7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
1/15
1
MMA1114 KALKULUS IA1114 KALKULUS I 11
5.5.Aplikasi TurunanAplikasi Turunan
MA1114 KALKULUS I 2
5.1 Menggambar grafik fungsi
Informasi yang dibutuhkan:
A. Ti ti k potong dengan sumbu x dan sumbu y
B. Asimtot fungsiDefinisi 5.1:Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh
grafik fungsi.
Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika
(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika
(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan
=
)(lim xfcx
bxfx
=
)(lim
ax
xfx
=
)(lim baxxfx = )(lim
MA1114 KALKULUS I 3
x=a asimtot tegak
a
=
)(lim xfax
=+
)(lim xfax
Dalam kasus
dan
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
=
)(lim xfax
=+
)(lim xfax
dan
a
Asimtot tegak
7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
2/15
2
MA1114 KALKULUS I 4
y= b
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hinggaTapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri olehGrafik fungsi(tidak dipotong lagi)
bxfx
=+
)(lim
MA1114 KALKULUS I 5
baxy +=
y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datardan asimtot miring
MA1114 KALKULUS I 6
Contoh Tentukan semua asimtot dari
Jawab :
(i) Asimtot tegak : x= 2, karena
dan
(ii) Asimtot datar :
=
++ 2
42lim
2
2 x
xx
x
Maka asimtot datar tidak ada
2
42)(
2
+=
x
xxxf
=
+ 2
42lim
2
2 x
xx
x
)(
)1(lim
2
42lim)(lim
2
2
212
4222
xx
xx
xxx x
x
x
xxxf
+=
+=
=
+=
)(
)1(lim
2
2
21
42
xx
xx
x
7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
3/15
3
MA1114 KALKULUS I 7
xxxx
xxfa
xx1.
242lim)(lim
2
+==
xxxx
x 242lim
2
2
+=
1)1(
)1(lim
)1(
)1(lim
2
42
22
42222
=
+=
+=
x
xx
xx
xx
x x
x
(iii) Asimtot miring
02
4lim =
=
xx
2
)2(42lim
2
+=
x
xxxx
x
xx
xx
x
+=
2
42lim
2
axxfbx
=
)(lim
Asimtot miring y= x
2
242lim
22
++=
x
xxxx
x
MA1114 KALKULUS I 8
1
1)(
=
xxf
3
1)(
+=
xxxf
1
2)(
2
2
+=
x
xxxf
3
2)(
=
x
xxf
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :
Soal Latihan
1
2)( 2
2
+
+=
x
xxxf
1.
2.
3.
4.
5.
MA1114 KALKULUS I 9
C. Kemonotonan Fungsi
Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
( ) ( ) Ixxxfxfxx
7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
4/15
4
MA1114 KALKULUS I 10
Fungsi f monoton turun pada selang I
f(x1)
f(x2)
x1 x2
monoton turun pada interval I jika untuk
( ) ( ) Ixxxfxfxx >< 212121 ,,
I
MA1114 KALKULUS I 11
Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Contoh Tentukan selang kemonotonan dari
Jawab :
f(x) monoton naik
f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).
Ixxf >0)('
Ixxf
7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
5/15
5
MA1114 KALKULUS I 13
Maxlokal
Minlokal
Maxglobal
Minglobal Max
lokalMinlokal
a b c d e f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
MA1114 KALKULUS I 14
Ada tiga jenis titik kritis :
Titik ujung selang I
Titik stasioner ( yaitu x =c dimana ) ,
secara geometris : garis singgung mendatar
dititik (c,f(c))
Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ),
secara geometris: terjadi patahan pada grafik f
di titik (c,f(c))
0)(' =cf
)(' cf
MA1114 KALKULUS I 15
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika0)('
0)('
xf
xf),( cc
0)('
0)('
>
0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f
7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
6/15
6
MA1114 KALKULUS I 16
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan
nilai lokal f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
0)(' =cf
0)(''
0)(''
>
=V0156)5(''
7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf
15/15
15
MA1114 KALKULUS I 43
Soal Latihan
1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasil
kalinya minimum
2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dankelilingnya minimum
2cm
3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)
4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesardengan alas pada sumbuxserta dua titik sudutnya di atas sumbuxserta terletak pada parabola 28 xy =
5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesarsehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jarir
MA1114 KALKULUS I 44
6. KotaA terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B
terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dariA. Pemerintah
Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kotaA
ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dariA ke B untuk setiap
kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya
pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya
pemasangan kabel telepon dariA ke B semurah mungkin.
UTS Semester Pendek 2006/ 2007
Kalkulus I
Hari/ Tanggal: Rabu/ 25 Juli 2007
Waktu: 13 s/d 15
Bahan: sampai dengan Penerapan Turunan
Ruang: B 307