Kalkulus – Aplikasi Turunan 1 Aplikasi Turunan I. Laju yang Saling Berkaitan Secara definisi, turunan sebuah fungsi merupakan tingkat perubahan dari fungsi yang diturunkan. Ditinjau dari definisi tersebut, turunan bisa digunakan untuk mengetahui kondisi suatu nilai pada titik tertentu. Umumnya, permasalahan yang diberikan adalah mencari nilai pada suatu titik, atau mencari tingkat perubahan saat titik tertentu. Teknik penyelesaian permasalahan tersebut adalah dengan mengubah persamaan fungsi agar nilai tertentu dapat digunakan Contoh 1.1 Diberikan sebuah balok es dengan ukuran 3 x 2 x 2 meter (panjang, lebar, tinggi). Balok tersebut mencair sehingga ukuran balok tersebut menyusut. Diketahui penyusutan setiap sisi tersebut sebesar 0.2 mm/s. Tentukan volume balok setelah 1 jam. Diketahui, p = 3 m l = 2 m h = 2 m = = ℎ = -2 x 10 -4 m/s Penyelesaian pt = 1 jam = 3 + (-2 x 10 -4 ) . 3600 = 2.28 m lt = 1 jam = 2 + (-2 x 10 -4 ) . 3600 = 1.28 m ht = 1 jam = 2 + (-2 x 10 -4 ) . 3600 = 1.28 m Vt = 1 jam = 2.28 x 1.28 x 1.28 Vt = 1 jam = 3.735552 m 3 Contoh 1.2 Di sebuah persimpangan terdapat sebuah mobil dan motor yang melintas. Mobil tersebut bergerak ke arah utara, sedangkan motor bergerak ke arah timur. Jika diketahui kecepatan mobil tersebut 100 km/jam, dan motor bergerak dengan kecepatan 75 km/jam. Dengan asumsi bahwa saat persimpangan kedua kendaraan berpapasan dan jarak kedua kendaraan saat persimpangan diabaikan, tentukan laju perubahan jarak antara kedua kendaraan tersebut jika kedua kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan. Diketahui, = 100 km/jam, = 75 km/jam Penyelesaian h = √ 2 + 2 . . . . . . u = 2 + 2 ; = 2x + 2y h = u 1/2
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Kalkulus – Aplikasi Turunan 1
Aplikasi Turunan I. Laju yang Saling Berkaitan
Secara definisi, turunan sebuah fungsi merupakan tingkat perubahan dari fungsi yang
diturunkan. Ditinjau dari definisi tersebut, turunan bisa digunakan untuk mengetahui kondisi
suatu nilai pada titik tertentu.
Umumnya, permasalahan yang diberikan adalah mencari nilai pada suatu titik, atau mencari
tingkat perubahan saat titik tertentu. Teknik penyelesaian permasalahan tersebut adalah
dengan mengubah persamaan fungsi agar nilai tertentu dapat digunakan
Contoh 1.1
Diberikan sebuah balok es dengan ukuran 3 x 2 x 2 meter (panjang, lebar, tinggi). Balok tersebut
mencair sehingga ukuran balok tersebut menyusut. Diketahui penyusutan setiap sisi tersebut
sebesar 0.2 mm/s. Tentukan volume balok setelah 1 jam.
Diketahui, p = 3 m
l = 2 m
h = 2 m 𝑑𝑝
𝑑𝑡 =
𝑑𝑙
𝑑𝑡 =
𝑑ℎ
𝑑𝑡 = -2 x 10-4 m/s
Penyelesaian pt = 1 jam = 3 + (-2 x 10-4) . 3600 = 2.28 m
lt = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m
ht = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m
Vt = 1 jam = 2.28 x 1.28 x 1.28
Vt = 1 jam = 3.735552 m3
Contoh 1.2
Di sebuah persimpangan terdapat sebuah mobil dan motor yang melintas. Mobil tersebut
bergerak ke arah utara, sedangkan motor bergerak ke arah timur. Jika diketahui kecepatan
mobil tersebut 100 km/jam, dan motor bergerak dengan kecepatan 75 km/jam. Dengan asumsi
bahwa saat persimpangan kedua kendaraan berpapasan dan jarak kedua kendaraan saat
persimpangan diabaikan, tentukan laju perubahan jarak antara kedua kendaraan tersebut jika
kedua kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan.
Diketahui, 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 100 km/jam,
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 75 km/jam
Penyelesaian h = √𝑥2 + 𝑦2 . . . . . . u = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑑𝑢
𝑑𝑡 = 2x
𝑑𝑥
𝑑𝑡 + 2y
𝑑𝑦
𝑑𝑡
h = u1/2
Kalkulus – Aplikasi Turunan 2
𝑑ℎ
𝑑𝑡 =
1
2 u-1/2
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑑ℎ
𝑑𝑡 =
1
2√𝑥2+𝑦2 (2x
𝑑𝑥
𝑑𝑡 + 2y
𝑑𝑦
𝑑𝑡)
𝑑ℎ
𝑑𝑡 =
1
√𝑥2+𝑦2 (x
𝑑𝑥
𝑑𝑡 + y
𝑑𝑦
𝑑𝑡)
𝑑ℎ
𝑑𝑡 =
75𝑥+100𝑦
√𝑥2+𝑦2 atau
𝑑ℎ
𝑑𝑡 =
75𝑥+100𝑦
ℎ
Latihan Soal
1.1) Sebuah kerucut tanpa alas digunakan untuk menampung air. Debit air sebesar 3
cm3/detik mengisi kerucut tersebut. Tentukan kecepatan tinggi air bertambah saat
tinggi air 6 cm jika diketahui keliling kerucut adalah 40π cm dan tinggi kerucut adalah 24
cm.
1.2) Sebuah papan sepanjang 25 m bersandar di tembok. Jika papan tergelincir dengan
kecepatan 1 m/s menjauhi tembok, tentukan kecepatan perubahan jarak papan dengan
tanah saat tinggi papan setinggi 24 m.
1.3) Gerobak pengangkut beras menuangkan berasnya ke gudang. Gundukan beras tersebut
membentuk sebuah kerucut. Diketahui bahwa beras tersebut memiliki sisi yang cukup
licin, sehingga tinggi tumpukan beras pasti tidak lebih dari 5 cm. Gerobak menuang
beras dengan kecepatan 13 cm3/detik. Tentukan kecepatan pertambahan jari-jari
gundukan beras tersebut saat 10 detik.
II. Turunan sebagai indikator perubahan kurva
Turunan sebuah fungsi dapat digunakan untuk mencari tahu bahwa suatu interval kurva sedang
menurun, menaik, atau mendatar. Nilai turunan fungsi menentukan apakah fungsi sedang
menaik, menurun, atau konstan.
(a) Grafik menurun saat x > 0 (b) Grafik menaik saat x > 0
Kalkulus – Aplikasi Turunan 3
(c) Grafik konstan untuk semua x
Jika,
(a) f’(x) > 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menaik pada [a,b]
(b) f’(x) < 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menurun pada [a,b]
(c) f’(x) = 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f konstan pada [a,b]
Agar mudah dibaca, definisi tersebut bisa dipersingkat.
(a) f’(x) > 0 maka f menaik (di antara dua titk dimana x berada)
(b) f’(x) < 0 maka f menurun (di antara dua titik dimana x berada)
(c) f’(x) = 0 maka f mendatar (di antara dua titik dimana x berada)
Umumnya digunakan garis bilangan untuk menentukan kemiringan kurva. Perhatikan contoh
berikut.
Contoh 2.1
Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x2 + 3x – 4.
Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut
f(x) = x2 + 3x – 4
f’(x) = 2x + 3
Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut
f’(x) = 2x + 3
x = -3
2
Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.
Ambil nilai x sembarang yang berada di antara selang tersebut
x = -3
2
Untuk selang (-∞,-3
2 ], misal x = -2
f’(-2) = 2(-2) + 3
f’(-2) = -1
Karena f’(-2) > 0, selang (-∞,-3
2 ] memiliki bentuk kurva menurun
Kalkulus – Aplikasi Turunan 4
Untuk selang [-3
2 , +∞), misal x = 0
f’(0) = 2(0) + 3
f’(0) = 3
Karena f’(0) > 0, selang [-3
2 , +∞) memiliki bentuk kurva menaik
Contoh 2.2
Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x3 - 3x
Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut
f(x) = x3 – 3x
f’(x) = 3x2 - 3
Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut
f’(x) = 3x2 – 3
f’(x) = 3(x2 - 1)
f’(x) = 3(x – 1)(x + 1)
x = {-1, 1}
Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.
Ambil nilai x sembarang yang berada di interval selang tersebut
x = {-1, 1}
Untuk selang (-∞, -1], misal x = -2
f’(-2) = 3(-2)2 – 3
Kalkulus – Aplikasi Turunan 5
f’(-2) = 24
Karena f’(-2) > 0, selang (-∞, -1] memiliki bentuk kurva menaik
Untuk selang [-1, 1], misal x = 0
f’(0) = 3(0)2 – 3
f’(0) = -3
Karena f’(0) < 0, selang [-1, 1] memiliki bentuk kurva menurun
Untuk selang [1, ∞), misal x = 2
f’(2) = 3(2)2 – 3
f’(2) = 24
Karena f’(2) > 0, selang [1, -∞) memiliki bentuk kurva menaik
Latihan Soal
2.1) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x2 – 5x + 6
2.2) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x3 – 12x – 10
2.3) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x4 – x3 + x2 – 2
2.4) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = √𝑥2 + 4𝑥 − 11
Catatan: Perhatikan domain natural fungsi
2.5) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = 𝑥−5
3𝑥2−9𝑥
III. Kecekungan
Kecekungan kurva dalam suatu selang dapat diketahui dengan turunan pertama fungsi maupun
turunan kedua fungsi
Kalkulus – Aplikasi Turunan 6
(a) Dengan turunan pertama fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan selama
kurva kontinu
i. Kurva cekung ke atas apabila bagian kiri titik pembuat nol negatif, dan bagian kanan titik
pembuat nol positif.
ii. Kurva cekung ke bawah apabila bagian kiri titik pembuat nol positif, dan bagian kanan
titik pembuat nol negatif.
(i) Garis bilangan kurva yang cekung ke atas (ii) Garis bilangan kurva yang cekung ke bawah
(b) Dengan turunan kedua fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan
i. Kurva cekung ke atas dalam sebuah selang apabila f’’(x) > 0 pada selang tersebut
ii. Kurva cekung ke bawah dalam sebuah selang apabila f’’(x) < 0 pada selang tersebut
Nilai pembuat nol pada turunan kedua fungsi disebut dengan titik belok, karena pada
titik tersebut terjadi perubahan arah perubahan kurva.
[gambar titik belok]
Contoh 3.1
Carilah kecekungan seluruh selang yang ada pada f(x) = x2 – 1
Langkah 1 Cari turunan pertama fungsi tersebut
f(x) = x2 – 1
f’(x) = 2x
Langkah 2 Cari pembuat nol turunan fungsi tersebut
f’(x) = 2x
x = 0
Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat nol fungsi. Ambil nilai x
sembarang yang berada di interval selang
x = 0
Untuk selang (-∞, 0], ambil x = -1
f’(-1) = 2(-1)
f’(-1) = -2
Karena f’(-1) < 0, selang (-∞, 0] negatif (menurun)
Untuk selang [0, ∞), ambil x = 1
f’(1) = 2(1)
f’(1) = 2
Kalkulus – Aplikasi Turunan 7
Karena f’(1) > 0, selang [0, ∞) positif (menaik)
Mengikuti garis bilangan, karena sisi kiri 0 negatif dan sisi kanan 0 positif, kecekungan
(-∞, ∞) adalah cekung ke atas
Alternatif pengerjaan contoh 3.1 adalah sebagai berikut
Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)
f(x) = x2 – 1
f’(x) = 2x
f’’(x) = 2
Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut
f’’(x) = 2
x = {ø}
Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada
interval selang
x = {ø}
Untuk selang (-∞, ∞), ambil x = 0
f’’(0) = 2
Karena f’’(0) > 0, selang (-∞, ∞) cekung ke atas
Contoh 3.2
Kalkulus – Aplikasi Turunan 8
Carilah kecekungan setiap selang pada f(x) = x2
3
Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)
f(x) = x2 – 1
f’(x) = 2
3x−
1
3
f’’(x) = - 2
9x−
4
3
Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut
f’’(x) = - 2
9x−
4
3
x = 0
Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada
interval selang
x = 0
Untuk selang (-∞, 0), ambil x = -1
f’’(-1) = - 2
9(-1)−
4
3
f’’(-1) = - 2
9
Karena f’’(0) < 0, selang (-∞, 0) cekung ke bawah
Untuk selang (0, ∞), ambil x = 1
f’’(1) = - 2
9(1)−
4
3
f’’(1) = - 2
9
Karena f’’(0) < 0, selang (0, ∞) cekung ke bawah
Perlu diperhatikan bahwa f’(0) = ∞. Artinya f(x) tidak kontinu saat x = 0. Dalam kasus ini,
penggunaan turunan pertama tidak dapat digunakan untuk mencari kecekungan, namun masih
bisa digunakan untuk menentukan arah perubahan kurva. Perhatikan penyelesaian berikut.
Langkah 1 Cari turunan pertama fungsi tersebut
f(x) = x2
3
f’(x) = 2
3x−
1
3
Langkah 2 Cari pembuat nol turunan fungsi tersebut
f’(x) = 2
3x−
1
3
x = 0
Kalkulus – Aplikasi Turunan 9
Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat nol fungsi. Ambil nilai x
sembarang yang berada di interval selang
x = 0
Untuk selang (-∞, 0], ambil x = -1
f’(-1) = 2
3(-1)−
1
3
f’(-1) = - 2
3
Karena f’(-1) < 0, selang (-∞, 0] negatif (menurun)
Untuk selang [0, ∞), ambil x = 1
f’(-1) = 2
3(1)−
1
3
f’(-1) = 2
3
Karena f’(1) > 0, selang [0, ∞) positif (menaik)
Apabila diberlakukan aturan kecekungan pada turunan pertama tersebut, dengan mengikuti
garis bilangan, karena sisi kiri 0 negatif dan sisi kanan 0 positif, kecekungan (-∞, ∞) adalah
cekung ke atas. Sedangkan menurut turunan kedua fungsi, kecekungan kurva (solusi yang benar)
adalah
f’’(x) < 0, saat -∞ < x < 0 dan 0 < x < ∞
Latihan Soal
3.1) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = x2 – 2x + 3
3.2) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = 2x3 + 2x2 – 4
3.3) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = 8x3/4
Catatan: Perhatikan domain alami dari fungsi
3.4) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = 𝑥2
𝑥−7
IV. Titik Ekstrim Relatif
Yang dimaksud dengan titik ekstrim relatif adalah titik tertinggi atau titik terendah untuk
rentang tertentu. Satu terminologi yang berkaitan dengan ekstrim relatif adalah titik kritis. Titik
kritis adalah sebuah titik pada fungsi dimana arah fungsi berubah.
Kalkulus – Aplikasi Turunan 10
(a) Ekstrim minimum relatif pada x = 0 (b) Ekstrim maksimum relatif pada x = 0
Penentuan titik kritis dapat dilakukan melalui turunan pertama fungsi. Titik kritis suatu fungsi
ditentukan dengan
f’(x) = 0
atau
f’(x) = ∞
[kurva f’(x) = 0][kurva f’(x) = ∞]
Jika,
(a) f’(x) < 0 pada sebelah kiri titik pembuat nol, dan f’(x) > 0 pada sebelah kanan titik pembuat
nol, maka f(x) memiliki minimum relatif pada titik tersebut
(b) f’(x) > 0 pada sebelah kiri titik pembuat nol, dan f’(x) < 0 pada sebelah kanan titik pembuat
nol, maka f(x) memiliki maksimum relatif pada titik tersebut
Selain menggunakan turunan pertama fungsi, turunan kedua fungsi juga dapat digunakan untuk
mencari titik ekstrim relatif. Menggunakan titik kritis yang didapat pada turunan pertama, jika
(a) f’’(x) > 0 pada titik kritis, maka titik tersebut merupakan minimum relatif
(b) f’’(x) < 0 pada titik kritis, maka titik tersebut merupakan maksimum relatif
Contoh 4.1
Tentukan titik kritis dari f(x) = x2 – 6x + 5
Penyelesaian f(x) = x2 – 6x + 5
f’(x) = 2x – 6
x = 3
Contoh 4.2
Tentukan titik kritis dari f(x) = x2-5
x2+1
Kalkulus – Aplikasi Turunan 11
Penyelesaian f(x) = x2-5
x2+1
f’(x) = 2x(𝑥2+1)−2𝑥(𝑥2−5)
(x2+1)2
f’(x) = 12x
(x2+1)2
x = 0
Contoh 4.3
Tentukan titik maksimum relatif dan minimum relatif dari f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 1
Penyelesaian f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 1
f’(x) = 3x2 + 6x – 9
f’(x) = 3(x+3)(x-1)
x = {-3, 1} . . . . . . Simpan titik ini untuk diuji coba pada turunan kedua fungsi
f’’(x) = 6x + 6
f’’(x) = 6(x+1)
Masukkan x = -3 pada f’’(x)
f’’(-3) = -12
Karena f’’(-3) < 0, titik x = -3 merupakan titik maksimum relatif
Masukkan x = 1 pada f’’(x)
f’’(1) = 12
Karena f’’(1) > 0, titik x = 1 merupakan titik minimum relatif
Contoh 4.4
Tentukan titik maksimum relatif dan minimum relatif dari f(x) = 5𝑥2
x+2
Penyelesaian f(x) = 5𝑥2
x-2
f’(x) = 10x(x-2)-1(5𝑥2)
(𝑥−2)2
f’(x) = 10𝑥2−20𝑥−5𝑥2
(𝑥−2)2
f’(x) = 5𝑥2−20𝑥
(𝑥−2)2
0 = 5x(x – 4) x = {0, 4} . . . . . . Simpan titik ini untuk diuji coba pada turunan kedua fungsi
Kalkulus – Aplikasi Turunan 12
f’’(x) = (10x-20)(𝑥−2)2 - (5𝑥2−20𝑥)2(𝑥−2)
((𝑥−2)2)2
f’’(x) = 10(x-2)(𝑥−2)2 - 5x(𝑥−4)2(𝑥−2)
(𝑥−2)4
f’’(x) = 10(x-2)(𝑥−2)2 - 10x(𝑥−4)(𝑥−2)
(𝑥−2)4
f’’(x) = 10(𝑥−2)2 - 10x(𝑥−4)
(𝑥−2)3
f’’(x) = 10 (𝑥−2)2 - x(𝑥−4)
(𝑥−2)3
f’’(x) = 10 (𝑥2−4𝑥+4)- (x2−4𝑥)
(𝑥−2)3
f’’(x) = 10 4
(𝑥−2)3
f’’(x) = 40
(𝑥−2)3
Masukkan x = 0 pada f’’(x)
f’’(0) = -5
Karena f’’(0) < 0, titik x = 0 merupakan titik maksimum relatif
Masukkan x = 4 pada f’’(x)
f’’(4) = 5
Karena f’’(4) > 0, titik x = 4 merupakan titik minimum relatif
Latihan Soal
4.1) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = x4 - 2x2 + 1
4.2) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = x3 + 12x2 -
27x – 9
4.3) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = x5/3
4.4) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = 2𝑥−5
𝑥2+5
V. Maksimum dan Minimum Absolut
Jika sebelumnya telah dibahas langkah untuk mendapat ekstrim relatif, sekarang akan dibahas
mengenai ekstrim absolut. Ekstrim absolut adalah titik ekstrim terbesar (maksimum maupun
minimum) dari kurva. Dari seluruh titik ekstrim, dicari titik yang menghasilkan nilai
tertinggi/terendah.
Pada permasalahan ini, cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikannya adalah dengan
Kalkulus – Aplikasi Turunan 13
(1) mencari titik ekstrim pada kurva dalam selang yang ditentukan,
(2) membandingkan nilai setiap titik ekstrim
Contoh 5.1
Tentukan titik maksimum dan minimum absolut dari f(x) = x4 – 8x3 – 2x2 + 120x + 85