c bukan titik ekstrem
a b c
Titik-titik kritis: ekstrem dan
bukan ekstrem Titik kritis yang merupakan titik ekstrem:
Titik kritis yang BUKAN merupakan titik ekstrem:
Titik kritis: titik maksimum lokal
x < c x > c
Grafik naik Grafik turun
f ’(x) > 0 f ‘(x) < 0
c
c
(a)
(b)
Titik kritis: titik minimum lokal
x < c x > c
Grafik turun Grafik naik
f ’(x ) < 0 f ‘(x ) > 0
c
c
(a)
(b)
Titik kritis: bukan titik ekstrem
x < c x > c
Grafik turun Grafik turun
f ’(x) < 0 f ‘(x) < 0
x < c x > c
Grafik naik Grafik naik
f ’(x) > 0 f ‘(x) > 0
(c)
(a)
(d)
(b)
c c
c c
Titik kritis: ekstrem dan bukan
ekstrem
Titik c adalah titik kritis juga titik ekstrem maksimum jika
di sebelah kiri c grafik naik dan grafik turun di sebelah
kanan c
Titik c adalah titik kritis juga titik ekstrem minimum jika di
sebelah kiri c grafik turun dan grafik turun di sebelah
kanan c grafik naik
Titik kritis c bukan titik ekstrem jika grafik turun di kiri
maupun di kanan c, atau grafik naik di kiri atau di kanan
c.
Test turunan pertama: titik kritis
titik ekstrem Jika f adalah fungsi kontinu di interval I dan terdeferensial
kecuali mungkin di titik c
1. Jika f’(x) < 0 di kiri c dan f’(x) > 0 di kanan c, maka
(c, f(c ) adalah nilai maksimum lokal dari f(x) di I
2. Jika f’(x) > 0 di kiri c dan f’(x) < 0 di kanan c, maka
f(c ) adalah nilai minimum lokal dari f(x) di I
3. Jika f’(x) < 0 di kiri c di kanan c, atau f’(x) > 0 di kiri
dan di kanan c maka f(c) bukan nilai ekstrem
Kurva konkaf ke bawah
Grafik y = f(x) cembung ke atas
Garis singgung di atas
Perubahan gradien garis singgung mengecil
Grafik y = f’(x) turun
f’’(x) negatif
Kurva konkaf ke atas
Grafik y = f(x) konkaf ke atas
Garis singgung di bawah kurva
Perubahan gradien garis singgung membesar
Grafik y = f’(x) naik
f’’(x) positif
Gambarkan grafik konkaf ke atas
Kecembungan kurva dan tanda
turunan ke dua
Kurva konkaf ke bawah jika kurva
terletak di bawah garis singgung
Kurva konkaf ke atas jika kurva
terletak di atas garis singgung
F’ turun F ‘ naik
F’’ negatif F’’ positif
F’ > 0
Test turunan ke-dua untuk
ektrema lokal
Jika f dapat diturunkan dua kali pada interval I yang memuat
titik kritis yang merupakan titik stasiuner c, (f’c) = 0, maka
Jika f ”(x) > 0 di I maka (c, f(c )) adalah titik minimum dari
f (x) di I
Jika f ”(x) < 0 di I maka (c, f(c )) adalah titik maksimum
dari f (x) di I
Bagaimana jika f”(x) = 0?
Turunan ke-dua nol: f’’(c) = 0
Jika f”(k ) = 0 di titik stasiuner k, maka f( k) dapat
merupakan nilai maksimum (contoh a), minimum (contoh
b) atau bukan keduanya (contoh c )
y = x4
y = - x4 y = - x3
f’(0) = 0
Minimum lokal
f’(0) = 0
Maksimum lokal
f’(0) = 0
Bukan nilai ekstrem
Titik belok (inflection points)
Titik belok x = c adalah titik di mana
kecembungan/kecekungan kurva berubah.
Titik x = c adalah titik belok jika f konkaf ke atas di satu
sisi dari x = c dan f konkaf ke bawah di sisi yang lain dari
x = c.
Titik x = c adalah titik belok jika f’’(x) > 0 di satu sisi dari x
= c dan f’’(x) < 0 di sisi yang lain dari x = c.
Contoh: titik-titik belok
Titik sudut
F” (a) tidak ada
F’(b) < 0
F”(b) =0
F’(c) = 0
F”(c) =0
F’(d) tidak ada
Garis singgung vertikal
Gambarkan titik-titik berikut
Titik belok yang merupakan titik ekstrem
Titik belok yang merupakan titik stasiuner
Titik stasiuner yang bukan titik ekstrem
Titik non-singular yang merupakan titik belok
Titik kritis yang bukan titik ekstrem
Titik ekstrem yang bukan titik kritis
Jawab: contoh 1
Penyebut selalu positif, tidak pernah nol
Fungsi terdefinisi dimana-mana (tidak ada batas interval)
Turunan fungsi:
Satu-satunya titik kritis adalah titik stasioner di x = 0
Karena 1+x2 ≥ 1, maka f(x) ≤ 1/1 = 1 = f(0), titik (0, 1)
merupakan maksimum global
221
2)(
x
xxf
Contoh 2: Maks-Min
Tentukan titi-titk ekstrem fungsi berikut ini:
yang didefinisikan pada [-4, 2]
12)( 24 xxxf
Jawab: Contoh 2
Turunan fungsi :
Titik-titik stasioner di x = -1, 0, 1
Titik singular: tidak ada
Titik batas interval x = -4, 2 ; f(-4) = ….; f(2) = ….
Turunan ke-dua fungsi
Maks lokal: x = -1, x = 1; f(-1) =….; f(1) = ….
Min lokal : x = 0; f(0) = …….
Maks global:…
Min global:….
)1(4)( 2 xxxf
412)( 2 xxf