Aplikasi turunan dan integral dalam persoalan ekonomiocw.usu.ac.id/course/download/316-MATEMATIKA-EKONOMI/...Aplikasi turunan dan integral dalam persoalan ekonomi Fungsi Produksi Fungsi

Aplikasi turunan dan integral

dalam persoalan ekonomi

Fungsi Produksi

� Fungsi menghubungkan input

(kapital dan tenaga kerja) dengan output.

� Karena tidak dibatasi oleh spesifikasi tertentu,

maka teori ini dapat diaplikasikan secara luas.

( ),q f K L=

maka teori ini dapat diaplikasikan secara luas.

� Asumsi:

� Fungsinya kontinu

� Fungsinya increasing

Analisa faktor

� Fungsi produksi

� Partial derivatives: Produksi marginal

� Peningkatan output akibat penambahan capital

dengan jumlah tenaga kerja tetap (PM tenaga

( ),q q K L=

dengan jumlah tenaga kerja tetap (PM tenaga

kerja)

� Peningkatan output akibat penambahan tenaga

kerja dengan jumlah kapital tetap (PM kapital)

( ),L

qq K L

L

∂=

∂

K

qq

K

∂=

∂

Elastisitas Produksi

%

%

q q q q x

x x x x q

∆ ∆ ∆= =

∆ ∆ ∆

q x PM

x q PR

∂=

∂

Perubahan Total (Perubahan proporsional pada harga

dan pendapatan)

� Misalkan, seorang konsumen mempunyai

kemampuan membeli (purchasing power)

sebesar B (budget), dengan 2 pilihan

barang (x dan y) yang akan dipilihnya untuk barang (x dan y) yang akan dipilihnya untuk

memaksimalkan utilitasnya;

� U = U(x,y) (Ux, Uy)>0

� Subject to

� xPx + yPy =B

� Naik turunnya harga kedua barang tersebut

ditentukan pasar.

� Berbeda dengan analisa perubahan parsial,

dalam analisa total, interpretasi tidak akan

menggunakan asumsi cateris paribus. menggunakan asumsi cateris paribus.

Misalnya, petanyaannya adalah bagaimana

perubahan konsumsi x dan y jika kedua

harga barang dan budget konsumen

berubah dalam proporsi yang sama.

� jB – jxPx – jyPy = 0

� Dalam hal ini, j dapat dihapus dari setiap

bagian dengan tidak merubah hasilnya.

Dengan demikian, constraint yang baru ini

akan mempunyai bentuk yang sama dengan akan mempunyai bentuk yang sama dengan

bentuk awalnya yaitu

� B – xPx – yPy = 0

� Dengan demikian, jumlah konsumsi x dan y

akan sama dengan jumlah konsumsi pada

saat ekuilibrium yang lama. Dengan kata

lain, dalam kasus ini perubahan yang

proporsional pada harga barang dan

pendapatan tidak akan berpengaruh pada pendapatan tidak akan berpengaruh pada

tingkat konsumsi.

� Sehingga dapat disimpulkan bahwa

konsumen sama sekali tidak terpengaruh

oleh “money illusion”

Fungsi Homogen

� untuk semua

dan umumnya

� Sebuah fungsi disebut homogen dengan tingkat

( ) ( )1 1,..., ,...,

k

n nf tx tx t f x x=

1,..., nx x 0t >

� Sebuah fungsi disebut homogen dengan tingkat

(degree) k jika perkalian semua unsur variabel

independentnya dengan konstanta t akan

merubah nilai fungsi tersebut secara proporsional

sebesar k

t

Contoh dan latihan

� Misal :

� Maka dapat dikatakan bahwa homogen

( ) kaxxf = ( ) ( )k

jxajxf =

( ) ( ) ( )( )xfjaxjxajjxfkkkkk ===

( )xf� Maka dapat dikatakan bahwa homogen

dengan degree

� Latihan:

� Apakah fungsi berikut homogen, jika ya pada

degree berapa?31 2

1 2 3

kk kz ax x x= 3 2

3y x x= +

( )xfk

Contoh

� Fungsi produksi dengan 2 input produksi modal (K)

dan tenaga kerja (L)

0.3 0.796

ln ln 96 0.3ln 0.7 ln

q K L

q K L

=

= + +

� Produksi Marginal

ln ln 96 0.3ln 0.7 lnq K L= + +

3.03.0

7.07.0

)7.0(96

)3.0(96

−

−

=

=

LKPM

LKPM

L

K

Contoh

� Elastisitas( )

( )

0.7 0.7

0.7 0.7

0.3 0.3

0.3 0.3

96 0.30.3

96

96 0.70.7

96

K

L

K LE

K L

K LE

K L

−

−

−

−

= =

= =

� Return to scale

� Efisiensi

k∑

a

Fungsi komposit

( )

( )

( )

. ;

,

R P q P P Q

q q K L

R Q

= =

=

( )

( ), ,C rK wL C r w q= + =

( ), ,r w qπ π→ =

Optimisasi:

Maksimisasi keuntungan

� Maksimisasi keuntungan;

( )

0

Q

d

dQ

π π

π

=

=

( )

( )

R R Q

C C Q

=

=

marginal revenue = marginal cost

dQ

( ) ( ) ( )Q R Q C Qπ π→ = = −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0d

Q R Q C QdQ

R Q C Q

ππ ′ ′ ′≡ = − =

′ ′=

MR MC=

2Q

4Q

,R C

( )R R Q=

( )C C Q=

1Q

3Q0 Q

,MR MC

( )MC C Q′≡

( )MR R Q′≡

01

Q3

Q Q

Contoh

( )

( )

2

3 2

1200 2

61.25 1528.5 2000

R Q Q Q

C Q Q Q Q

= −

= − + +

( ) ( ) ( )Q R Q C Qπ = −

3 259.25 328.5 2000Q Q Q= − + − −

23 118.5 328.5 0

dQ Q

dQ

π= − + − =

13Q =

236.5Q =

Solusi

2

2

2

2

6 118.5

3 0

dQ

dQ

dQ

dQ

π

π

= − +

= → >2

2

2

3 0

36.5 0

QdQ

dQ

dQ

π

= → >

= → <

Keseimbangan Pasar

� Kesediaan membayar demand

� Kesediaan menerima harga supply

� Ekuilibrium

demand = supply

( )g x

( )xf

demand = supply

( ) ( )f x g x=

Contoh: Keseimbangan Supply

dan Demand

� Kondisi ekuilibrium:

� QS = QD = QE ; PS = PD = PE

� Misal : supplier : petani

� Jumlah yang ditawarkan QF ; harga yang diterima PF

� Fungsi penawaran: PF = b + βQF

� Harga yang diterima petani tergantung pada jumlah yang � Harga yang diterima petani tergantung pada jumlah yang ditawarkan (inverse supply), karena biasanya jumlah yang diproduksi tidak fleksibel, sangat tergantung pada mussim misalnya. Di samping itu, produk tidak bisa ditahan ketika harga jatuh karena bersifat perishable.

� pembeli: pedagang

� Jumlah yang diminta QR ; harga yang diterima PR

� Fungsi permintaan: QR = a - αPR

Kondisi keseimbangan

� QS = QD = Q atau PS = PD = P

� PF = b + βQF → QF =( PF- b)/β

� QS = QD

� a – αP = ( P- b)/β

� β(a – αP) = P- b → βa – βαP = P- b

� Βa+b = P+βαP → Βa+b = (1+βα)P

� P= Βa+b / (1+βα)

� Q= a – αP atau Q=( P- b)/β

� Q= a – αP → Q= a – α (Βa+b / (1+βα))

Surplus Konsumen dan

Surplus Produsen

� Surplus Konsumen adalah

kesediaan membayar – pengeluaran sebenarnya

Surplus Produsen adalah� Surplus Produsen adalah

kesediaan menerima harga –penerimaan

sebenarnya

� Pengeluaran/ Penerimaan sebenarnya adalah pada

saat ekuilibrium

Surplus Konsumen dan

Surplus Produsen

P

S

Q

CS

PS

Pe

Qe

D

0

Contoh: Surplus Konsumen

� Dari soal terdahulu diketahui jumlah dan harga keseimbangan:

� P= Βa+b / (1+βα) dan Q= a – α (Βa+b/(1+βα))

� Titik perpotongan kurva demand dengan sumbu harga adalah pada saat QR = 0 → QR = a – αPR = 0

a = αPR → PR =a/α� a = αPR → PR =a/α

� Titik perpotongan kurva demand dengan sumbu jumlah adalah pada saat PR = 0 → QR = a

� Titik perpotongan kurva supply dengan sumbu harga adalah pada saat QR = 0 → PF = b

� Titik perpotongan kurva demand dengan sumbu jumlah adalah pada saat PF = 0 → PF = b + βQF = 0

� b = - βQF → QF = -b/β

Grafik hasil perhitungan contoh

P

CS

Sα

a

Q

CS

PS

Pe

Qe

D

0

b

β

b−

a

Cara I

P

CS

S

α

a

Q

CS

Pe

Qe0

b

β

b−

a

D

Perhitungan cara I

( )( )

( ) ∫∫

∫

−

−

dQPdQQD

dQPQD

E

E

( )

( ) ∫∫

∫∫

−

−

dQPdQQD

dQPdQQD

E

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫

Aturan integral

� Aturan penambahan/ pengurangan

� Aturan eksponensial

cxyeyxx

yxxxy

x

xx

yy

exxy

y

y

+=∂=∂=∂

∂=∂→=∂

∂

=∂

∂=

=⇔=

∫∫ ∫

1'

ln

� Aturan eksponensial

Cara IIQ

A B

Sa

P

QE

PE

D

α

a

β

b−

b

CS

Perhitungan cara II

( ) ( )

dPdPa

dPPadPPD

aa

a

P

a

P EE

∫∫

∫∫

−

−=

αα

αα

α

α

dPdPa

PPEE

∫∫ − α

]

( )

−

−

−

=

−

=

22

22

2

2

EE

a

P

a

P

Pa

aPa

a

PaPE

E

α

α

α

α

α α

α